Deze video gaat over wortelfuncties. In deze video ga ik je laten zien hoe een wortelfunctie eruit ziet. We gaan een aantal kenmerken van een wortelfunctie bespreken.
En we gaan deze kennis toepassen bij een aantal voorbeelden. Maar eerst, hoe ziet een wortelfunctie eruit? Daarvoor kijken we even naar i is wortel x.
En i is wortel x is de meest eenvoudige wortelfunctie die er is. En je noemt dit dan ook wel de standaardfunctie. Bij i is wortel x wordt ook een grafiek. Die grafiek zie je hier aan de rechterkant. Dat is die grafiek in het blauw.
Wat je ziet is dat die grafiek van wortel x begint in de oorsprong en dan loopt die naar rechts en dan wordt die steeds minder stijl. Een wortelfunctie heeft een heel belangrijk punt en dat is het zogenaamd beginpunt. Dat beginpunt bevindt zich in dit geval hier in de oorsprong. En dat is het punt waaruit die wortelfunctie eigenlijk begint.
En vanaf daar gaat die oneindig ver doorlopen naar rechts. Dus dit punt hier zo, dit is het beginpunt. Hoe komt het nou dat een wortelfunctie een beginpunt heeft?
Dat is eigenlijk best wel logisch. Als je kijkt naar i is wortel x, dan moet je bedenken dat de kleinste waarde van x, die je hier kan invullen, dat is 0. Je kunt geen negatief getal invullen, want de wortel van een negatief getal bestaat niet. Het gevolg daarvan is dat pas vanaf x is 0, bestaat i is wortel x. En vanaf x is 0 bestaat dus ook onze grafiek hier in het blauw. En dat klopt hè.
Want pas bij x is 0 zie je die grafiek en hier bij de negatieve kant van de x-as zie je hem helemaal niet staan. En vandaar dus dat zo'n wortelfunctie een beginpunt heeft. Dat beginpunt is in dit geval dus x is 0, y is 0, de oorsprong.
Dat komt dus omdat 0 de kleinste waarde van x is die je hier kunt invullen. Dit is de meest eenvoudige vorm van een wortelfunctie, maar het kan natuurlijk ook een stukje lastiger worden. Daarvoor kijken we even naar de grafiek die je hieronder ziet. Wat heb ik gedaan?
Ik heb onze standaard grafiek genomen. Dus i is wortel x en die heb ik verschoven. Ik heb hem drie plekjes op de x-as verschoven en twee plekjes op de i-as. En doordat ik dat doe ontstaat een nieuwe grafiek en die grafiek zie je hier in het rood.
En de opdracht aan ons is, stel de formule op die hoort bij die rode grafiek. Dus we nemen i is wortel x, die gaan we verschuiven. Daardoor ontstaat een nieuwe grafiek en dan is de vraag, wat is nu de formule van die nieuwe grafiek? Zo'n verschuiving die je hier ziet. Dat noem je met een mooi woord een translatie.
Een translatie kun je op twee manieren doen. Je kunt dat doen ten opzichte van de x-as. Dus dan verschuif je hem eigenlijk over die x-as heen. En je kunt dat ook doen over de y-as. Dat heb ik hier gedaan.
Dan gaat hij twee omhoog, maar hij zou ook naar beneden kunnen. En hij is dus drie naar rechts gegaan en twee omhoog. En de vraag is, wat wordt dan de nieuwe formule? Als je een transformatie doet, dan doe je dat altijd ten opzichte van de standaardgrafiek.
Dus we beginnen met y is wortel x. En dan onderzet je dan een pijltje neer. Dat doe je op deze manier. Pijltje naar beneden. Zo.
En nu ga je aangeven dat je een translatie hebt gedaan. Dat mag je afkorten als trans. Dus naast dat pijltje noteer je dan trans. En zoals ik net al zei, een translatie doe je altijd op twee manieren.
Dus je kan het via de x-as doen en via de y-as. En omdat je dat in die twee manieren kan doen, doe je translatie altijd met een punt. Met een punt bedoel ik met coördinaten. Dus achter translatie zet je twee van die. Haakjes neer, dat zijn de coördinaten van de translatie.
En dan ga je kijken wat hebben we gedaan. Op de x-as zijn we 3 naar rechts gegaan. En zoals je weet, de eerste coördinaat is altijd de x-coördinaat. En als je 3 naar rechts gaat, dan wordt bij een x-coördinaat dus een 3. Dus hier zetten we een 3 neer. Stel je nu voor dat je niet 3 naar rechts was gegaan, maar 3 naar links.
Dan schrijf je hier niet 3 op, maar min 3. Dus naar rechts is altijd positief. Naar links is negatief. En nu gaan we naar de eicoordinaat kijken. Dus we hebben de 3, noemen we de comma. En nu komt de eicoordinaat.
Gaan we even kijken wat hebben we gedaan. Ten opzichte van de i-as zijn we dus 2 omhoog gegaan. Dus mijn eicoordinaat hier zo, dat wordt een 2. Dus je krijgt dan 3,2. En daarmee geven we dus aan, oké we zijn begonnen met i-as wortel x. Dat is dus die blauwe grafiek die je ziet.
We zijn 3 naar rechts gegaan, want hier staat een 3. En we zijn 2 omhoog gegaan, want hier staat een 2. En net als dat geldt dat die x als je naar links gaat wordt het negatief. Voor die i-as geldt als je naar beneden gaat wordt het negatief. Maar dat is misschien natuurlijk ook wel logisch. Want als je naar beneden gaat ga je naar de negatieve kant van de i-as. Dus zou ik 2 naar beneden gaan dan wordt dit een min 2. Nu hebben we dus die translatie gedaan, de translatie van 3,2.
En nu is de vraag, wat wordt dan de nieuwe formule? Nou, die formule wordt als volgt. Je krijgt weer i is.
En dan gaan we wortel x opschrijven, maar onder die wortel, daar komt die x-coördinaat van die translatie, die komt daarbij. Dus je krijgt dan het volgende. i is de wortel van x-3. Dit is best wel een beetje ingewikkeld, want hier zit dus positief 3 bij de x-coördinaat.
En die x-coördinaat, die 3, die komt onder die wortel erbij. Maar dan wordt het dus min. En dat is iets waar mensen vaak in de fout gaan.
Als het hier positief is, wordt het hier altijd het tegenovergestelde. Nou, het tegenovergestelde van positief is negatief. Dus je krijgt, i is wortel van x-3. Nu die 2, wat gebeurt er met die 2? Die is een stukje makkelijker, dat is fijn.
Die komt gewoon los erachter. Dus je krijgt dan dit, en dan plus 2. Je ziet, hij is hier positief, hier is hij ook positief. Hij komt gewoon los erachter met plus 2. Hij komt verder niet onder die wortel te staan ofzo. En nu hebben we dus de nieuwe formule gevonden. Dus de formule van deze rode grafiek die je hier ziet, dat is dus, hij is de wortel van x-3 plus 2. Want die 3 komt onder die wortel, is hij positief, wordt hij negatief.
En die 2, die komt los erachter. Nou dat is dus de translatie. En dat is een manier.
om zo'n wortelfunctie te verplaatsen. En dus eigenlijk te veranderen. Dat is wat we hier doen. Maar er is ook nog een tweede manier. Want naast de translatie hebben we ook nog de vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as.
En daar gaan we het nu even over hebben, want die moet je ook kunnen toepassen. Dus we beginnen weer even met de standaardformule. I is wortel x, die ga ik eerst even opschrijven. Dus we noteren I is wortel x. En wat we dus nu gaan doen is een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as.
Dus we noteren weer, net als net hier, zo'n pijltje naar beneden. Dus je krijgt dan dit. Pijltje naar beneden.
Vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as. Je ziet, ik schrijf dat een beetje kort op. Je hoeft echt niet dat hele woord vermenigvuldiging uit te schrijven.
Dat is helemaal niet nodig. Dus we doen een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as. En zo'n vermenigvuldiging doe je altijd met één getal. Dus waar we bij de translatie altijd een punt hadden met een x-en een y-coördinaat. Hebben we nu één getal, bijvoorbeeld het getal 5. Dus je krijgt dan een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met 5. Dus de 5 zet ik dan hier erachter.
Nou, wat gebeurt er nu als je zo'n vermenigvuldiging doet? Als we even kijken naar de standaard wortelfunctie. Wat er gebeurt is dat we de afstand van die grafiek tot de x-as gaan veranderen.
We gaan hem groter of kleiner maken. Dus door zo'n vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as gaat die grafiek of... Zo, stijler lopen. Zeg maar op deze manier. Of hij wordt juist minder stijl.
Dus dan gaat hij er meer zo uitzien. Dus wat je ziet is dat we de afstand van die grafiek tot de x-as, die afstand hebben we groter gemaakt of kleiner. Belangrijk is dat je weet hoe je zo'n vermenigvuldiging kunt toepassen op een formule.
Dus dan is eigenlijk de vraag, wat gebeurt er? Dat is heel erg eenvoudig. Als je vermenigvuldigt ten opzichte van de x-as, dan doe je gewoon die hele formule keer dit getal.
Dus we hebben nu wortel x. Wortel x gaan we keer 5 doen. Dan krijg je het volgende. I is 5 wortel x. Dus je ziet, ik heb een formule genomen.
We doen een vermenigvuldiging met 5. Die 5 zet je ervoor. Hier staat eigenlijk die keren. 5 keer wortel x. En dan ben je klaar.
En dan heb je dus de nieuwe formule gekregen. Belangrijk is wel, bij zo'n vermenigvuldiging, dat je goed let op de eventuele losse getallen die erachter staan. Wat bedoel ik daarmee?
Stel we gaan even terug naar deze. We hadden deze net gemaakt met die translatie. Stel je voor dat we hier nog die vermenigvuldiging gaan doen ten opzichte van de x-as. Want dat kan hè. Je kan eerst een translatie hebben gedaan en dan alsnog een vermenigvuldiging.
Stel dat we dat doen dan gaan we even netjes opschrijven. Dan krijg je dus hier weer zo'n pijltje naar beneden. En dan de vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met 5. Wat gaat er dan gebeuren? Ik zei net bij deze.
We gaan dus die hele formule keer 5 doen. En hier was dat makkelijk, want de formule was gewoon wortel x. Dus dat was ontzettend eenvoudig.
Maar hier is dat wel wat lastiger. Want wat krijg je dan? Dat is het volgende. Je krijgt i is 5 wortel x-3 plus 2. En kijk goed aan wat ik hier heb gedaan.
Ik heb die hele formule die we hadden, die heb ik tussen haakjes gezet. En die 5 die staat er nu voor. Dus wat ik heb gedaan is, ik heb die hele formule, ga ik nu met 5 vermenigvuldigen.
Dus niet alleen dat stukje met die wortel, wat ik hier deed. Ik had wortel x, dat werd 5 wortel x. Ja, dat is makkelijk.
Maar nu staat die plus 2 er nog achter. En die moet ook keer 5 worden gedaan. En vandaar dat ik dus even die haakjes er omheen zet. Dus als je dit gaat uitwerken, wat krijg je dan?
Die 5 ga je dus keer die wortel x-3 doen. Dus dan krijg je i is 5 wortel x-3. En wat je dus ook nog gaat doen, dat is die 5 keer die 2. En dat wordt 10. Dus je krijgt 5 wortel x-3 plus 10. Dus een belangrijk aandachtspunt bij zo'n vermenigvuldiging is dat je niet vergeet om dat losse getal, wat erachter staat, ook keer 5 te doen. Dus wat hebben we gezien in dit deel van de video? We hebben dus gezien dat de standaard wortelfunctie dat is.
I is wortel X. En we kunnen eigenlijk twee dingen daarop toepassen. En dat zijn een translatie.
Dus dat is een verschuiving. Verschuiving over de X-as en een verschuiving over de I-as. Nou, ik heb het hier laten zien met 3 en 2. Dan krijg je dus een translatie van 3,2. Die 3 komt hierbij.
Dat wordt min 3. En die 2 die komt erachter. En naast een translatie kun je ook een vermenigvuldiging doen ten opzichte van de X-as. En dan vergroot of verklein je dus... De afstand ten opzichte van die x-as. Zo'n vermenigvuldiging doe je altijd met een getal, bijvoorbeeld met 5. En dan doe je dus de hele formule keer 5. Dat heb ik hier gedaan, hè.
I is 5 wortel x. En in dit geval was het wat lastiger. Je moest dus zowel de wortel als die 2 keer 5 doen. Dus je krijgt 5 wortel x-3 plus 10. Oké, we gaan nu even kijken naar een voorbeeld.
Het voorbeeld zie je hier staan. Gegeven is de functie f. En f is de wortel van x plus 4 plus 2. En de opdracht bij A is, hoe ontstaat de grafiek van F uit de standaardgrafiek?
Als je zo'n opgave hebt, dan moet je laten zien hoe je de functie F kunt krijgen als je begint met de standaardgrafiek. Dus dan moet je gebruik maken van bijvoorbeeld een translatie of een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as om deze formule te krijgen. Wat we dan gaan doen, is we gaan eerst even de standaardgrafiek opschrijven.
En als het gaat over standaardgrafiek, dan hebben we het over de standaardformule. En dat is dus... I is wortel x. Daar begin je altijd mee, want dat is de meest eenvoudige wortelfunctie. Dus we noteren I is wortel x.
We gaan dus nu gebruik maken van translaties en een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as om de functie f te krijgen. Dan moet je even goed kijken wat je dan moet doen om van wortel x naar dit te gaan. Eerst wat we gaan bekijken is, moeten we hier gebruik maken van een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as.
Laten we even goed kijken naar de functie f. Als je een vermenigvuldiging moet gebruiken, dan moet er voor het wortelteken een bepaald getal staan. Want het getal dat voor het wortelteken staat, dat was in het vorige voorbeeld die 5 van 5 wortel x, dat getal geeft aan dat je een vermenigvuldiging hebt gedaan. Kijk hier even naar voor het wortelteken.
Hier staat geen getal, eigenlijk staat er natuurlijk een 1. Maar goed, er staat in ieder geval niet iets anders. Er staat geen 5 of zo of 6 of weet ik veel. Dus dat betekent dat we dus hier geen vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as hoeven te doen.
Want als daar wel een getal zou staan, en stel je voor dat hier een 6 zou staan. Die 6 kan ik alleen maar krijgen door zo'n vermenigvuldiging, dus dan moet je daarmee beginnen. Dat is hier niet het geval, dus we gaan nu beginnen met een translatie.
Dus we gaan ijswortel x een translatie toepassen. Dus dan krijg je het volgende. We doen een pijltje naar beneden.
En dan zetten we neer. Translatie. Zo'n translatie doe je altijd met een punt en dan hebben we het dus over een x-en een y-coördinaat.
Dus achter translatie maken we vast even die haakjes. En nu gaan we nadenken wat is hier de x-coördinaat en wat is de y-coördinaat. We hadden net geleerd die x-coördinaat daarvoor kijk je onder het wortelteken.
Want die x die komt onder die wortel erbij. Wat zien we onder het wortelteken? Daar staat een plus 4. Dus dan denk je misschien, oh plus 4, dus ik moet hier een 4. opschrijven. Maar let goed op, ik heb ook toen verteld dat het altijd het tegenovergestelde is. Dus dit is positief 4, dan komt hier negatief 4 te staan, oftewel min 4. Dus de transatie doen we met min 4. In het vorige voorbeeld was het andersom, toen hadden we hier positief 3 opgeschreven en toen werd het onder het wortelteken uiteindelijk min 3. Hier zie je dat andersom getekend, dus we hebben plus 4 wordt min 4. En nu gaan we verder.
Wij doen dus een translatie met min 4. Nu is de vraag wat wordt dan de i-coördinaat? De i-coördinaat was eenvoudig. Daarvoor kijk je naar het losse stukje achter de wortel.
Dus laten we even kijken. Er staat plus 2. Oh, dat blijft ook gewoon plus 2. Dat hadden we in het vorige voorbeeld ook gezien. Dus het wordt min 4,2.
Dus als je wortel x hebt en je doet een translatie van min 4,2 dan krijg je dus deze functie. Dus we krijgen dan nu fx en fx is de wortel van... x plus 4 plus 2. En op deze manier kun je dus vraag A helemaal netjes uitwerken.
Dus wat hebben we gezien? Je begint dus altijd met i is wortel x, want dat is de standaardgrafiek. Dan doen we in dit geval dus een translatie, want een vermenigvuldiging was niet nodig.
En want hier staat geen getal voor, dus je doet meteen translatie. Je kijkt goed, dit is plus 4, wordt het hier min 4. Lossen plus 2, wordt 2. Dan schrijf je de functie f op en dan ben je klaar. Oké, de tweede vraag. Vraag b.
Geef de coördinaten van het beginpunt en geef df en bf. Dit zijn eigenlijk drie vragen in één. En de eerste vraag is, geef de coördinaten van het beginpunt. En ik had het net aan het begin van de video al even gehad over het beginpunt.
Normaal gesproken, bij ijswortel x zit het beginpunt hier in de oorsprong. Maar, zodra je die functie gaat veranderen, dus je gaat een translatie doen, dan verandert ook het beginpunt. Dus we hebben nu wortel x plus 4 plus 2. En daarvan moeten we bepalen wat het beginpunt is.
Het aflezen van het beginpunt is heel eenvoudig. Daarvoor kijk je simpelweg naar wat je hebt gedaan met de translatie. We hebben net opgeschreven dat we bij vraag A een translatie deden van min 4,2. Ik ga dat hier in mijn schets hieronder ook even neerzetten, want die gaan we ook gebruiken om hier het antwoord te vinden. Dus wij deden net een translatie van min 4,2.
In het begin van de video heb ik uitgelegd dat die x-coördinaat aangeeft wat je doet op de x-as. In dit geval hebben we min 4 staan, dat betekent dat we op de x-as 4 naar links zijn gegaan. Dus op de x-as gaan we 4 naar de linkerkant. Wat hebben we nog meer gedaan?
De i-coördinatie van de translatie is 2. Dat betekent dat je op de i-as 2 omhoog bent gegaan. Dus onze functie is ook nog eens op de i-as 2 omhoog gegaan. Dus we begonnen in de oorsprong, toen gingen we 4 naar links en 2 omhoog. Hoe ziet het er dan uit?
Dan begint hij bijvoorbeeld ongeveer hier en de vorm is verder hetzelfde. Dus hetgene wat je hier ziet, dat is dus de grafiek van I is wortel x plus 4 plus 2. En je kunt dat dus heel eenvoudig bredeneren door te kijken van wat is er dus gebeurd met die translatie. Het is meer 4,2, 4 naar links, 2 omhoog.
Dus vanaf dat beginpunt ga je schuiven. Je schuift hem 4 naar links en 2 omhoog en dan krijg je dus deze vorm. Nu gaan we dus kijken naar de coördinaten van het beginpunt. Normaal is dat dus de oorsprong, 0,0. Maar we zijn dus vanuit die oorsprong 4 naar links en 2 omhoog gegaan.
Dus de x-coördinaat van het beginpunt is 4 naar links verschoven. Die is dus min 4 geworden. En de y-coördinaat, daarvoor ging die 2 omhoog.
Dus die y-coördinaat is 2 geworden. Dus nu weten we de coördinaten van het beginpunt, want die zijn gewoon eigenlijk de translatie, namelijk min 4,2. En dat weet je dus door te kijken naar, oké, hoeveel zijn we ten opzichte van de oorsprong verschoven?
Dat is 4 naar links, dus de x is min 4. En we zijn 2 omhoog gegaan, dus de i is 2. Dus we gaan noteren, voor het beginpunt geldt min 4,2. En uiteindelijk is het doel dat je dat beginpunt in één keer kunt aflezen uit de functie. En dan kun je ervoor gewoon kijken naar, oké, welke translatie moet ik doen?
Dus je ziet hier plus 4 staan, dan wordt het min 4. Dan los dat 2, dan wordt het 2. En dan heb je in één keer het beginpunt. Dus die schets die ik hier aan de zijkant heb gemaakt, dat heb je eigenlijk helemaal niet nodig voor het beantwoorden van deze vraag. Het helpt je wel een beetje om een beeld te krijgen van wat er nu eigenlijk gebeurt. Maar het doel is dat je uiteindelijk dat beginpunt in één keer kunt aflezen uit de formule. Daarvoor kijk je dus naar welke translatie je moet doen.
Nu gaan we de rest van de vraag beantwoorden. We moeten ook nog geven df en bf. We beginnen even met die eerste, met df. Dus ik noteer even, df.
En van df moet je weten dat het gaat over het domein. Een domein wil zeggen de x-as, van links naar rechts. Dus wat is de kleinste waarde op de x-as en de grootste waarde. We kijken even naar onze functie, dat is dus deze. En die heeft hier een beginpunt, dat beginpunt is min 4,2.
Ik zet het hier even neer. Min 4,2. En nu is de vraag, wat is het domein? Daarvoor beginnen we dus door te kijken, wat is hier de laagst mogelijke x-waarde?
De laagst mogelijke x-waarde, dat is min 4. Want lager dan min 4 kan niet, dan bestaat die niet. Dus ons domein begint bij min 4. Dus we noteren dat dan als volgt. We doen zo'n vierkante haak.
En dan doen we min 4. Want die vierkante haak geeft aan dat min 4 zelf ook meedoet. En dat klopt hè. Want bij min 4 zelf, hier, daar bestaat de functie.
Dus we noteren een vierkante haak. Want min 4 zelf doet mee. En dan is de vraag, waar eindigt het domein? Nou, laten we even kijken. Wat gaat er gebeuren?
Hij begint bij min 4 en dan gaat hij naar rechts. En ja, mijn tekening houdt hier op. Maar die functie, die gaat natuurlijk de hele tijd door hè.
Die blijft oneindig ver doorgaan naar de rechterkant. Dus waar eindigt ons domein? Ja, nergens. Dat gaat gewoon maar door.
Nou, dat geef je als volgt aan. Dan doe je een pijltje naar rechts en daar doe je weer een pijltje omheen. Dus hier staat het begint bij min 4, dan gaat het oneindig door naar rechts.
En met zo'n pijltje eromheen geef je aan, het blijft oneindig doorgaan. Dit is het domein. Het begint dus bij min 4 en loopt oneindig door naar rechts.
Nu gaan we die andere vraag beantwoorden en dat is het bereik, BF. Het bereik gaan we eerst even noteren, BF. En waar het domein gaat over de x-as, gaat het bereik over de y-as. Dus we gaan kijken naar de laagst mogelijke y-waarde en de hoogst mogelijke y-waarde.
Laten we even kijken in de schets. De laagst mogelijke y-waarde die zit weer in het beginpunt. In dit geval kijk je naar de y, dus gaat het over 2. Dus ons bereik begint bij 2, dus we noteren dan BF2, comma.
Nu gaan we weer kijken naar de grootst mogelijke waarde. Wat gaat er gebeuren? Vanaf 2 gaat hij omhoog.
Die grafiek gaat stijgen en hij blijft de hele tijd stijgen. Hij wordt weliswaar minder stijl, maar oké, hij blijft gewoon stijgen, stijgen, stijgen, stijgen, stijgen, stijgen, stijgen. Dus wat is de grootst mogelijke eiwaarde?
Ja, die is er niet. Het gaat oneindig door omhoog. Dus dat gaan we nu noteren. Weer zo'n zelfde pijltje naar rechts. Dus je gaat geen pijltje omhoog noteren, zo doe je dat niet.
Je doet altijd een pijltje naar rechts of naar links. Dus in dit geval 2, pijltje naar rechts. En daar doe je weer zo'n pijltje omheen. Dus bereik werkt eigenlijk hetzelfde als domein, maar dan gaat het over de i-as. Hij begint bij 2, doe een vierkante haak, want 2 zelf doet ook mee.
Het punt 2 bestaat hier. En vanaf 2 gaat hij omhoog. En nu hebben we deze vraag dus helemaal netjes uitgewerkt.
Dus wat hebben we gezien? Voor het beginpunt kijk je dus eigenlijk gewoon naar de translatie die je moet doen. Plus 4 wordt min 4, 2 is een 2. En voor het domein en het bereik heb je wel echt die schets nodig, want dan moet je goed kijken hoe loopt die grafiek nou. Als je het lastig vindt om die schets te maken, zet gewoon deze functie even in je grafische rekenmachine. Want dan kun je die schets gewoon aflezen.
Het beginpunt is min 4,2, dus het domein is van min 4 tot oneindig. Dat noteer je dus zo. En het bereik is vanaf 2 tot oneindig, want hij begint bij 2 en vanaf 2 gaat hij oneindig omhoog. Oké, het volgende voorbeeld.
We gaan nu kijken naar een functie die een stukje ingewikkelder is dan die hiervoor. We hebben nu gegeven de functie g en g is min 2 wortel x min 3 plus 5. En de opdracht bij a is, hoe ontstaat de grafiek van g uit de standaardgrafiek? Dus eigenlijk hebben we weer dezelfde vraag als bij het vorige voorbeeld, die eerste vraag.
Alleen nu is dus onze functie... g een stukje ingewikkelder geworden. Als je moet laten zien hoe iets ontstaat uit de standaardgrafiek, dan begin je weer met i is wortel x. Want dat is de standaardgrafiek waar het hier over gaat.
Dus we noteren i is wortel x. Wat gaan we doen? We gaan eerst even kijken, moeten we hier een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as toepassen?
Daarvoor kijk je naar die wortel en dan het getal wat ervoor staat. En nu staat daar een min 2. En aangezien er een min 2 staat, is het dus een ander getal dan 1. En dus moeten we een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as toepassen. Dus we gaan noteren, pijltje naar beneden, vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as. En dat doen we met min 2. En je begint dus altijd met een vermenigvuldiging als dat nodig is. Begin niet eerst met een translatie, want als je nog daarna vermenigvuldiging doet, dan gaat het verkeerd.
Dan kom je niet... op hetzelfde functievoorschrift uit. Maar je begint altijd met zo'n vermenigvuldiging.
We doen het met min 2. Dat betekent dus dat hetgene wat we hier hebben, dat gaan we keer min 2 doen. Dus dan krijg je het volgende. I is min 2 wortel x. En nu gaan we door. Nu moeten we die min 3 en die 5 krijgen.
En dat gaan we doen met behulp van een translatie. Dus we noteren. Weer zo'n pijltje naar beneden. En dan zet je neer een translatie. En een translatie doen we altijd met een punt.
We gaan eerst kijken wat wordt de x-coördinaat. Nou, wat zien we hier staan? Hier staat min 3. Voor de x is het altijd andersom. Dit is min 3. Dus de x wordt positief 3. Dus je krijgt dan tussen haakjes 3, 3, en nu de i.
Voor de i kijk je naar het laatste stukje erachter. Dat is plus 5 en dat blijft hetzelfde. Dus 3,5.
Nou, als je dat doet dan krijg je de eindformule. Dus dan krijg je i is min 2. Wortel x-3 plus 5. En nu zie je dus dat we onze functie g hebben gekregen. Belangrijk bij dit voorbeeld is dus dat je eerst die vermenigvuldiging doet en dan die translatie. Want als je het andersom doet dan komt het niet goed.
Maar wat gebeurt er dan? Dan ga je die min 2 die hier staat, die moet je ook nog met die 5 vermenigvuldigen. En dan wordt het uiteindelijk min 10. En dat wil je niet.
En daarom begin je altijd eerst met zo'n vermenigvuldiging. Daarna doe je de translatie. En dan werk je het dus op deze manier uit. Oké, de laatste vraag. Vraag B. We hebben dus nu weer die functie g en nu is de opdracht geef de coördinaten van het beginpunt en geef dg en bg.
Deze vraag is eigenlijk hetzelfde als de vraag B van het vorige voorbeeld, maar omdat deze functie dus lastiger is, is deze vraag ook meteen een stukje lastiger. We beginnen met de coördinaten van het beginpunt. We noteren alvast even het beginpunt. Bij de vorige functie hebben we het beginpunt bepaald door te kijken naar de tekening. Maar ik zei het toen al, het uiteindelijke doel is dat je dat beginpunt in één keer kunt aflezen uit die formule.
Dus ik ga nu nog geen tekening maken, we gaan hem gewoon in één keer aflezen uit die formule. Hoe doe je dat? Nou daarvoor kijk je dus naar de translatie die je moet doen. Dus wat zien we? We zien na de x'en min 3 staan.
Voor de translatie doe je het tegenovergestelde, dat is positief 3. Dus de x-coördinaat van het beginpunt is positief 3. Dus je krijgt dan tussen haakjes 3. Kom maar, dan gaan we kijken voor de i. Wat doen we voor de i? Nou, aan het einde staat plus 5. De i is altijd hetzelfde.
Dus het wordt 3,5. En nu zijn we klaar. Nu hebben we het beginpunt al gevonden.
Dus als je eigenlijk denkt aan vraag A van net, hè. Toen deden we een translatie met 3,5. Dan weet je dus meteen, oh, het beginpunt is dus 3,5. En dan heb je het beginpunt al gevonden.
Dat is eigenlijk ontzettend eenvoudig als je een beetje weet waar je naar moet kijken. Nu gaan we door naar het domein van g en het bereik van g. En daarvoor hebben we wel de schets nodig. Dus die schets die ga ik even maken. Hoe maak je die schets?
Nou als je niet weet hoe het werkt, zet gewoon de functie g in je grafische rekenmachine. Dan krijg je in één keer de perfecte schets. Wat wij gaan doen is even anders.
We gaan eerst even dat beginpunt neerzetten. Dat is 3,5 geworden. Dus ik ga even kijken.
3,5 dat is bijvoorbeeld ongeveer... Hier zo, daar komt het beginpunt, zet ik even zo'n stipje. En nu gaan we die wortelfunctie erin tekenen.
Alleen er is één ding, voor die wortelfunctie staat min 2. En omdat er een minnetje staat, gaat die wortelfunctie niet omhoog, maar gaat hij juist naar beneden. Dus dan gaat hij er zo aan zien. Ongeveer dit. Dat is wat je krijgt. Dus doordat hier een min 2 staat, gaat hij dus niet zo omhoog, maar wat doet hij eigenlijk het tegenovergestelde?
Hij wordt gespiegeld en dan gaat hij dus zo naar beneden. En dit is dus de functie g en gx is min 2 wortel x min 3 plus 5. En nu gaan we bepalen wat is hier het domein van g en wat is het bereik. En we beginnen met het bepalen van het domein.
Dus we noteren d van g. Voor het domein gaan we kijken naar de x-as, want domein gaat over de laagste x-waarde en de hoogste. En zoals we bij de vorige functie hadden gezien is het beginpunt hier erg belangrijk.
Dus het beginpunt zit hier, dat is 3,5. En dan gaan we even kijken wat wordt nu het domein. Nou, we zoeken dus eerst de laagste x-waarde op. En de laagste x-waarde is hier opnieuw het beginpunt, want dit is de laagst mogelijke x-waarde. En daarna gaat die naar rechts, dus worden de x'en alleen maar groter.
Dus het domein begint bij 3, want 3 is de laagste x-waarde. Dus we noteren dan dg. Vierkante haak, 3. Vergeet niet om er een vierkante haak omheen te zetten, want hij begint echt in 3. Dus vanaf dat moment bestaat de functie en vanaf daar gaat hij door.
Wat gaat hij doen? Vanaf daar gaat hij naar rechts. En hij blijft doorlopen naar rechts. Hij gaat oneindig ver naar rechts. Dus net als bij de vorige functie noteer je nu een pijltje.
Dus je krijgt dan 3, pijltje naar rechts. En daar doe je weer een pijltje omheen. Dit is het domein.
Nu gaan we kijken naar het bereik. En het bereik gaat juist over de i-as. Dus we noteren het bereik van g. En dat is het volgende.
Laten we even goed kijken naar deze functie. Wat gaat er gebeuren? Dus we zitten in 5. En vanaf 5 gaat die naar beneden. Dus we hebben nu een heel ander soort situatie. Want hij begint eigenlijk in het hoogste punt.
Dat is 5. En vanaf het hoogste punt gaat die naar beneden toe. Dus normaal beginnen we met het noteren van het getal. Maar het getal wat hier staat, dat geeft aan wat het laagste punt is. Dus in dit geval de laagste x-waarde was 3, want vanaf x is 3 ging het naar rechts en werd dat groter.
Maar nu beginnen we niet met een laagste waarde, maar juist met een hoogste. Want vanaf 5 gaat die naar beneden. En omdat je begint met eigenlijk het grootste getal, het grootste getal komt altijd aan de rechterkant te staan. Dus dan beginnen we op deze manier.
We zetten de 5 juist rechts en dan zet je daar de vierkante haak omheen. Dus we beginnen met... Het grootste getal, dat is 5, dat is wat we weten. Dus die 5 zet je aan de rechterkant, want het grootste getal komt altijd rechts. Wat gebeurt er verder?
Vanaf 5 gaat hij naar beneden. Dus de i-waarden die dalen. Dus het hoogste getal is 5 en daarna gaat het dalen.
Hoe ver gaat het dalen? Deze gaat oneindig verder door naar beneden. Dus als het oneindig ver naar beneden gaat is het dus 5 en kleiner dan 5. En dat deed je als volgt. Je zet er dan een pijltje voor en dat pijltje wijst juist naar links. Dus op deze manier.
Dus hier staat de hoogste waarde is 5 en vanaf 5 wordt het alleen maar kleiner. Dus eigenlijk staat hier precies het tegenovergestelde van hetgene wat hier staat. Namelijk hier begint het bij 3, wordt het groter. Hier eindigt hij bij 5 en is het dus 5 en alles wat kleiner is dan 5. Want vanaf Gaat hij hier naar beneden.
Nu zijn we klaar. Nu hebben we dus eigenlijk alles besproken van een wortelfunctie. Dus wat hebben we gezien in deze video? We hebben het dus eerst gehad over de standaard wortelfunctie.
We hebben het gehad over een translatie. Dus een verplaatsing. En een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as. En daarbij maak je hem steiler of minder stijl. Belangrijk is dat je die vragen kunt beantwoorden die we hier aan het einde hebben besproken.
Dus je moet aan kunnen geven. Hoe kun je nou zo'n transformatie en een vermenigvuldiging doen? Om hem te laten ontstaan uit een standaard grafiek.
Dat hebben we een paar keer gedaan. Wat nog meer belangrijk is, is dat je ook dit soort vragen kunt beantwoorden. Dus je kunt zeggen, waar zit het beginpunt? Daarvoor kijk je naar de translatie die je hebt gedaan.
En je moet iets kunnen zeggen over domein en bereik. En bij dit is dus die schets heel erg belangrijk, want die schets bepaalt welke kant het gaat op. Het domein, dat is de x-as, begint bij 3. Dat is hier en dan gaat hij naar rechts.
Dus 3, pijltje, naar rechts. Maar voor het bereik, hij gaat naar beneden. Dus hij eindigt bij 5. En het is vanaf 5 en alles wat kleiner is dan 5, dat noteer je op deze manier.
Zorg ervoor dat je die schets erbij maakt, want dat helpt je eigenlijk om te begrijpen wat er gebeurt. En voor de rest mag je de vraag zo uitwerken en dan krijg je alle punten op het proefwerk. Wat leuk dat je naar deze video hebt gekeken. Ben je nou blij met Maltep Menno? Doe dan een blauw duimpje omhoog en abonneer op mijn kanaal.
Je kunt me ook volgen op Instagram en als je wil zien welke video precies waarover gaat, kijk dan eens op de overzichten op mijn website.