Ah, ne Krake! Halt, ne! Heute geht's um das 3D-Koordinatensystem als Grundlage für die Vektorgeometrie. Was das ist, das zeigen wir euch jetzt.
Schon seit ner Weile kennt ihr das Ding hier. Ein zweidimensionales Koordinatensystem. Wofür braucht man denn sowas?
Stellt euch mal vor, ihr spielt Schiffe versenken. Euer Gegner hat seine Schiffe aufgestellt und ihr müsst erraten, wo. Wie macht ihr das?
Klar, ihr sagt zum Beispiel B4. Und dann sucht der Gegner zuerst die B-Zeile und dann die vierte Spalte davon. Wäre jetzt zum Beispiel ein Treffer.
Genau das ist der Sinn von Koordinatensystem. Man hat Punkte, wie zum Beispiel den hier. Und die will man eindeutig benennen können.
So wie hier zum Beispiel mit B4. Die Benennung von solchen Punkten heißt übrigens Koordinate. Deshalb sagt man dann zu den ganzen Punkten mit den Achsen auch Koordinatensystem.
Zurück zu unserem System hier. Klar, unten X-Achse. Hochzust die Y-Achse, beides mit Zahlen beschriftet. Natürlich gibt es auch negative Zahlen. Wenn man sowas hat, verlängert man die Achsen noch in Minusrichtung.
Am besten macht man so Koordinatensysteme auf Karopapier. Meistens ist eine Längeneinheit 1 cm, also 2 Kästchen. Der Punkt, der da liegt, wo bei beiden Achsen die 0 ist, den nennt man den Ursprung.
Abgekürzt mit O, weil es wie eine 0 aussieht. Man kann Koordinaten angeben und dann den richtigen Punkt finden. Zuerst wird die x-Koordinate, also die Zahl in x-Richtung angegeben.
Dann die y-Koordinate. Der Punkt 4,3 zum Beispiel. Der ist hier.
4 auf der x-Achse nach rechts, dann 3 in y-Richtung nach oben. Nun ist bei uns ja nicht nur 2D, sondern 3D. Das merkt jeder, der schon mal in seiner Wohnung Möbel aufgebaut hat.
Klar, ein Schrank hat Länge und Breite. Aber halt auch noch ne Höhe, sonst könnte man ja nix reinhängen. Also wär's doch ganz clever, auch dreidimensionale Koordinatensysteme zu haben, oder? Das hat jetzt 3 Achsen. Nach vorne zeigt die x-Achse, nach rechts die y-Achse.
Und dann kommt hochzusch noch die z-Achse dazu. Wie gewohnt ein besonderer Punkt da, wo alle Koordinaten 0 sind, der Ursprung. Zwei Sachen sind hier jetzt mega wichtig. Erstens, die Achsen stehen alle senkrecht aufeinander. Eigentlich würde euch die x-Achse also aus dem Bildschirm entgegenkommen.
Weil ihr aber wohl nicht den Original-THC, also The Simple Club Hologram Creator habt, können wir das nicht direkt so darstellen. Also macht man das so schräg nach vorne. Perspektive und so. Die Beschriftung macht man dann auch so verzerrt. Normalerweise pro diagonalem Kästchen den Strich machen.
Zweitens, wir haben jetzt die Achse nach vorne X, die nach rechts Y und die Hochzus Z genannt. Manchmal werden die aber auch in anderer Reihenfolge benannt. Oder statt mit X, Y und Z mit X1, X2 und X3. Macht das am besten so, wie es euch in der Schule gezeigt wurde.
Schön und gut der ganze Abfuck, aber was wirklich wichtig ist, wie zeichnet man da Punkte ein? Nehmen wir zum Beispiel mal den Punkt A455. Das erste ist die X-Koordinate. Also 4 nach vorne, auf der X-Achse lang. Jetzt 5 nach rechts, weil die Y-Koordinate 5 ist.
Da bleiben wir noch in der XY-Ebene. Und dann zuletzt noch 5 hoch. Da ist der Punkt 455. Probiert's auch mal mit anderen Punkten aus, bis ihr den Dreh raus habt. Ihr habt euch vielleicht grad schon gewundert. XY-Ebene?
Was ist das? Ihr werdet oft was von der XY, XZ oder YZ-Ebene hören. Deshalb erklären wir euch die 3 mal im Koordinatensystem.
Nehmen wir zum Beispiel mal die YZ-Ebene. Das ist die Ebene, auf die ihr gerade drauf schaut. So als ob ihr ein Blatt Papier auf die Y- und die Z-Achse legt.
Alle Punkte in der Ebene haben eins gemeinsam. Sie kommen nicht aus dem Bildschirm raus. Haben also 0 als X-Koordinate.
Genauso ist die xy-Ebene die Fläche, die ihr kriegt, wenn ihr ein Blatt auf die x- und die y-Achse legt. Da ist die z-Koordinate 0. Und so ist es auch für die xz-Ebene. Hier ist die y-Koordinate 0. Also immer die Koordinate, die nicht die Ebene aufspannt, ist 0. Jetzt können wir euch auch noch was zeigen. Nämlich wie man Koordinaten von Punkten auch wieder abliest. Ohne Hilfestellung kann man das in dem verzerrten Koordinatensystem erstmal nicht.
Erinnert euch erstmal an den Punkt von gerade eben bei 4, 5, 5. Zeichnet nämlich mal den Punkt 033 ein. In der Darstellung landet ihr da genau auf dem Punkt von vorhin. Aber es gibt viele Aufgaben, die einem helfen und dann geht's. Zum Beispiel Punkt A von vorhin soll eine Stelle an einer Schlucht sein.
Und Jan, der Baumeister, soll zu dem neuen Punkt B auf der anderen Seite eine Brücke bauen. Natürlich horizontal. Weißt, wegen Autos und so.
Dann kann Jan direkt sagen, wo der Punkt B liegt. Der liegt nämlich erstmal auch auf der Höhe 5, weil die Brücke horizontal sein soll. Also 5 über der xy-Ebene. Wir gehen deshalb schon mal 5 runter bis auf die xy-Ebene.
Jetzt machen wir das vom Punkt einzeichnen rückwärts. Wir gehen deshalb in der xy-Ebene in y-Richtung bis zur x-Achse zurück. Von der x-Achse sind wir 6 weg.
Die y-Koordinate ist also 6. Jetzt geht's auf der x-Achse zurück bis zum Ursprung. Das ist die x-Koordinate. Mit einer Angabe wie hier der Höhe kann man also doch Punkte ablesen.
Was genau müsst ihr euch merken? Man kann Punkte nicht nur in 2D, sondern auch in 3D mit sogenannten Koordinaten beschreiben. Um das zu machen, benutzt man ein Koordinatensystem.
Alle Achsen stehen senkrecht aufeinander und in 3D zeigt die X-Achse aus der Zeichenebene heraus. Um das zu zeichnen, zeichnet man die Achse schräg nach vorne, Perspektive und sowas. Punkte einzeichnen macht man systematisch.
Erst entlang der X-Achse, dann in Y-Richtung, dann hoch in Z-Richtung. Punkte ablesen geht nicht ohne Hilfestellung. Da muss wie auch immer eine Koordinate gegeben werden. Wenn man die hat, geht man in die anderen beiden Richtungen zurück, bis man am Ursprung ist und hat dann auch seinen Punkt.