रोल्स थ्योरम पर व्याख्यान

परिचय

• व्याख्याता: डॉक्टर गजिन्दु प्रोईत
• माध्यम: यूट्यूब चैनल
• विषय: रोल्स थ्योरम (Rolle's Theorem)

महत्वपूर्ण बिंदु

थ्योरम की शर्तें (Conditions of the Theorem)

1. फंक्शन (Function) f(x) क्लोज इंटरवल [a, b] पर कंटिनियस (Continuous) होना चाहिए।
2. ओपन इंटरवल (a, b) पर डिफरेंशिएबल (Differentiable) होना चाहिए।
3. एंड-पॉइंट्स a और b पर फंक्शन की वैल्यू एक ही होनी चाहिए अर्थात f(a) = f(b)।

थ्योरम का स्टेटमेंट

• अगर उपरोक्त शर्तें पूरी होती हैं, तो ऐसा c पॉइंट [a, b] में जरूर मिलेगा जहां f'(c) = 0 होगा।
• ग्राफिकल व्यख्यान: यदि ग्राफ a से b तक कर्व है, तो कर्व का टेंजेंट किसी बिंदु पर x-ऐक्सिस के समानांतर होगा।
• Rolle's Theorem का प्रूफ:
  • f(x) क्लोज्ड इंटरवल [a, b] पर कंटिनियस है और ओपन इंटरवल (a, b) पर डिफरेंशिएबल है।
  • अगर f(a) = f(b), तो बीच में c पॉइंट exist करेगा जहां f'(c) = 0 होगा।
  • मैक्सिमा और मिनिमा थ्योरम दर्शाता है की अगर मैक्स और मिन वैल्यू बराबर हैं, तो फंक्शन constant है और f'(x) सभी x के लिए 0 होगा।

अब थ्योरम का प्रूफ

• ग्राफिकल व्याख्यान में, अगर कर्व ऊपर या नीचे घूमता है, तो एक पॉइंट ऐसा होगा जहां टेंजेंट x-ऐक्सिस के समानांतर होगा।
• विशेष ध्यान दें: यदि मैक्सिमा और मिनिमा वैल्यू अलग-अलग हों, तो राइट हैंड और लेफ्ट हैंड डिफरेंशियेशन अलग होंगे।

रोल्स थ्योरम बेस्ड प्रश्न

1. Example 1

   • फंक्शन: f(x) = x^2
   • इंटरवल: [-1, 1]
   • चेक: f(-1) = f(1) = 1
   • डेरिवेटिव: f'(x) = 2x
   • f'(c) = 0 के लिए c = 0 यह इंटरवल में है, hence, थ्योरम सत्यापित है।

2. Example 2

   • फंक्शन: f(x) = x^2 - 6x + 8
   • इंटरवल: [2, 4]
   • चेक: f(2) = f(4) = 0
   • डेरिवेटिव: f'(x) = 2x - 6
   • 2c - 6 = 0, तो c = 3
   • Hence, Theroem सत्यापित होती है।

3. Example 3

   • साक्ष्य: बॉउंड्री वैल्यूज़ (boundary values) के बराबर करते हैं
   • f(x) = (1/n+1)x^(n+1) - (1/n)x^n + ...
   • चेक f(0) = f(1) = 0
   • डिफरेंशिएशन और वेरिफिकेशन के माध्यम से देखना

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