Note sulla Lezione di Analisi Matematica 1

Introduzione

• Ben ritrovati nel canale.
• Oggi si svolgerà un esercizio interessante proposto da un utente.
• L'esercizio riguarda una serie numerica e la sua somma.

Obiettivo dell'Esercizio

• Verificare la convergenza della serie e calcolare la somma.
• La convergenza è visibile tramite un confronto asintotico.

Convergenza della Serie

• La serie è convergente.
• La convergenza può essere dimostrata facilmente con il criterio del confronto asintotico.

Calcolo della Somma

• Non sempre è possibile calcolare direttamente la somma di una serie, anche se è convergente.
• Le serie geometriche sono un caso speciale dove la somma può essere calcolata facilmente.
• Importanza delle conoscenze di goniometria per calcolare somme.

Scomposizione del Termine

• Considerazione del termine ( \frac{1}{n(n+1)} ).
• Scomposizione in frazioni parziali:
  [ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{a}{n} + \frac{b}{n+1} ]
• Si trova che ( a = 1 ) e ( b = -1 ).

Utilizzo delle Formule Goniometriche

• Uso della formula di addizione e sottrazione del seno.
• Riscrittura del termine generale usando le proprietà delle funzioni trigonometriche.

Risultato Finale

• La serie si riduce a ( \sum_{n=1}^{\infty} \tan\left(\frac{1}{n}\right) - \tan\left(\frac{1}{n+1}\right) ).
• La somma telescopica porta a:
  • ( \tan(1) - \tan(\frac{1}{n+1}) )._

Calcolo del Limite

• Calcolo del limite per ( n \to \infty ):
  [ \lim_{n \to \infty} \left( \tan(1) - \tan\left(\frac{1}{n+1}\right) \right) = \tan(1) - 0 = \tan(1) ]_

Conclusione

• La somma della serie è ( \tan(1) ).
• Riflessione finale sull'importanza della matematica di base nello studio di serie numeriche.
• Ringraziamenti e appuntamento alla prossima lezione.