Det her video handler om monotoni-forhold og differentialregning. Og vi skal igennem tre ting. Først helt kort, hvad er monotoni-forhold og et eksempel på, hvordan man kan afliste og skrive det op. Derefter sammenhæng mellem differentialregning og monotoni-forhold. Det lyder så op til, hvordan man kan beregne monotoni-forholdene på en eller anden funktion. Ved hjælp af differentialregning og nærmere bestemt, så gørs det ved hjælp af et schema for F-mærke. Også kaldet for foretegnsvariation. Og først helt kort, hvad er monosiniforhold? Jamen det er den samme beskrivelse af, hvornår en funktion er aftagende og hvornår den er voksen Det kaldes også for monosinintavaller Derudover så skal man finde ud af, hvor funktionen har ekstreme Og hvis vi lige tager en eksempel her, så har vi en funktion her til højre F kalder vi den lige Og den vokser altså her, det vi regner med, den fortsætter ud af billedet her. Så hvis vi kigger på x-aksen, så vokser den fra minus uendelig og så op til 1. Så stopper den med at vokse. Så det skriver man bare op som intervall fra minus uendelig. Her laver vi en åben parenthes. Og så til 1 har vi defineret i bogen, at der lukker vi parenthesen, selvom den måske ikke lige vokser her i 1, men så siger man, at den er voksende til 1. Derefter så aftager den her fra 1 til 3. Skriver vi sådan her Og så vil den vokse igen fra 3 til ul Det kan man skrive på flere matematiske måder Nu vælger jeg at skrive ud sådan her Helt simpelt Der er jo ekstreme punkter Jamen der er ikke noget globalt minimum Fordi den simpelthen bliver ved med at falde den her funktion Eller komme hernede fra Og den vil også blive ved med at vokse Så der er heller ikke noget globalt maximum Men her har vi et sted, hvor den lige topper Og det er det største punkt i et lokalt område, kan man sige Der findes større punkter, så derfor er dette et lokalt maksimum Og det kan vi cirka aflæse koordinateren til at hedde 1 og så y'en 2,3 Derudover så har vi et lokalt minimum, fordi det er det mindste punkt i et område Der findes mindre værdier Men lige det her område er det mindste Og det forekommer cirka i 3,1 Det var et kort eksempel på aflæsning Så går vi videre til at snakke om lidt Om sammenhængen mellem monotoni forhold og differentialregning Og nu har jeg lige grabt den her fra før Det kunne have været en anden, inden jeg havde valgt at tegne Men der havde vi jo et intervall for, hvornår funktionen voksede her Og så vil jeg sige, at hvis vi tegner en tangent i alle de her Lige meget hvor vi tegner en tangent Så vil tangenten også have en positiv hældning Når funktionen vokser Det giver god mening Det samme herovre, hvor den voksede igen fra 3 Hvis vi tegner en tangent, så er funktionen voksende, og så er tangenten positiv gældning Tangentens gældning, det ved vi jo, at det er f'x Derfor kan vi opsummere det til at sige, at tangentens gældning er positiv, jamen så vokser funktionen Skrevet helt kort, at f'er positiv, jamen så vil funktionen også vokse i det her inden På samme måde her for det aftagende interval, så hvis jeg tegner en tangent i et hvilket som helst punkt, så vil hældningen af tangenten være negativ, altså den vil aftage over sig. Det skriver vi op her, hældningen af tangenten er negativ, altså mindre end 0, så er funktionen aftagende interval. Så foregår der lidt specielt her, lige hvor der har ekstremum punkter, nu havde vi jo to på den her funktion. Hvis man tegner en tangent i et ekstremhedspunkt Så vil det være en flad tangent Så den har jo ingen hældning Det vil sige hældningen er 0 Så hvis f'er lige med 0 Så er der muligvis ekstrema i det punkt Og jeg siger muligvis fordi man kan finde eksempler på At hvis vi fx tegner en funktion her Den hedder x' Så kunne jeg godt tegne en tangent i det her punkt der er flad Men der er ikke noget ekstrema Så det kan man lige være opmærksom på Selvom man løser den ligning her, så er det ikke altid, der er et ekstreme Så er vi klar til at prøve at beregne, om en snibbeholdende funktion får en funktion Ved hjælp af differentialregningen Vi har fået givet den her et tredjegrads funktion, tredjegrads polynomial Og det man starter med, det er altid at finde ud af, hvor er de mulige ekstreme funktionspunkter Fordi vi kan jo faktisk godt se her Det er jo der, den skifter fra at være voksne til aftalen eller omvendt. Det er der, hvor der er ekstremum. Så hvis vi kan få bundet de her tal her, så er vi allerede godt på vej. Så vi... Skal jeg altså løse linjen her, hvor et mærke er 0, og så vandrer jeg tangent, så er det umuligvis ekstremt. Det gør vi. Vi finder først et mærke. Og det gør vi her ved en tredjegarst polynom, hvor vi sætter tretallet ned foran, og x her falder en i grad. Sådan. Og så har vi en konstant gange på, den bliver stående. x i anden bliver til 2 gange x. Og x i første, det hedder vi ikke skrive, står der en i gange x. 9 bliver stående Gange med x den bliver 1 Når den bliver differencieret så 9 gange 1 kan vi skrive Og plus en konstant til sidst Så vil den give 0 Jeg reducerer lige en gang Så 3x i anden Gange med sammen her så giver det 12 Og så plus 9 Og vi skulle altså løse den ligning der hedder F-mærke lige med 0 Så jeg tager da bare min F-mærke her jeg lige har fundet Sætter lige min 0 Jamen så kan jeg se at jeg får en anden græsligning Bum bum Så skal vi jo til at finde diskriminant og løse i den Så diskriminanten den kender vi formen for Det er b i anden Minus 4 gange a Gange c Sådan Det giver 144 Minus 12 gange 9 Det giver 108 Så det giver 36 Så diskriminanten er 36 Det siger Så skal vi sige, at angrebslinjen her har to løsninger, når diskriminanten er positiv. Så vi tager simpelthen bare løsningsformen for en angrebslinje. Den hedder minus b plus minus kvadrat råd d over 2a. Minus b, det bliver minus minus 12. Man skriver bare 12 plus minus kvadrat råd d. Stikstedt røget med det. Og 2 gange a, den var 3. Så er vi bare 12 plus minus. 6 divideret med 6 Det må give to løsninger Først så tager vi den med plus 12 plus 6 det giver 18 Divideret med 6 det giver 3 12 minus 6 det giver 6 Divideret med 6 det giver 1 Godt Så der i de her to steder Der er der altså muligvis ekstreme Det ved vi ikke endnu Det næste vi gør, det er at finde ud af forholdstegnene for f-mærke, for vi vidste jo, at hvis f-mærke var positiv, så voksede funktionen, og hvis f-mærke var negativ, så aftog funktionen. Så hvis vi kan undersøge, hvornår f-mærke er positiv og negativ, så kan vi jo lave vores konklusion. Det vi gør, det er her, man tegner de to punkter ind her, eller x vil de have ind, hvor der muligvis er ekstreme. Skrive det mindste tal først, eller så går der rod i den. Så skal vi jo finde ud af her, hvad sker der før det første ekstreme punkt Er f-mærke positiv eller negativ her? Hvad sker der imellem, og hvad sker der efter? Jamen vi prøver simpelthen bare at tage en eller anden værdi ind, der er mindre end en 0, det er dejligt nemt til at regne med, så skriver jeg f-mærke er 0 Sådan Sætter 0 ind på f-mærkes plads Og f-mærke den havde vi lige der 3 gange 0 i anden Minus 12 gange 0 Plus 9 Det er jo dejligt nemt Det giver 0 Det giver 0 9 9 det er et positivt tal Så går ikke så meget op i hvad det giver Men det er et positivt tal Så derfor skal der være et plus her Så det første stykke tid på grafen Der er et mærke positivt Hvad sker der så efter det første ekstreme punkt her Jamen så prøver jeg at sætte et tal ind mellem de to her Jeg tager tallet 2 Så 2 ind her på x'es plads. 3 gange 2 i anden. Minus 12 gange 2 plus 9. Det må give 3 gange 4. Det giver 12. Minus 24. Sådan. Plus 9. 12 minus 24, det giver minus 12. Plus 9, det giver minus 3. Okay, så det var et negativt tal, jeg fik ud her. Så det er mindre end 0. Så derfor sætter jeg et minus her. Og det sidste stykke der, kan jeg undersøge ved at tage et tal, der er større end 3. Jeg tager det første hele tal, det er 4. Får jeg sætte det ind? 3 gange 4 er i anden, minus 12 gange 4, plus 9. Sådan. Det giver 3 gange 16. Der minus 48, plus 9. 3 gange 16, det giver 48. Så 48 minus 48, plus 9. Det giver 9. Og det er samme et positivt tal. Så derfor skal du dukke plus her. Så kan jeg bruge min sammenhæng mellem f-mærke og f Det kunne man lige skrive her i nedsig skræmmer Fordi f-mærke er positiv her i intervallet fra minusvælge op til 1 Så derfor ved jeg jo at funktionen vil vokse Det kan jeg lige skrive kort med sådan en pil her Her er f-mærke negativ, så her vil Funktionen aftage Og så vil funktionen vokse igen Så skriver man bare det op som en lille konklusion At f er voksne her Fra minus uendelig op til 1 Aftagende fra 1 til 3 Og voksne igen fra 3 til uendelig Nå Ved jeg så om der er ekstrema her eller hvad? Jamen altså der er ekstrema fordi At funktionen skifter fra at være voksne til at være aftagende Derfor ved jeg at det er et ekstreme Hvis du nu støder voksne og voksne Så var vi i den der situation Jeg havde lige før med x i tredje Der vokser den Så er der fladetang igen og så vokser den igen Så var der ikke ekstreme Så foretegnet skifter her Og det gør det også herovre Så kommer den her aftagende Og så begynder den at vokse igen Derfor er der et ekstreme Godt Så jeg ved, der er ekstrema Men er det lokalt eller globalt? Maximum eller minimum? Og hvad har den af koordinater? Vi kender jo kun x-koordinaterne her Vi skal tegne en lille skidt af vores funktion her Så kender vi kun x-koordinaten 1 Og x-koordinaten 3 Men hvad er y-koordinaterne? Jamen det kunne jeg jo finde ved at sætte 1 og 3 Ind i f Og gjorde jeg det Så er det en ind på x'es plads her i f F'en Så kunne jeg regne ud at det gav 8 Nu vil jeg ikke lige gøre det her Og på samme måde kunne jeg sætte 3 ind Sådan Og så vil jeg få 4 Så her kunne vi altså kende koordinaterne 1,8 og 3,4 Så kunne vi allerede have en lille skidt til her i den Hvis man skulle finde ud af, at man kunne tage en endnu større x-værdi her, prøve at sætte den ind og se om man fik en større y-værdi end 8. Det vil man gøre. Eller undersøge her. Man kunne også lige prøve at tegne den i et kastværktøj og se om det er lokalt eller globalt. Så kan man altså lige prøve at tegne sin funktion i et kastværktøj, så jeg tager simpelthen den her op og prøver lige at tegne den ind i Mabel, det kunne også være GeoGebra. Og så vil jeg lige se om min konklusion hernede ud fra mit schema, om den er korrekt. Jeg valgte at tegne den i Mabel, og så kan vi se her, at vi har 1,8 og 3,4, og rigtig nok så vokser den, og den aftager, og den vokser. Ligesom konklusionen her fra forrige slide fortæller os.