Cette vidéo, comme d'habitude, c'est une vidéo interactive et pour profiter de l'interactivité, je t'attends sur novelclasse.com. Je t'ai mis le lien juste en dessous dans la description. A tout de suite ! Salut mes petits nouvelles, c'est Théo de Nouvelle Classe comme d'habitude.
On se retrouve aujourd'hui pour le chapitre sur la dérivation. Dans cette vidéo, on va voir le cours comme d'habitude. On va reprendre dans le détail, on va voir les formules à connaître. Dans la deuxième vidéo, on verra les méthodes à connaître. Et dans la troisième vidéo, on fera ensemble trois exercices corrigés.
Donc on est parti pour le cours dans cette vidéo. Et comme d'habitude, je vais te demander de prendre un stylo et une feuille avec toi pour faire une fiche de cours en même temps que moi. Donc est-ce que tu as bien une feuille et un stylo avec toi ?
On est parti pour le cours sur la dérivation. Alors est-ce que tu veux tout reprendre dans le détail pour bien comprendre qu'est-ce qu'une dérivée et d'où vient la dérivation ou est-ce que tu veux qu'on passe directement aux formules à connaître ? C'est parfait, on est parti avec les explications détaillées.
On va commencer par se demander d'où vient la dérivée. Et pour ça, on va voir un cas particulier. Alors tout d'abord, voici une fonction f de x dessinée dans un repère.
Et bien la dérivée est une fonction f de x dessinée dans un repère. La dérivée de f de x, c'est le calcul du taux d'accroissement entre deux points de x. C'est-à-dire qu'ici, par exemple, si je calcule la dérivée en ce point-ci, par exemple 1, eh bien, c'est le calcul de la pente sur ce point. en ce point 1. Donc en fait d'où vient la dérivée ?
Quelle est son origine ? Et bien pour calculer la dérivée je vais prendre une fonction de référence par exemple f de x égale x au carré par exemple et je vais tout d'abord calculer son taux d'accroissement. Le taux d'accroissement d'une fonction taux d'accroissement, et bien il est égal à f de a plus h moins f de a sur h.
Et en fait qu'est-ce que ça représente ? Et bien ça représente l'accroissement entre un point a et un point a plus. C'est à dire qu'en fait sur une fonction par exemple ici au hasard on va prendre ici un point A et ici un point A plus H avec H qui tend vers 0 car on veut que la distance entre les points A et A plus H soit la plus petite possible. Et en fait cette formule va tout simplement nous permettre de calculer l'accroissement qui existe en un point de notre fonction et donc entre A et A plus H avec H qui tend vers 0. Donc par exemple dans le cas de F2x égale x² j'avais calculé le taux d'accroissement. d'accroissement et je vais par exemple prendre a qui est égal à 1 pour l'exemple.
On va donc réaliser ce calcul on va donc avoir f de 1 plus h moins f de 1 sur h ce qui va être égal puisqu'on a x² à 1 plus h au carré moins 1 au carré sur h. Ceci va être égal avec l'identité remarquable qu'on a ici à 2h plus h² sur h que je peux factoriser par h et h' Ça va donc me donner h facteur de 2 plus h sur h. Et lorsque je simplifie, ceci me donne 2 plus h. Alors ensuite, on a la notion de dérivabilité.
Est-ce que ma fonction f de x égale x au carré est dérivable en a égale 1, donc en x égale 1 ? Eh bien ici, je vais dire que oui, car comme on l'a vu, h tend vers 0, car l'écart entre a et a plus h est le plus petit possible. Et donc, mon taux d'accroissement en a égale 1...
vaut 2 qui est une limite finie. Puisque ma limite est finie, alors ma fonction f2x égale x² est dérivable en a égale 1. Donc on sait que ma fonction est dérivable en a égale 1 car mon taux d'accroissement a une limite finie. Et ici, cette limite est égale à 2. Alors maintenant, pour calculer la dérivée d'une fonction, c'est exactement la même chose, sauf qu'au lieu de remplacer a par un chiffre particulier, on va garder a pour appliquer cette formule dans le cas général. C'est-à-dire que pour calculer la dérivée d'une fonction, on va calculer la même chose, mais on va garder a au lieu de remplacer a par une valeur pour rester dans le cas général.
En fait, calculer la dérivée d'une fonction, c'est une généralisation du calcul d'un seul point dérivé de f. Ici, on a calculé la dérivée en a égale 1, mais calculer la dérivée d'une fonction de manière générale, c'est calculer la dérivée pour n'importe quel point de notre fonction. Et c'est logique puisque le but, c'est d'obtenir la dérivée de f en n'importe quel point de son intervalle.
On va donc faire le calcul du taux d'accroissement dans le cas général, et donc le calcul du taux d'accroissement sur l'intervalle dans lequel la fonction existe. Et c'est comme ça qu'on va calculer la dérivée. La dérivée vient donc d'un calcul du taux d'accroissement, c'est-à-dire de la pente qui existe en chaque point de la fonction. Ici, je le fais très grossièrement. Mais en gros, on va calculer la pente et le taux d'accroissement en 5 points de la fonction et en tous les points de l'intervalle sur lequel la fonction existe.
Et c'est comme ça qu'on va calculer la dérivée d'une fonction. Alors au niveau des notations, une fonction f de x a pour dérivée f'de x. Et dans ce cas-ci, on peut dire que la dérivée de f en a égale 1, donc la dérivée de f en a égale 1, vaut 2, car on l'a calculé ici. Ici, on a donc la dérivée de la fonction en a égale 1, et ça, c'est la notation pour la dérivée de notre fonction en n'importe quel point de son intervalle. Pour finir, la dernière chose qui est à savoir, c'est qu'une dérivée permet d'étudier une fonction.
On va calculer la dérivée d'une fonction pour pouvoir l'étudier, et notamment étudier ses variations sur son intervalle de dérivabilité. Maintenant que tu sais ce qu'est une dérivée, on va voir les formules à connaître pour réaliser les exercices et à la fin nous parlerons de la tangente. C'est parti !
Alors avant de te montrer les formules, je vais juste préciser quelque chose de très important, c'est un petit conseil nouvelle classe. Il faut bien dire qu'une fonction est dérivable avant de calculer sa dérivée. Donc dans les tableaux et dans les formules que l'on va voir, on va te donner différents intervalles de dérivabilité et la dérivabilité.
ce sont les points pour lesquels le taux d'accroissement a une limite finie, comme on l'a vu dans les explications détaillées. Le petit conseil que tu as à retenir, c'est simplement de bien dire qu'une fonction est dérivable sur tel intervalle avant de calculer sa dérivée sur ce même intervalle de dérivabilité. Alors maintenant, on va voir différentes formules que tu as à connaître pour déterminer les fonctions dérivées. Alors souvent dans les livres, on va te donner plein de formules, mais là je vais tout résumer en 4 formules, et tu vas voir à partir de ça, c'est très très simple. On peut tout d'abord avoir la fonction constante f de x égale k, donc avec k qui appartient à r par exemple, k un réel et donc f de x qui est une constante.
Cette fonction est dérivable sur r car on peut la dériver pour n'importe quelle constante appartenant à r. Et comme je te l'ai dit, il faut bien préciser que la fonction est dérivable avant de calculer sa dérivée. Donc ici elle est dérivable sur r et la dérivée d'une constante f prime de x est égale à 0 tout simplement. On peut ensuite avoir f de x égale x puissance n, avec n un entier naturel. Elle est dérivable sur R, et sa dérivée, retiens bien cette formule, est égale à n fois x puissance n moins 1. Et en fait, à partir de cette formule, il n'y a pas d'autre chose à connaître.
Souvent dans les livres, on te demande de calculer et de connaître surtout la dérivée de f de x égale x, de f de x égale x carré, de f de x égale x cube, etc. Et bien en fait quand tu connais cette formule, tu remarques qu'à chaque fois c'est ce cas là qu'il faut appliquer. Par exemple si je prends f de x égale x, ça revient à f de x puissance f de x égale x puissance 1. Et si j'applique ici ma formule, f de x puissance 1, sa dérivée va être égale à n, donc à 1, fois x puissance n moins 1, et donc puissance 1 moins 1, c'est à dire 0. Quand on a...
Quelque chose à la puissance 0, ça donne 1. Et 1 fois 1, ça donne 1. Donc en fait, dans ton livre, on va te demander d'apprendre par cœur la dérivée de f de x égale x. On va te demander d'apprendre par cœur qu'elle est égale à 1. Mais si tu connais cette unique formule, tu peux la retrouver très facilement. Et c'est pareil avec x². f prime de x², c'est égal à n. Donc 2 facteur de x puissance n-1 donc puissance 1, ce qui donne donc 2x.
Et c'est exactement les formules qu'on peut te demander d'apprendre par cœur alors que tu peux les retrouver toi-même en utilisant cette formule. Pareil avec x³, f'de x³ va être égal à... 3x au carré, d'après ce qu'on a vu jusqu'ici. On a également f de x égale 1 sur x à connaître, qui est dérivable sur l'intervalle moins l'infini, 0 et 0 plus l'infini.
Pourquoi ? Car 1 sur 0, cela n'est pas possible, ça n'existe pas et donc on exclut le 0. Ça sert juste à ça, en fait, d'écrire ça. Donc elle est dérivable sur moins l'infini, 0 et 0 plus l'infini, donc avec 0 exclu.
Et sa dérivée, f prime de x, est égale à moins 1 sur x carré, tout simplement. Et pour finir, on peut avoir f de x égale racine de x, dérivable sur l'intervalle 0 exclu plus l'infini, car ta fonction racine est définie uniquement sur cet intervalle, et ceci va nous donner f prime de x qui est égale à 1 sur 2 fois racine de x. Donc voilà les 4 formules à connaître, il n'y a aucune autre formule à connaître en première, tu dois connaître ces 4 formules. pour calculer une dérivée en première.
Alors pour finir mon petit novel, il existe les opérations sur les dérivées. Et tu vas voir ce que c'est, c'est très très simple. Par exemple, si tu as f de x égale 2x sur 3x², eh bien tu vois qu'on a une fonction au numérateur qui dépend de x, et une fonction au dénominateur qui dépend de x.
On a donc quelque chose de la forme u sur v, et tu dois savoir calculer la dérivée d'une opération sur les limites de la forme u sur v. C'est pareil ici avec f de x égale 2x fois 3x carré, c'est de la forme u sur v, et on va voir sa dérivée dans le tableau juste ici. En fait, ce qu'il faut que tu retiennes, c'est que si tu as autre chose à calculer que quelque chose de la forme k, x puissance n, 1 sur x, ou racine de x, si tu as quelque chose de plus complexe, de plus riche, que simplement les expressions qu'on a vues dans le tableau précédent, eh bien tu es dans le cas des opérations sur les limites. Tu dois donc déterminer quelle est l'opération que tu as sous les yeux, tu dois connaître la formule pour calculer sa dérivée. Donc par exemple, on va commencer avec le premier cas le plus simple. Si tu as une fonction de la forme u plus v, et bien sa dérivée, ce sera u' plus V'.
Donc ce sera la somme des dérivés. La dérivée de U plus V, c'est la somme des dérivés. Par exemple ici, si j'ai F2X égale 2X plus 3X², et bien pour calculer F'2X, je vais faire la dérivée de chaque terme de cette somme.
C'est-à-dire la dérivée de 2X qui est égale à 2, plus la dérivée de 3X² qui est égale à 6X, d'après ce qu'on a vu juste avant, et on va revoir ça dans les méthodes. Donc il y a ensuite différents cas. Si tu es dans le cas U fois V, comme on l'a vu ici, et bien la dérivée ce sera U'V.
plus v'u. Voilà la formule à connaître. Et on reverra encore une fois comment ça marche dans les méthodes. Si tu es dans le cas k fois u, c'est-à-dire une constante fois une fonction dépendant de x, eh bien sa dérivée, ce sera k fois u'.
C'est-à-dire que... La constante va rester devant, elle ne va pas bouger, et on va calculer tout simplement la dérivée de la fonction qu'on a juste après. Si tu es dans le cas u², la dérivée sera 2 fois u fois u'. C'est-à-dire que tu vas calculer la dérivée...
de u toute seule et tu vas ensuite écrire 2 fois u que tu vas recopier fois u'la dérivée de u que tu auras calculé. Ensuite si tu es dans le cas 1 sur v, donc par exemple dans le cas f de x égale 1 sur 2x plus 3x carré par exemple, tu es dans le cas 1 sur v avec v ici, une fonction, et bien pour calculer la dérivée de cet ensemble, donc de f de x, et bien ceci est égal à moins v prime sur v. sur v². Donc ça, c'est, je dirais, la formule un petit peu compliquée à retenir, qui n'est pas évidente.
Et la dernière formule, c'est située dans le cas u sur v, comme on l'a vu ici au tout début. Eh bien, la dérivée, ce sera u'v moins v'u sur v², tout simplement. Donc maintenant, mon petit novel, tu sais calculer la dérivée d'une fonction dépendant de x, tu sais calculer une opération sur les dérivées, et donc on va pouvoir passer tout de suite aux méthodes.
Alors attention, mon petit novel, une question un petit peu délicate. On demande parfois de déterminer... Déterminer l'équation de la tangente à une fonction f en un point a.
Alors la tangente, qu'est-ce que c'est ? Par exemple ici j'ai tracé dans mon repère la fonction x². Et si je demande la tangente à ma fonction x² en x égale 1, ce sera tout simplement mon taux d'accroissement, c'est-à-dire ma pente à... à cette courbe et donc à cette fonction x² en x égale 1. La tangente, c'est donc cette droite, tout simplement, puisque c'est une droite qui représente la pente de ma fonction x² en x égale 1. Et on peut demander souvent de calculer...
l'équation, de déterminer l'équation, d'écrire l'équation de cette tangente. Et bien ce qu'il faut savoir, c'est que cette équation, elle est égale à f'de a, facteur de x moins a, plus f de a. Alors je te la précise, car il y a énormément d'étudiants qui ne connaissent pas cette formule, et au bac, il est très fréquent qu'on la pose. Donc je te l'inscris ici, écris-la tranquillement sur ta fiche, et retiens bien cette formule, on va voir son application dans les exercices corrigés. Et voilà, on a fini le cours sur la...
la dérivation, on se retrouve tout de suite dans la vidéo qui suit juste après pour voir ensemble les méthodes à connaître sur la dérivation. C'est parti !