Analiza Matematyczna - Funkcje Odwrotne

Definicja Funkcji Odwrotnej

Funkcja odwrotna istnieje tylko dla funkcji wzajemnie jednoznacznych, czyli bijekcji.

• Funkcja ( f ) jest bijekcją, jeśli:
  • Jest różnowartościowa (iniekcja): Dla dowolnych ( x_1, x_2 ) z dziedziny ( f(x_1) = f(x_2) ) wtedy i tylko wtedy, gdy ( x_1 = x_2 ).
  • Jest na (suriekcja): Dla każdego ( y ) z obrazu istnieje ( x ) w dziedzinie, że ( f(x) = y ).

Przykład: Funkcja ( y = x^2 )

Funkcja ( y = x^2 ) nie jest różnowartościowa, np. ( f(2) = f(-2) ).

Funkcja ( y = x^2 ) nie jest funkcją na, np. dla ( y = -3 ), brak ( x ) takiego, że ( x^2 = -3 ).

Funkcja ( f(x) = \sqrt{x} )

Dziedzina: ([0, \infty))

• Obraz: ([0, \infty))

Sprawdzenie różnowartościowości:

• Przyrównanie ( \sqrt{x_1} = \sqrt{x_2} ) prowadzi do ( x_1 = x_2 ).

Sprawdzenie bycia na:

• Dla każdego ( y \geq 0 ) istnieje ( x = y^2 ), zatem ( f(x) = y ).

Funkcja ( f(x) = \sqrt{x} ) jest bijekcją.

Znajdowanie Funkcji Odwrotnej

Wyznaczamy ( x ) z równania ( y = \sqrt{x} ):

• Podnosimy do kwadratu: ( y^2 = x ).

2. Zamieniamy miejscami ( x ) i ( y ):
   • Funkcja odwrotna: ( f^{-1}(x) = x^2 ).

Zaznaczamy zakresy przejścia:

• Funkcja ( f^{-1} ) przechodzi z ([0, \infty)) do ([0, \infty)).

Podsumowanie

Aby znaleźć funkcję odwrotną:

1. Udowodnić, że funkcja jest bijekcją.
2. Wyznaczyć ( x ) z równania ( y = f(x) ).
3. Zamienić ( x ) z ( y ) i określić nowe dziedziny i obrazy dla funkcji odwrotnej.