Überblick
In der Vorlesung wurde die Herleitung der Logarithmusregel ( \log_a(b^n) = n \cdot \log_a(b) ) sowie deren Anwendung an einem ausführlichen Beispiel behandelt.
Herleitung der Logarithmusregel
- Behauptung: ( \log_a(b^n) = n \cdot \log_a(b) ).
- Ausgangspunkt: Potenzregel ( (a^m)^n = a^{m \cdot n} ).
- Beide Seiten werden mit ( \log_a ) genommen.
- Links: ( \log_a((a^m)^n) ), Rechts: ( \log_a(a^{m \cdot n}) ).
- Rechts vereinfacht sich zu ( m \cdot n ), da ( \log_a(a^x) = x ).
- Substitution: ( b = a^m ) ⇒ ( m = \log_a(b) ).
- Umformung ergibt: ( \log_a(b^n) = n \cdot \log_a(b) ).
Ausführliches Beispiel zur Anwendung
- Gegeben: ( 3^{5x} = 27 \cdot 9^{x+2} ).
- Schritt 1: Logarithmus zur Basis 3 auf beiden Seiten anwenden.
- Links wird ( \log_3(3^{5x}) ) zu ( 5x \cdot \log_3(3) ).
- Rechts: Produktregel für Logarithmen nutzen: ( \log_3(27) + \log_3(9^{x+2}) ).
- ( \log_3(3) = 1 ), ( 27 = 3^3 ), ( 9 = 3^2 ).
- Weitere Anwendung der Regeln: Exponenten nach vorne ziehen und Basis auflösen.
- Vereinfachung führt zu: ( 5x = 3 + 2(x + 2) ).
- Umformen ergibt: ( 5x = 3 + 2x + 4 ) ⇒ ( 3x = 7 ) ⇒ ( x = \frac{7}{3} ).
Wichtige Begriffe & Definitionen
- Logarithmusregel ( \log_a(b^n) ) — Exponent n kann nach vorne gezogen werden: ( \log_a(b^n) = n \cdot \log_a(b) ).
- Potenzregel — ( (a^m)^n = a^{m \cdot n} ).
- Produktregel (Logarithmus) — ( \log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y) ).
- Basenregel — ( \log_a(a) = 1 ).
Action Items / Nächste Schritte
- Übungsaufgaben zur Anwendung der Logarithmusregeln bearbeiten.
- Merksätze und Regeln für Logarithmen wiederholen.