Лекция: Факториалы

Определение факториала

• Факториал числа n — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.
• Обозначается знаком "!".
• Примеры:
  • 0! = 1
  • 1! = 1
  • 2! = 1 × 2 = 2
  • 3! = 1 × 2 × 3 = 6
  • 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
  • 5! = 4! × 5 = 120

Рекуррентная формула факториала

• Факторриал n: ( n! = (n-1)! \times n )

Примеры решения задач с факториалами

Пример 1

• Цель: Найти отношение ( \frac{26!}{25!} )
• Решение:
  • Представляем 26! как 25! × 26
  • ( \frac{26!}{25!} = \frac{25! \times 26}{25!} = 26 )

Пример 2

• Цель: Найти ( \frac{12!}{10!} )
• Решение:
  • Представляем 12! как 10! × 11 × 12
  • ( \frac{12!}{10!} = \frac{10! \times 11 \times 12}{10!} = 11 \times 12 = 132 )

Пример 3

• Цель: Найти дробь ( \frac{5! \times 3!}{7!} )
• Решение:
  • Представляем 7! как 5! × 6 × 7
  • ( \frac{5! \times 3!}{7!} = \frac{5! \times 3!}{5! \times 6 \times 7} = \frac{3!}{6 \times 7} )
  • ( 3! = 1 \times 2 \times 3 = 6 )
  • ( \frac{6}{6 \times 7} = \frac{1}{7} )

Пример 4

• Цель: Найти дробь ( \frac{10!}{8! \times 3!} )
• Решение:
  • Представляем 10! как 8! × 9 × 10
  • ( \frac{10!}{8! \times 3!} = \frac{8! \times 9 \times 10}{8! \times 3!} )
  • Сокращаем 8!:
    • ( \frac{9 \times 10}{3!} = \frac{9 \times 10}{1 \times 2 \times 3} )
    • ( \frac{90}{6} = 15 )

Заключение

• Факториалы имеют важное значение в математике и часто используются в комбинаторных задачах.