التكامل المحدود

تعريف التكامل المحدود

• الفرق بين التكامل الغير محدود والمحدود: الفرق الأساسي هو وجود حدود للتكامل من ( A ) إلى ( B ).
• صيغة التكامل المحدود: [ \int_{A}^{B} F'(x) , dx = F(B) - F(A) ]_

خطوات حساب التكامل المحدود

1. حساب التكامل كما في حالة التكامل غير المحدود لكن بدون ( +C ).
2. تعويض الحدود العليا والدنيا في الدالة الأصلية.
3. طرح القيمة عند الحد الأدنى من القيمة عند الحد الأعلى.

مثال

• التكامل: ( \int_{1}^{2} 3x^2 , dx )
  • تكامل ( 3x^2 ) هو ( x^3 ).
  • التعويض: ( 2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7 )._

خصائص التكامل المحدود

1. التكامل من A إلى A:

   • ( \int_{A}^{A} F(x) , dx = 0 ).

2. عكس حدود التكامل:

   • ( \int_{A}^{B} F(x) , dx = -\int_{B}^{A} F(x) , dx ).

3. خصية الإضافة:

   • ( \int_{A}^{C} F(x) , dx = \int_{A}^{B} F(x) , dx + \int_{B}^{C} F(x) , dx )
   • يمكن اختيار أي رقم بين ( A ) و( B ) لتقسيم التكامل.

4. تكامل رقم:

   • ( \int_{A}^{B} C , dx = C \times (B - A) )_

مثال على الخصائص

• المثال: ( \int_{0}^{10} F(x) , dx = 12 ) و ( \int_{15}^{10} 2F(x) , dx = 8 )
  • استخدام خصية الإضافة لتقسيم التكامل من 0 إلى 15.
  • التعامل مع القيم المعطاة لعكس الحدود وتغيير معامل التكامل.

مثال على الاقتران المتشعب

• اقتران ( F(x) ):
  • ( 2x ) من 0 إلى 2.
  • ( x^2 + 1 ) من 2 إلى 3.
• التكامل: ( \int_{0}^{3} F(x) , dx )
  • تكامل كل جزء على حدة ودمج النتائج._

حساب تكامل الاقتران المتشعب

• من 0 إلى 2:
  • تكامل ( 2x ) هو ( x^2 ).
  • التعويض: ( 4 - 0 = 4 ).
• من 2 إلى 3:
  • تكامل ( x^2 + 1 ) هو ( \frac{x^3}{3} + x ).
  • التعويض: ( \frac{27}{3} + 3 - \left(\frac{8}{3} + 2\right) = 7 - 2 = 5 ).
• النتيجة النهائية:
  • الجمع: ( 5 + \frac{19}{3} = \frac{34}{3} ).

هذه كانت بعض الأساسيات حول التكامل المحدود مع الأمثلة لتوضيح كيفية تطبيق الخصائص المختلفة.