Schauen wir uns noch die Herleitung zu der zweiten Regel an, die ich ja schon erwähnt hatte, dass sie besonders wichtig ist. Und zwar lautet da die Behauptung, dass der Logarithmus von b hoch n auch geschrieben werden kann als n mal der Logarithmus. dass wir das n, also dem Exponenten, nach vorne ziehen können.
Und damit wir das beweisen können, müssen wir auf irgendetwas zurückgreifen, was wir bereits kennen. Und da am naheliegendsten ist eine Potenzregel. Man kann auch durch Ausschlussverfahren sich überlegen, dass alle anderen Regeln hier in dem Kontext wenig sind. Sinn ergeben. Deswegen nehmen wir die Regel a hoch m hoch n ist dasselbe wie a hoch m mal n.
Und auf diese Gleichung, wo wir wissen, dass sie wahr ist, können wir einfach auf beiden Seiten mal den Logarithmus zur Basis a anwenden. Den nehmen wir natürlich deshalb, weil wir wissen, dass der ja die Basis auffrisst. Und ich schreibe erstmal einmal das Vollständig hin.
Wir haben den Logarithmus von a hoch m hoch n zur Basis a und wissen, dass das gleich dem Logarithmus von a hoch m mal n zur Basis a ist. An der linken Seite können wir nicht viel ändern, das ist ja die Seite, über die wir uns überhaupt Gedanken machen wollen. Deswegen können wir uns nur die rechte Seite anschauen und hier stellen wir fest, ja hier frisst ja genau die Basis auf, denn wir wissen Logarithmus von A hoch irgendwas zur Basis A, da bleibt nur noch dieses irgendwas, also in diesem Fall m mal n übrig. Jetzt haben wir das Problem, an der linken Seite können wir nichts mehr machen, aber wir wissen, irgendwie müssen wir noch dieses b da oben reinbekommen, Also ist es doch naheliegend an der Stelle...
das a hoch m als b zu definieren, denn dadurch entferne ich das Problem mit diesen doppelten Exponenten. Also ich setze b als a hoch m und erinnere mich direkt daran, wir haben ja unsere Merkregel, was bedeutet das? b ist a hoch m, kann ich also äquivalent schreiben als der Logarithmus von b zur Basis a ist gleich m.
Das ist genau die Merkregel, hier nur darauf angewendet. So, jetzt haben wir folgende Vorteile. Wir können einmal für dieses a hoch m einfach das b hinschreiben und andererseits können wir für das m hier Logarithmus von b zur Basis a hinschreiben.
Und das machen wir in der nächsten Zeile. Ich gehe hiervon los, setze für a hoch m das b ein, das heißt, ich habe hier stehen Logarithmus von b hoch n zur Basis a, das ist ja genau die linke Seite, was wir zeigen wollten und die rechte Seite m mal n wird also zu, wenn ich das m ersetze durch Logarithmus von b zur Basis a, genau zu dem, was ich haben wollte. nämlich zu n mal Logarithmus von b zur Basis a. Das heißt, durch dieses Potenzgesetz und eben den Trick, dass ich b als a hoch m bezeichne, kann ich die Regel herleiten und habe sie damit bewiesen.
So, ich habe hier nochmal die Rechenregeln stehen gelassen und wir schauen uns jetzt noch ein ausführliches Beispiel mal an, wie man damit umgeht. Das Beispiel ist ausführlicher, als man eigentlich damit rechnen würde, aber ich denke für den Anfang ist das so verständlich. Hier drüben markiere ich immer, welche Regeln wir verwenden.
Die Regeln sind ja von 1 bis 5 durchnummeriert. Und da zeige ich hier an, welche wir benutzen. Die Gleichung, die wir lösen wollen, lautet 3 hoch 5x ist gleich 27 mal 9 hoch x plus 2. Und wir möchten gerne ein x finden, das diese Gleichung erfüllt. Nun, was machen wir? Wir wenden erstmal einen Logarithmus drauf an, weil wir ja die Basis auffressen wollen.
Und hier suche ich mir die Basis 3 aus. Damit kann ich auf jeden Fall anfangen. Da bin ich auf der linken Seite, habe ich dann schon mal recht schnell was erledigt. Okay, machen wir das. Ich schreibe es erst einmal vollständigerweise hin.
Also Logarithmus von 3 hoch 5x zur Basis 3 ist gleich Logarithmus von 27 mal 9 hoch x plus 2 zur Basis 3. Den Zwischenschritt würde ich normalerweise zum Beispiel weglassen. Aber der Vollständigkeit halber schreiben wir ihn jetzt mal hin. Jetzt wenden wir die Regeln 3 und 1 an. Auf der linken Seite die Regel 3. Die sagt, ich darf einen Exponenten von oben runterziehen. Das heißt, aus diesem Log 3 hoch 5x wird 5x mal Log 3. Und auf der rechten Seite haben wir hier ein Produkt drin.
Wir wissen, ein Produkt innen drin kann ich zu einer Summe außen machen. Also wird das zu Logarithmus von 7,20 plus Logarithmus von 9 hoch x plus 2. wir, wir könnten jetzt auch wieder mehrere Regeln gleichzeitig anwenden, mache ich aber nicht, sondern ich wende jetzt nur die Regel 5 an, die besagt, dass der Logarithmus von a zur Basis a gleich 1 ist. Wir haben hier Logarithmus von 3 zur Basis 3, frisst sich gegenseitig auf, es bleibt nur die 1 übrig, also 5x. Und die rechte Seite, hier habe ich nur bemerkt, dass 27 ja dasselbe ist wie 3 hoch 3. Das habe ich natürlich deswegen hingeschrieben, damit sich hier wieder die Basen auffressen können.
So, jetzt wenden wir Regel 3 wieder an, das heißt, ich ziehe hier die 3 nach vorne und ich ziehe hier das x plus 2 nach vorne. Auch das ist eine Regel, die man normalerweise, wenn man geübt ist, direkt so anwendet, dass ich einfach das wegstreiche, weil ich weiß, die 3 und die 3 fressen sich weg, es bleibt nur die 3 übrig. Aber eben jetzt einmal ausführlich.
Dann haben wir das. Hier habe ich noch bemerkt, die 9 kann ich auch als eine 3er-Potenz schreiben, nämlich 3 zum Quadrat. Und kann wieder die Regel Nummer 5 anwenden, das heißt, hier kommt eine 1 raus. Und hier kann ich noch die Regel 3 anwenden und die 2 nach vorne ziehen.
Als letztes bemerke ich noch, hier habe ich noch mal Log 3 von 3, also wieder 1. Jetzt habe ich eine ganz einfache Gleichung, nämlich nur noch 5x ist gleich 3 plus 2 mal x plus 2. Den kleinen Rest rechne ich eben hier drüben durch. Dann multiplizieren wir das aus. Dann haben wir 5x ist 3 plus 2x plus 4. Die x auf die Seite gibt nur 3x.
3 plus 4 ist 7. Noch durch 3 geteilt gibt x ist gleich 7 Drittel. Der interessante Teil war natürlich hier in der Anwendung. der Logarithmusregeln.