विवाद विवाद विवाद विवाद विवाद विवाद विवाद विवाद विवाद विवाद विवाद विवाद विवाद विवाद विवाद विवाद विवाद विवाद व हेलो हेलो स्टूडेंट्स मैं डॉक्टर गजिन्दु प्रोईत और आप देख रहे हैं मेरा यूट्यूब चैनल जहां पर मैं वीडियोस अपलोड करता रॉल्स मीनवेली छरम कराने वाला हूं इसके बा� प्लस इन में आये वे जो questions हैं वो मैं आपके सामना discuss करूँगा इस विडियो पर आपको आई डिप पर देख सकते हैं प्लस इसको समझने से पहले आपको limit, continuity and differentiability के बारे में आपको आई डिप होना ज़रूरी है if fx is फर्ट फंक्शन डिफाइन ऑन क्लॉस इंटरवेल एबी सच देट एफेक्स इस कंटिनियस इन क्लॉस इंटरवेल एबी है ना लोग इंटरवेल में क्या होना चाहिए फंक्शन कंटिनियस होना चाहिए एंड ओपन इंटरवेल में फंक्शन क्या होना चाहिए डिफरेंटिबल होना चाहिए राइट एंड जो एंड पॉइंट्स है उस पर फंक्शन की वेल्यू अगर एकवल होती है तो एंड एकवल में एक एसा सी पॉइंट एक्सिस्ट करेगा जहां पर इसके डिफरेंटिबल की वेल्यू क्या होगी जीरोगी अगर इसको यहां से ऐसा समझ सकते हैं कि यह इस टाइप के अगर हमारे पास कोई ग्राफ है माल लीजिए इसका ए पॉइंट और यह इसका बी पॉइंट है लाइट यह हमारे पास ए पॉइंट है यह हमारे पास बी पॉइंट है और इसको अगर हम ऐसे मिला है यहां पर राइट है तो हम जो कर्व है वो कहीं राउंड हो रहा है या तो ऊपर से राउंड हो रहा है या नीचे से राउंड हो रहा है और अगर राउंड हो रहा है तो एक पॉइंट ऐसा ज़रूर मिलेगा जहाँ पर इसकी जो टेंजेंट होगी वो एक्स एक्सेस के पैरलल होगी राइट और अगर क जिस पाइंट पर डेरिवेटिव जो है वह जीरो एटमिन्स उसको जो टेंजेंट वह एक्स एक्स कि क्या होती है पैरल होती तो थ्यौरम यही बोलती है दो डिस्टिंग पॉइंट पर फंक्शन की वेलियो सेम हारी है तो बीच में एक ऐसा पाइंट तो यही यह थियरम यहां पर बोलती है तो इसका प्रूव समझने की जरूरत है इसका प्रूव क्या है गिवन द एफेक्स इस कंटिनियुस इन प्लूज इंटरवेल एबी बाय द मॉस्टेस थियरम इस प्रॉब्लम क्या बोलती है कि अगर कोई भी फॉर्म क्षेन प्लूज इंटरवेल के अंदर कंटिनियुस है तो उसका मैक्स यह थिरम बोलती है कि इफेक्स कंटीनियल से इंट्रीवेल ए भी देना है मॉस्टर शेयरम एफेक्स अटेन इट्स मैक्सिमा और मिनिमम वेल्यू देर एडिजेस टू अब यहां पर हमारे पास दो पॉसिबिलिटी हो गया ना ऑफिसली अगर फंक्शन कंटीनियल तो भाईया इन दोनों पर पॉइंट पर फंक्शन की विल्यू क्या हो रही है? सेम हो रही है, right? हैना ऐसा भी तो हो सकता है, clear है? अगर ऐसा होगा तो बीच में ऐसा point C जरूर exist करेगा और चुकी इस C point है और ये constant है Zero होगा, right? if maximum and minimum value are equal अगर किसी भी function की maximum और minimum value equal होती it means वो function क्या है? Constant है that is fx is constant function and then f'x is equal to zero for all x belongs to a, b तो अगर एक बिल्कुल जी बिल्कुल जी बिल्कुल जी बिल्कुल जी बिल्कुल जी बिल्कुल जी बिल्कुल जी बिल्कुल जी बिल्कुल जी बिल्कुल जी बिल्कुल जी बिल्कुल जी बिल्कुल जी बिल्कुल जी बिल्कुल जी बिल्कुल जी बिल्कुल जी बिल्कु है और इसको लेते हैं हम सी प्लस एच है ना तो यहां पर हमारे पास जो फंक्शन की वेलीवी इस पाइंट पर है ना मैं इसको लेता हूं इस पॉइंट पर फंक्शन की वेलीवी लेता हूं मैं सी माइनस एच है ना और इस होगी वह हमारे पास क्या होगी एप्सी प्लस होगी राइट एप्सी प्लस होगी ले रहा है और हम जानते दोनों हमारे पास यहां पर क्या वेलीवी समझने कोशिश करना इस यह समझना इसका डिफरेंस इसका और इसका डिफरेंस तो इसलिए यहां बात करूं है ना, if maximum, minimum, minimum value are distinct, है ना, मान लिखे हमने अलग-अलग point पर maximum, ये इस point पर maximum दे रहा है, इन दोनों point पर हमारे पास किसी एक point भी क्या रहा है, minimum आ रहा है, right, suppose fx is maximum at c, तो हम जानते हैं कि fx plus c minus fx, इस point का difference इससे क्या आएगा, negative आएगा, right, अरे भईया, fx plus, fc minus h minus fc, है न अगर सीप्लस से इससे भी इसका डिफरेंस निकाले मतलब इससे भी सकते ऐप्सी का डिफरेंस निकाले तो यह प वेरे हेच इस स्मॉल हमारे पास हेच यहाँ पे क्या स्मॉल है तो आप समझने कोशिश करें यह जो वेल्यू है यह हमारे पास FC-H है और यह FC है तो FC बड़ा है तो अगर FC-H मेंसे FC-करेंगे तो नेगिटिव हैगा राइट यही मैं समझाने की कोशिश कर रहा हूँ राइट यह नेगेटिव था, अगर यह नेगेटिव है, तो इसको अगर मैं ह से डिवाइड करूँ तो भी नेगेटिव ही होगा, और मैंने अभी आपके सामने लिया था कि F C-H-F C भी यह भी नेगेटिव था, पर अगर मैं माइनस H से डिवाइड कर दू, मतलब नेगेटिव से तो तो इन S से डिवाइट करेंगे तो वही नेगेटिव रहेगा, इसलिए यह भी हमारे पास नेगेटिव था, पर minus S से डिवाइट करेंगे तो पॉजिटिव है, अब आप उन्होंने के लिए क्या ज़रूरत पड़े, ऐसा इसलिए करना पड़ा, ताकि हम चाहते हैं कि यह हमा यह दोनों ही एक less than 0 आ रहा, एक greater than 0 आ रहा, right, it means यह दोनों ही बाराबर नहीं है, मतलब यह हुआ कि right hand derivative is not equal to left hand derivative, clear है, यहाँ पे यहाँ आ रहा है, है न, बाइट इस रिजल्ट लेटेंड एडिटीव नॉट इक्वल टू राइट एंड एडिटीव पर हमें क्वेश्चन में जो थिवरम का स्टेटमेंट प्रदेशन और यह दोनों किस केस में बाराबर हो जाए जो यहां पर क्या हो जाए जीरों जाए अगर यह दोनों ही जीरों हो जाए इसका मतलब यहां पर क्या होगा इस फ्रेंड एप्सीज इकुल टू क्या हो जाएगा जीरों जाएगा है ना अगर यह ओपन इंटरवेल में डिफरेंचेबल है और अगर उसके एंट पॉइंट से फंक्शन की वेल्यू बराबर है तो एक ऐसा पॉइंट सी एग्जिस्ट करेगा इस एबी के अंदर एबी के अंदर तो इस तरह समय यहां पर रोल सीरम को प्रूव करते हैं अब इस विशेष बात करेंगे इस पर बेस कुछ क्वेश्चन स्विंग क्वेश्चन देखिए आप वेरीफाई रोल सीरम इन माइनस 12 वन फॉर द फंक्शन एफ एक्स इक्वेड एक्स स्क्वार कि प्लॉज इंटरवेल में कंटीनियल से इन तो एवरी पॉलिनेमिल इस कंटीनियल तो इसमें यह कंटीनियल तो है यह और यह यहां है और वह यह होता है कि इसकी जो पॉइंट होते हैं मतलब ऐप माइनस वन किसके बाराबर ना ची� तो यह जो point है इन दोनों पर हम check करेंगे तो अब चेक करेंगे minus 1 का square 1 होता है और plus 1 का square भी क्या होता है 1 ही होता है तो दोनों बाराबर हो गया इसका मतलब यहाँ पर इसकी function की value हो तो third condition में satisfy होगी अब हमारे पास क्या बोलता है कि ऐसा point इस minus 1 to 1 में exist करेगा जहाँ पर इसक और यहां पर सी रखना है एक्स की जगह तो टू सीज इक्वुल टू जीरो तो इस तुम यहां पर हमारे पास सीज इक्वुल टू जीरो और सी जो होता है वह इस इंटरवेल में है है ना सीज इक्वुल टू जीरो बिलॉंग्स टू टू यहां पर क्या होती है तो इस तरह से यहां पर वेरिफाई करते हैं बहुत अच्छा क्वेश्चन है अगर आप यहां पर टू और फॉर पर आपको देखा कि एफेक्ट्स इक्वल एक्स स्क्वायर माइनस सिक्स प्लस एड आपको यह चेक करना है यहां पर रोल्स यह होगी या नहीं होगी तो सुन सबसे पहले एंड पॉइंट पर देखो फंक्शन पॉलिट तो यह थिरम अप्लाई कर पाएंगे तो इसमें टू की जगह वेल्यू रखने पर आप देख रहे हो हमारे पास एप्ट वेल्यू जीवर हो जाएंगे इसका मतलब यह हुआ कि देख जिस सी बिलॉंग्स टू ए टू कोमा फॉर सच देट सच देट एफ डेट सी कि टू सी माइनस सिक्स इकुल जी तो सुन सी की वेल्यू हमारे पास कितनी है यह वन बाई थ्री और हम जानते हैं वन बाई थ्री सिंटर में लाइक करता देटी सीजी कुड वन बाई थ्री लाइन देश इंटरवेल टू कोमा फॉर इसका मतलब 2.4 में लाइक रहा है, 1 by 3 नहीं था, 1 by 3 आउट लाइक कर रहा था, अगर ऐसा आउट लाइक कर जाएगा, तो हम बोलेंगे कि यहाँ पर role theorem verify नहीं होती है, you cannot apply role theorem in this case, right, अगर 1 by 3 आता तो फिर यह इंटरवेल में नहीं आता, मतलब ऐसा कोई भी इसी एक्जिस्ट नहीं करत हमारे पास यह दे रखा है, alpha 0 upon n plus 1, alpha 1 upon n, इस तरह से हमारे पास दे रखा है, then show that there exists at least one x belongs to 0,1, such that यह हमारे पास क्या हो जाएगा, 0 हो जाएगा, right? प्रूफ पूछा जाता है question तो हम क्या करेंगे सुनिया पर हम यह पर फाइएक्स डिफाइन करेंगे इन दिस्क्लोज इंटरवेल 01 तो सुन फाइएक्स हमने ऐसा ले ले आपको ट्रिक समझने की जरूरत है जब यह साक्षन आता है तो यह देखो यह तो आप यहां पर करो एक्स पावर एंड प्लस ले लो यहां पर एक्स पावर एंड ले लो यहां पर एक्स पावर एंड माइनस ले लो इस तरह साब यहां पर यह हम ऐसा एजूम कर लेंगे लेंगे ऐसी हम यहां पर करेंगे एजूम कर लेंगे तो यह देखा क्वेश्चन इसमें यहां पर इस तरह साफ तक हम जब इसका डेरिवेटिव करेंगे ना तो एंट्रस पंच एंट्रस पंच कैंसल हो जाएं तो इस पॉलिमेल सो इस दिफरेंशेबल और एंड कंटीनियस राइट इन द प्लोज इंटरवेल ऑपन इंटरवेल यह जीरो कुमा वन राइट अब हम चेक करना है कि इसमें हमारे पास जो कंडीशन है वह सटेट होनी चाहिए तो सबसे हम यह चेक करेंगे कि एफ जीरो एफ जीरो पर कि वेली कितनी तो फाइज यहां पर जहां पर भी एक्समा जीरो रखेंगे हमने यह फाइज एज्जूम किया है अब इस फाइज एक्समा हम एक्स की जगह जीरो रखेंगे तो इसमें देखो सब जगह एक्स एक्स है तो यह पूरा जीरो हो जाएगा अब हम फाइज वन की वेल्यू निकाल पा अपन एन इस तरह से हमारे पास यह वेल्यू हैगी और इस विन यह भी हमारे पास अलर्डी गिवन है क्वेश्चन में जी रो आपके पास यह वेल्यू आ जाएगी राइट जैसे वन रखेंगे तो यह आ जाएगा तो यह भी जीरो इसका मतलब फाइड जीरो इस पर आपके पास यह भी जीरो इसका मतलब बराबर आ गया इसका मतलब बराबर आ गया इसका मतलब बराबर आ गया इसका मतलब बराबर आ गया इसका मतलब बरा तो फाइडेसी इज इक्वल टू जीरो हो जाएगा तो इसमें यहां पर इसका डेरिवेटिव करो और जहां पर भी सीवा जीरो कुट करो जहां पर एक्स वासी रखो और फिर इसको जीरो कुट कर दो तो जैसे इसको डिफरेंचेट करेंगे तो वेली होगी यहां पर एन प्लस बना गया गया तो इसमें यहां गाफिडो एक्स एन और और n प्लस 1 से n प्लस 1 कैंसल हो जाएगा, यहाँ पर n आएगा, तो यह x पावर n माइनस 1 हो जाएगा, इस रसम इसको डिफ सिम्प्लिफाई करेंगे, तो यहाँ पर 2 आगे आएगा, तो 2 से 2 कैंसल होगा, तो alpha n माइनस 1 x हो जाएगा, और यह alpha n हो जाएगा, और देखो यह है तो कोई बात नहीं है सीखे जगह में एक्सलेयर है तो हमारे पास यहां पर इसकी वीडियो की आ जाएगी जीरो जाएगी इस तरह से मेरे पास एक विशेष क्या हो जाएगा सिंपलिफाई हो जाएगा राइट यह हमारे पास हो जाएगा तो बहुत सिंपल सा क्वेश्चन है आपको यहां पर कुछ नहीं करना है बस रोल्स चीरम है 0 और 1 पे हम चेक करेंगे तो 0 और 1 पे function की value मतलब 5051 के बराबर आ रहा है तो इसका मतलब यह होगा इसके बीच में एक ऐसा x एक्स एक्सिस्ट करेगा जहाँ पर इसकी जो derivative की value होगी तो इस वज़े से थोड़ा मैं busy हूँ तो मैं थोड़ा काम नहीं कर पा रहा हूँ पर आने वाले समय में बहुत जल्दी आपके लिए यहाँ पर वीडियो वन टू वन बाई वन मिलते रहेंगे So thank you so much for watching me, like करें, share करें और चैनल को जरूर सस्क्राइब करें पुराना चैनल जिस पर मैं वीडियो अपलोड कर रहा हूँ तो बहुत