ciao a tutti ragazzi ben ritrovati nel mio canale oggi voglio svolgere questa serie ora vi spiego cosa voglio fare l'esercizio mi è stato proposto da un utente che segue il canale solitamente ottengo diverse e mail in cui mi viene chiesto di svolgere determinati esercizi ora non sempre soddisfa tutte le richieste nel senso che quando sono esercizi troppo semplici oppure può che hanno poco di interessante la cosa si risolve così in privato e finisce lì ma questa fonte questa serie l'ho voluta selezionare perché la ritengo molto interessante cioè in altre parole questa sera assegnata in un compito di analisi matematica 1 richiedeva uno la convergenza va bene ma questo è semplice tramite un confronto asintotico si vede subito che questa serie convergente d'accordo infatti voglio saltare questo punto ma richiedeva anche di calcolare la somma quindi ovvio che la serie convergente e questo si dimostrava facilmente col criterio del confronto asintotico ma chi è la somma ora come ben sapete quando avete una serie numerica non sempre è possibile in modo agevole andare a calcolare proprio la somma qualora la serie converge ma ci si limita solamente stabilire il carattere ma per uno dice converge di legge s converge spesso non viene detto che la somma qualcuno dice va bene allora si tratta quando chiedono la somma e quando la serie è una geometrica perché per le serie geometriche la somma si può calcolare d'accordo ma questa una serie geometrica e qualcuno potrebbe dire ma loro come si calcola la somma attenzione ragazzi questo è molto interessante in altre parole non bisogna avere conoscenze elevate per conoscere la somma di questa serie basta sapere sempre le preziosissime regole delle scuole superiori precisamente di goniometria per l'occasione io sul mio canale qualche tempo fa ho lasciato alcune video lezioni 8 attenzione molto sintetiche per quanto riguarda la goniometri sa come si fa questa ragazzi allora intanto guardate mi sto concentrando sul termine 1 fratto nnp 1 quindi a parte ora risolvo questo termine che cosa significa risolvere questo termine allora uno fratto enne che moltiplica np1 come faccio qui allora questo al numeratore abbiamo un numero un polinomio degradazione al denominatore abbiamo in questo caso n polinomio di grado 1 per render più uno poi 981 quindi di secondo grado però attenzione già è scomposto quindi questo lo dei compongo in due fazioni a piccolo fratto n più per esempio chiamiamolo b piccolo fratto np1 cioè devo andare a trovare un coefficiente a un numero reale è un coefficiente reale di in modo che rende vera questa uguaglianza come faccio questa è una cosa davvero molto semplice in pratica il minimo comune multiplo the day denominatori chi è che enne che moltiplica np1 quindi abbiamo semplicemente il minimo comune multiplo diviso tutto questo fa uno quindi un per 1 1 quindi al primo membro abbiamo uno uguale ora n perenne più uno fatto n risulta np1 quinti a piccolo che moltiplica np1 più e poi enne che moltiplica e nei più nel minimo comune multiplo tratto n più uno fa n quindi abbiamo bbn cioè andando a sviluppare però non mischiamo primo membro con il secondo membro abbiamo a piccolo x nnt n poi abbiamo a per uno che fa a e poi il pm quindi b per n cosa facciamo ma mettiamo una uguale ora raggruppiamo tutti i termini con la hand e quindi fra parentesi a più b che moltiplica n più a il termine noto quindi guardate il coefficiente dell'arena secondo membro ea più b ma qui non abbiamo n c'è come se ci fosse 0n quindi apb è uguale a zero in altre parole ha più b è uguale a zero sto facendo dei passaggi invece termine noto vari è uguale a 1 quindi a è uguale a 1 è un piccolo sistema immediato in altre parole a piccolo è uguale ad uno e di piccolo è uguale a meno 1 cosa vuol dire che questo termine cioè questo qui in verde 1 fatto n perenne più non l'argomento del seno si può scomporre come c'è come posso scrivere ora il seno di questo termine lo posso scrivere in questo modo sano di semplicemente uno su n quindi fra parentesi l'argomento è uno su n meno perché vi è uguale a me 1 quindi uno fratto np1 ora cosa vi viene in mente da fare ragazzi qui va bene la formula di addis di va bene addizione sottrazione del seno in questo caso sottrazione del seno che ovviamente dovete sapere se non sapete questo praticamente una sotto fido in descrizione il link andate a vedere la lezione che ho realizzato tempo fa ha proposto delle formule goniometri che quindi andando a facendo riferimento alla formula di sottrazione del seno che cosa viene qua allora viene semplicemente seno di uno suen per il coseno di uno a sud e non è più uno meno perché si tratta della formula di sottrazione del seno al contrario coseno di 1 su n per il seno di 1 su np1 perfetto guardate ragazzi attenzione mi sto concentrando sul termine generale ora questo lo sto riscrivendo qui in pratica cosa ho scritto va bene seno di uno suen per il coseno di 1 su pen più uno meno va bene coseno di uno swan che moltiplica il seno di 1 su np1 ho scritto il numeratore ora faccio la linea di frazione quindi mi sto concentrando su tutto il termine generale e cosa scrivo cos'è lo storico pianto coseno di uno slam per il coseno di 1 su nt1 perfetto ragazzi e guardate qua ora facciamo la divisione termina a terra questo termine diviso tutto questo prodotto se ci fate caso allora guardiamo coseno e coseno si elidono vedete nella prima divisione quindi che cosa rimane sennò di 1 su n su coseno di 1 su n che cos'è se non di una sua n fratto coseno di un suo n e la tangente quindi la tangente goniometria di 1 su n e poi abbiamo in meno meno a solido ora faccio la di vittoria di questo termine diviso il denominatore in questo caso coseno di 1 su n coseno di 1 su an si elidono e quindi cosa viene meno di 1 su enel più non fratto il coseno dello stesso argomento e va bene anche questo è uguale alla tangente quindi alla tangente di uno fatto np1 c'è in altre parole ragazzi questa serie è come se fosse questa no anzi e questa equivalente quindi sono stati fatti dei passaggi di prima superiore e va bene di terzo quarto superiore goniometria nulla di che quindi sembrava una serie di quella pazzesca invece guardate però che bella non è altro quindi che cosa somma perenne che va da 1 a infinito di tangente ovviamente di 1 su e nemmeno la tangente di uno fatto e ne più non va bene ragazzi a questo punto cosa facciamo quanto le serie si propongono quindi in questo modo è molto semplice in pratica faccio finta di fare tutti gli sviluppi no e che cosa ottengo e va bene quando n uguale a 1 ottengo tangente di uno quindi tangente del numero uno meno accende la tangente di un mezzo perfetto e questo è il primo termine ottenuto quando n uguale a 1 ora più va bene sommo anche ora stavolta metto n uguale a 2 wind up ottengo tangente praticamente di un mezzo meno la tangente di un terzo quindi la tangente di un terzo e poi più più puntini puntini puntini ovviamente mi fermo considero il termine di ordine n quindi semplicemente uno su va bene tangente di 1 su e nemmeno la tangente di 1 su np1 va bene potrei ancora continuare e va bene al solito questi passaggi già sono molto intuitivi tangente di uno rimane così perché non si può semplificare non trovo un termine opposto invece guardate questo si semplifica meno tangente di un mezzo si semplifica con quello successivo guardate questo si semplifica con questo questo si semplificherà con questo tangente di 1 su an si semplificherà con il precedente in altre parole che cosa abbiamo scoperto che la ridotta ennesima quindi la somma dei primi termina a partire da uno non è altro che la gente di uno meno la tangente praticamente di uno fratto np1 effetto e se voglio sapere la somma va bene come abbiamo visto nella parte di teoria delle serie se io volessi sapere la somma esse quindi la il numero esattamente il numero a cui converge basta fare il limite perenne che tende all'infinito di ta in genere di uno meno la tangente di una su np1 ad atene in questo caso uno su infinito tenga 0 la tangente di 0 0 in altre parole il risultato non è altro che frangente di uno chi è la tangente di uno o di interessa no non mi interessa ma tanto è un numero come tutti gli altri tangente di uno non mi interessa sapere chi è è un numero così come conosco la tangente di pi greco né di pi greco quarti di pi greco terzi eccetera eccetera lancette t1 è un numero reale quindi non mi interessa sapere che chi è social chiude un numero male quindi questa serie conduce questa è la sua somma va bene però se avessi utilizzato il criterio del confronto asintotico avrei solo scoperto che questa sera convergente ma non sapevo non avrei mai potuto sapere chi era esattamente la forma in questo caso è stato possibile si capire chi è il risultato quindi attenzione ragazzi quando avete delle serie a questo vale in generalità apparentemente sembrano un po stili ricordatevi sempre che tutto dipende dalla matematica di base che è stata studiato alle scuole superiori cui abbiamo usato semplicemente polinomi minimo comune multiplo fra polinomi qualcosa di goniometria quindi la formula di sottrazione un giorno potrebbe essere anche di addizione dipendere esercizio e poi va bene sapere che il seno frate coseno della stessa quantità è uguale alla tangente di quella stessa quantità quindi nulla di così difficile però l'esercizio preferito svolgerlo e selezionarlo e quindi realizzarlo qui proprio svolgerlo su questa lavagna proprio perché l'ho trovato molto ma molto interessante quindi vi do appuntamento per le prossime elezioni o esercitazione grazie per l'attenzione ciao a tutti