Здравствуйте, уважаемые студенты! Меня зовут Емалеева Екатерина Сергеевна. Я вам читаю третью лекцию по предмету управления в биотехнических системах на тему характеристики и модели элементов и систем. Известно, что работу системы регулирования можно описать словесно. Словесное описание помогает понять принцип действия системы, ее назначение, особенности функционирования.
Однако, самое главное, что оно не дает количественных оценок качества регулирования, поэтому словесное описание непригодно для изучения характеристик систем и построения систем автоматизированного управления. Вместо него в теории автоматического управления используются более точные математические методы описания свойств систем с помощью статических характеристик, динамических характеристик. Вот эти первые две характеристики мы с вами рассматривали на предыдущей лекции.
Также с помощью дифференциальных уравнений, передаточных функций и частотных характеристик. Сегодня на лекции мы будем рассматривать с вами именно дифференциальные уравнения и передаточные функции. Известно, что любое движение, процессы передачи, обмена, преобразования энергии вещества математически можно описать в виде дифференциальных уравнений.
Любые процессы в автоматической системе регулирования также принято описывать дифференциальными уравнениями. которая определяет сущность происходящих в системе процессов независимо от ее конструкции. Решив дифференциальное уравнение, можно найти характер изменения регулируемой переменной в переходных и установившихся режимах при различных воздействиях на систему.
Для упрощения задачи нахождения дифференциального уравнения, описывающего работу. автоматической системы регулирования, в целом систему разбивают на ее отдельные элементы, переходные процессы в которых описываются достаточно простыми дифференциальными уравнениями. Так как дифференциальные уравнения описывают работу системы независимо от физической сущности, протекающей в ней процессов, то при разбивке этой системы Нет необходимости учитывать их физическую целостность.
Для каждого элемента структурной схемы необходимо составить дифференциальное уравнение, определяющее зависимость изменения выходной величины от входной. Так как выходная величина предыдущего элемента является входной для последующего, то, определив дифференциальную уравнение, уравнения отдельных элементов, можно найти дифференциальное уравнение всей нашей системы. Стоит отметить, что такой метод применим только в частных случаях.
Дело в том, что в большинстве случаев в реальных элементах системы связь между входной и выходной величинами является нелинейной и часто задается в графической форме. Поэтому... Даже если дифференциальное уравнение системы и будет получено, оно будет нелинейным.
А аналитическое решение нелинейных дифференциальных уравнений, вы должны знать это из курса высшей математики, возможно, далеко не всегда. Для решения этой проблемы учитывают, что в процессе регулирования отклонения всех изменяющихся величин от их установившихся значений малы. И поэтому, возможно, замена нелинейных дифференциальных уравнений приближенными линейными.
То есть, возможно, так называемая линеаризация дифференциальных уравнений. Рассмотрим сущность процесса линеаризации на примере сушильного шкафа. Зависимость, температура объекта. Смотрим внимательно на этот рисунок.
От подаваемого напряжения в большинстве случаев нелинейно. и имеет вид, который представлен на рисунке. Еще раз показываю эту кривую.
Графически линеаризацию некоторого уравнения от двух переменных f от xy равно 0 в окрестности некоторой точки x0, y0 можно представить как замену рассматриваемого участка кривой на касательную, уравнение которой определяется по формуле df по dx, умноженное на Δx, плюс df по dy, умноженное на Δy, равно 0. df по dx, я прошу вас все фиксировать в конспекте лекции, и df по dy это частные производные от f по x и y. Данное уравнение называется уравнением в приращениях, поскольку х и у здесь заменены на дельта х, равное х минус х0, и дельта у, равное у минус у0. То есть значения х и у здесь заменены на вот эти приращения. Линиаризация дифференциального уравнения. Происходит аналогично.
Отличие состоит только в том, что необходимо искать частные производные по следующим производным. Предлагаю сейчас рассмотреть пример линеаризации нелинейного дифференциального уравнения. Вот на слайде представлено само уравнение. Данное дифференциальное уравнение является нелинейным из-за наличия произведений переменных х и у. Линеризуем его в окрестности точки со следующими координатами.
Прошу их вас также записать. Для определения недостающего начального условия у0 подставим данные значения, вот эти значения, в дифференциальное уравнение. Получим следующее уравнение. 3у0-4 плюс 0 равно 0 плюс у0.
Несложно из этого уравнения найти у0. Будет равен 2. Далее введем в рассмотрение следующую функцию. Также прошу вас ее зафиксировать.
И определим все ее производные при заданных начальных условиях. Также прошу вас все это зафиксировать. Вы должны эту тему знать из высшей математики, но если возникнут вопросы, на практике мы подробно разберем решение данного дифференциального уравнения.
Таким образом, мы получили определенные коэффициенты, которые можно использовать и записать окончательное линейное дифференциальное уравнение, которое у вас также представлено на слайде. Предлагаю перейти к следующему разделу. Это преобразование Лапласа.
Исследование автоматических систем регулирования существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления. Например, функционирование некоторой системы описывается дифференциальным уравнением вида. Прошу вас его зафиксировать. Где? х и у это входная и выходные величины.
Если в данное уравнение вместо х от t и у от t подставить функции х от s и у от x комплексного переменного s, то мы получим уравнение следующего вида. Прошу вас также это все записать. Таким образом, исходное дифференциальное уравнение при нулевых начальных условиях в условиях равносильно линейному алгебраическому.
Такой переход от дифференциального уравнения к алгебраическому называется преобразованием Лапласа. Вот эти формулы называются формулами преобразования Лапласа. А полученные уравнения...
называется операторным уравнением. Новые функции x от s и y от s называются изображениями x от t и y от t по лапласу, в то время как x от t и y от t являются оригиналами по отношению к x от s и y от s. Прошу вас все это зафиксировать. Переход от одной модели к другой. Достаточно прост и заключается в замене знаков дифференциалов на операторы, а знаков интегралов на множители.
А сами х от t и у от t заменяются на их изображение х от s и у от s. Для обратного перехода от оператора в... операторного уравнения к функциям от времени используется метод обратного преобразования Лапласа. Общая формула обратного преобразования Лапласа имеет следующий вид. Расшифровки всех показателей также представлены на слайде.
Мы все это с вами подробно разберем на практике. Сейчас все просто фиксируйте и запоминайте. Эта формула достаточно...
сложна, поэтому были разработаны специальные таблицы, в которых все сведения сведены наиболее часто встречающиеся функции f от s и их оригиналы f от t. Таким образом, мы можем отказаться от прямого использования всегда вот этой формулы. То есть... Формулы перехода уже выведены и сведены вот в эту таблицу.
Всю таблицу вас также прошу зафиксировать и переписать. Закон изменения выходного сигнала обычно является функцией, которую необходимо найти. А выходной сигнал, как правило, известен. Некоторые типовые входные сигналы были уже рассмотрены.
Вот, например, х от s, равное 1 делить на s, это единичное ступенчатое воздействие. Данное х от s, равное 1, это дельта-функция. х от s, равное 1, деленное на s в квадрате, это линейное воздействие. И так далее. Давайте с вами решим дифференциальное уравнение.
следующего вида с использованием преобразований Лапласа. Допустим, входной сигнал имеет форму единичного ступенчатого воздействия х от t равной единице. Тогда изображение входного сигнала х от s будет равен единице на s.
Откуда мы это берем? Мы берем эти значения из таблицы х от t равной 1. Тогда этому оригиналу соответствует изображение, равное х от s равной 1 деленной на s. Далее производим преобразование исходного дифференциального уравнения по лапласу и подставляем х от s.
Получаем вот такого вида уравнения. Несложно из этого уравнения найти у. Далее. Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений. То есть вы получили некоторую функцию.
Заходите в эту таблицу и смотрите, что такого вида функций в данной таблице нет. Соответственно. Для решения задачи дробь разбивается на сумму простых дробей, с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде s, умноженное в скобках s плюс 2, умноженное на s плюс 3. Мы это все с вами также на практике подробно разберем, как эту дробь раскладывали, как преобразовывали и как находили решение данного уравнения.
Таким образом, преобразовали данную дробь, получили систему из трех. уравнений и нашли следующее значение. Таким образом, у можно найти из этого уравнения, представив как сумму трех дробей.
Если вы посмотрите внимательно на сумму этих трех дробей и вернетесь в таблицу, в данную таблицу, то вы можете найти вот эту строчку, которая в принципе соответствует полученному нами выражению. И таким образом данное уравнение можно записать оригинал выходной функции в следующем виде. То есть вы внимательно смотрите на... вот это значение оригинала на значение изображения, делаете определенный вывод и записываете вот это выражение в таком виде.
Еще раз повторю, что на практике мы подробно разберем решение данного дифференциального уравнения с помощью преобразования Лапласа. Предлагаю перейти к следующему разделу. Это передаточные функции. Преобразование дифференциального уравнения по Лапласу дает возможность ввести удобное понятие передаточной функции, которая характеризует динамические свойства системы.
Например, операторное уравнение можно преобразовать, вынеся x от s большой и y большой от s за скорость. и поделив друг на друга. То есть здесь мы вынесли у от с за скобки, здесь х от с, и нашли отношение у от с к х от с. И получили следующее выражение.
Полученное выражение, вот это выражение, называется передаточной функцией. Передаточной функцией называется отношение изображения выходного воздействия y от s к изображению входного воздействия x от s при нулевых начальных условиях. Прошу вас также зафиксировать вот это определение передаточной функции. Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной. где b это полином числителя, а это полином знаменателя.
Передаточная функция имеет порядок, который определяется порядком полинома знаменателя n. Соответственно, изображение выходного сигнала мы можем найти, используя следующее. Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача расчета автоматической системы регулирования сводится к определению ее передаточной функции. Дальше предлагаю перейти к примерам.
Звеном системы называется ее элемент, обладающий определенными свойствами в динамическом отношении. Звенья систем регулирования могут иметь разную физическую основу. Электрические, пневматические, механические и другие звенья. Но относиться к одной группе.
Соотношение входных и выходных сигналов в звеньях одной группы описываются одинаковыми передаточными функциями. Примеры простейших звеньев это усилительное звено, интегрирующее, дифференцирующее, периодическое, колебательное и запаздывающее. Мы сейчас с вами разберем каждое звено в отдельности, посмотрим у каждого звена график процесса, и у каждого звена есть своя передаточная функция, как она выглядит. Первое звено это усилительное.
Звено утиливает входной сигнал в К раз. Уравнение звена у равно k на х передаточной функции имеет следующий вид. Параметр k называется коэффициентом усиления. Выходной сигнал такого звена в точности повторяет входной сигнал, усиленный в k раз. Примерами та��их звеньев являются механические передачи, датчики, безинерционные усилители.
Следующее это интегрирующее звено. Есть идеальная, есть реальная. Выходная величина идеального интегрирующего звена пропорциональна интегралу входной величины.
При подаче на вход звена воздействия выходной сигнал постоянно возрастает. Это звено астатическое, то есть не имеет установившегося режима. Передаточная функция имеет следующий вид.
Как же выглядит в реальности интегрирующее звено? Реальное интегрирующее звено имеет следующую передаточную функцию. Переходная характеристика, в отличие от идеального звена, является кривой. Примером интегрирующего звена является двигатель постоянного тока с независимым возбуждением. Если в качестве входного воздействия приняется напряжение питания статора, а выходного угол поворота ротора.
Следующее звено дифференцирующее. Есть также идеальное дифференцирующее и реально дифференцирующее. Входная величина пропорционально производной по времени от входной. При ступенчатом входном сигнале выходной сигнал представляет собой импульс, то есть дельта-функцию. Идеальные дифференцирующие звенья физически нереализуемы.
Большинство объектов, которые представляют собой дифференцирующие звенья, относятся к реальным дифференцирующим звеньям. Переходная характеристика и передаточная функция этого звена имеют следующий вид. Прошу вас также все это зафиксировать. Следующее звено это аппериоритическое или инерционное.
Этому звену соответствует дифференциальное уравнение и передаточная функция следующего вида. Определим характер изменения выходной величины этого звена при подаче на вход ступенчатого воздействия х0. Изображение ступенчатого воздействия х от s равно х0 делить на s. Тогда изображение выходной величины имеет следующий вид. Это уравнение мы с вами выделили, когда разговаривали о передаточных функциях.
То есть... Выходим, определяем следующее выражение. Дальше раскладываем вот эту дробь на простые дроби.
Оригинал первой дроби по таблице, опять напоминаю эту таблицу, вот эта таблица имеет следующий вид. Оригинал второй дроби вот такой вид. Тогда окончательно получаем следующее уравнение. Постоянное Т большое называется постоянной времени, и большинство тепловых объектов являются опериодическими звеньями.
Например, при подаче на вход электрической печи напряжения ее температура будет изменяться по аналогичному закону, который представлен на этом рисунке. Еще раз повторюсь, те, кто... не поймет, каким образом преобразовывались эти уравнения, на практике мы все подробно с вами разберем. Следующее звено это колебательное звено, имеет дифференциальное уравнение и передаточную функцию следующего вида. При подаче на вход ступенчатого воздействия амплитуды х0 переходная кривая будет иметь один из двух видов, а периодически… Это в том случае, если t1 больше или равно 2t2.
И колебательный. Это в том случае, если величина t1 будет меньше 2 умноженной на t2. И последнее звено, которое мы сегодня рассмотрим, это запаздывающее звено. Уравнения передаточной функции имеют следующий вид.
Выходная величина у в точности повторяет входную величину х с некоторым запаздыванием. ТАУ. Примерами таких звеньев являются движение груза по конвейеру, движение жидкости по трубопроводу и так далее.
Далее предлагаю перейти к возможным вариантам соединения звеньев. Поскольку исследуемый объект в целях упрощения анализа функционирования разбит нами на звенья, то после определения передаточных функций для каждого звена Встает задача объединения их в одну передаточную функцию объекта. Вид передаточной функции объекта зависит от последовательности соединения звеньев.
На данном слайде представлено три варианта соединения звеньев. Это последовательное соединение, параллельное и обратная связь. При последовательном соединении звеньев их передаточные функции перемножаются. При параллельном соединении звеньев их передаточные функции складываются. Передаточная функция по заданию имеет следующий вид.
Плюс соответствует отрицательной обратной связи, минус положительный. Для определения передаточных функций объектов, имеющих более сложное соединение звеньев, используют либо последовательное укрупнение схемы, либо преобразуют по определенным формулам, которые мы будем рассматривать с вами немного позже. Давайте перейдем к следующему подразделу.
Это передатничный функтор автоматической системы регулирования. Данная схема вам должна быть достаточно знакома. Для исследования и расчета структурную схему автоматической системы регулирования путем эквивалентных... преобразований приводят к простейшему стандартному виду объект-регулятор.
Это необходимо, во-первых, для того, чтобы определить математические зависимости в системе, и во-вторых, как правило, все инженерные методы расчета и определения параметров настройки регуляторов применимы для такой стандартной структуры. В общем случае, любая одномерная автоматическая система регулирования с главной обратной связью путем постепенного укрупнения звеньев может быть приведена к такому виду. Если выход системы Y не подавать на ее вход, то мы получим разомкнутую систему регулирования. Передаточная функция разомкнутой системы регулирования имеет следующий вид. Это передаточная функция регулятора и передаточная функция объекта управления.
То есть последовательность звеньев W с индексом r и W с индексом y может быть заменена одним звеном, которое обозначается W с индексом бесконечности. Передаточную функцию замкнутой системы принято обозначать F от S. Она может быть выражена через...
W с индексом бесконечность через следующее выражение. То есть это передаточная функция замкнутой системы по каналу задающего воздействия. Поэтому здесь имеется индекс с буквой z.
Далее мы будем рассматривать… только системы с обратной отрицательной связью, так как мы это уже говорили раньше, они используются в подавляющем большинстве автоматических систем регулирования. То есть данная передаточная функция f с индексом z от s определяет зависимость у от х и называется передаточной функцией замкнутой. системы по каналу задающего воздействия. Для автоматических систем регулирования существуют также передаточные функции по другим каналам.
По ошибке И по возмущению. Все эти формулы необходимо знать. Поскольку передаточная функция разомкнутой системы является в общем случае дробно-рациональной функцией вида b от s деленное на а от s, то передаточные функции замкнутой системы могут быть преобразованы в следующий вид. То есть данная функция это передаточная функция разомкнутой системы.
Это передаточные функции замкнутой системы. Как видно, эти передаточные функции отличаются только выражениями числителей. Выражение знаменателей А плюс В называется характеристическим выражением замкнутой системы.
Прошу вас это зафиксировать. А плюс В это характеристическое выражение замкнутой системы. В то же время… Выражение, находящееся в числителе передаточной функции разомкнутой системы, BATS, называется характеристическим выражением разомкнутой системы.
То есть это характеристическое выражение замкнутой системы, это характеристическое выражение разомкнутой системы. Рассмотрим. определения параметров передаточной функции объекта по переходной кривой. Процесс получения передаточной функции объекта, исходя из данных о переходном процессе, называется идентификацией объекта. Предположим, что при подаче на вход некоторого объекта ступенчатого воздействия была получена Переходная характеристика, имеющая следующий вид.
Это прошу также зафиксировать в лекции. Требуется определить вид и параметры передаточной функции. Предположим, что передаточная функция имеет следующий вид. Это инерционное звено с опаздыванием.
k это коэффициент усиления, t постоянное время, и tau это запаздывание. Коэффициентом усиления. Усиление называется величина, которая показывает, во сколько раз данное звено усиливает входной сигнал в установившемся режиме и равна отношению выходной величины в установившемся режиме к входной величине. Установившееся значение в выходной величине у установившееся это значение у при t времени, стремящемся к бесконечности.
Запаздывание, tau, время запаздывания, это называется промежуток времени от момента изменения входной величины, в нашем случае t, до начала изменения выходной величины у. И последняя характеристика это t, постоянное времени. Она может быть определена несколькими методами.
в зависимости от вида передаточной функции. А для рассматриваемой передаточной функции первого порядка t определяется наиболее просто. Сначала проводится касательная к точке перегиба, затем находятся точки пересечения с осью времени и асимптоты у, установившиеся. То есть вот эта точка. Между этими точками и определяется время t.
Стоит отметить, когда вы нарисуете этот график, у вас вот здесь, между вот этой касательной, которая будет проходить через ось t, и вот здесь, то есть вот тут должен образоваться небольшой перешеек, небольшой треугольничек. В случае, если... на графике между точкой перегиба будет имеется вот эта вогнутость, то будет определяться также не только время тау запаздывания, а еще тау дополнительное.
И в общем, в итоге, вот это время запаздывания будет определяться как тау плюс тау дополнительное. Таким образом, мы сегодня с вами, давайте пройдем еще раз по всей презентации. Рассмотрели основные характеристики и модели элементов и систем, определили... Что такое линеризация дифференциального уравнения? Разобрали пример.
Рассмотрели или может быть даже вспомнили, что такое преобразование Лапласа. Формула преобразования Лапласа. Решили дифференциальное уравнение с помощью этого преобразования. Дали определение передаточной функции системы. Рассмотрели основные виды типовых звеньев.
их уравнение, их передаточные функции, графики, рассмотрели виды соединения звеньев и определили параметры передаточной функции по переходной кривой. На этом я хотела бы свою лекцию закончить. Спасибо за внимание.