Monotoni-forhold og Differentialregning

Hvad er monotoni-forhold?

• Beskrivelse af, hvornår en funktion er aftagende eller voksende
  • Kaldes for monotoni-intervaller
• Finder ekstreme punkter

Eksempel på aflæsning

• Funktion defineret som F
  • Voksende fra minus uendelig op til 1
  • Aftagende fra 1 til 3
  • Voksende fra 3 til uendelig
• Lokalt maksimum omkring (1, 2.3)
• Lokalt minimum omkring (3,1)
• Ingen globale ekstremer

Sammenhæng mellem monotoni-forhold og differentialregning

• Tangenthældning er positiv, når funktionen vokser (f'(x) > 0)
• Tangenthældning er negativ, når funktionen aftager (f'(x) < 0)
• Tangenthældning er 0 ved ekstremum punkter (f'(x) = 0)

Eksempel med en tredjegradsfunktion

• Funktion: tredjegrads polynomium
• Find mulige ekstremer ved at sætte f'(x) = 0 og løse
  • f'(x) = 3x^2 - 12x + 9
  • Løsning: x = 1, x = 3

Foretegnsundersøgelse

• Test punkter i intervaller:
  • Før x = 1: f'(0) = 9 (positivt)
  • Mellem x = 1 og x = 3: f'(2) = -3 (negativt)
  • Efter x = 3: f'(4) = 9 (positivt)
• F-mærke skifter tegn omkring 1 og 3
  • Voksende fra minus uendelig til 1
  • Aftagende fra 1 til 3
  • Voksende fra 3 til uendelig

Ekstrema og koordinater

• Bekræft ekstrema:
  • Lokalt maksimum ved 1, f(1) = 8
  • Lokalt minimum ved 3, f(3) = 4
• Brug CAS-værktøj til at visualisere og bekræfte

Konklusion

• Undersøgelse stemmer overens med grafisk fremstilling
• Funktion opfører sig som forventet ifølge foretegnsundersøgelse