Czas wrzucić coś dla studentów, którzy mają ze mną analizę matematyczną, bo ostatnio pojawiały się głównie zadania z algebrę liniowej. Dostaliście na ćwiczeniach zadanie, żeby policzyć funkcję odwrotną. To wróćmy do początku.
Co to jest w ogóle funkcja odwrotna? Po pierwsze, musimy mieć funkcję, która jest wzajemnie jednoznaczna. Co to znaczy?
Niech nasza funkcja... f prowadzi ze zbioru x w zbiór y, będzie funkcją wzajemnie jednoznaczną. Co to znaczy, że jest wzajemnie jednoznaczna? To znaczy, że jest bijekcją.
I zanim przejdę dalej, to tutaj się zatrzymam. Wyjaśnijmy sobie, co to jest bijekcja. Po pierwsze, musi być różnowartościowa.
To znaczy, że dla każdych dwóch x1, x2 należących do dziedziny f od x1 jest równe f od x2 wtedy i tylko wtedy, gdy x1 jest równe x2. To znaczy nie znajdziemy dwóch takich x-ów z dziedziny, żeby były różne i żeby wartości funkcji były takie same w tych dwóch punktach. Myślę, że intuicyjnie wiecie, które funkcje są różnowartościowe, a które nie są.
Na przykład... Funkcja taka będzie różnowartościowa. Bo zobaczcie, dla dowolnych dwóch x1 i x2, jakie weźmiemy, wartości funkcji na pewno będą różne.
Natomiast funkcja y równa się x kwadrat. Nie jest różnowartościowa, bo na przykład dla dwójki i dla minus dwójki funkcja przyjmuje taką samą wartość. Czyli ta jest różnowartościowa, a ta różnowartościowa nie jest. Czyli po pierwsze bijekcja to taka funkcja, która jest różnowartościowa i musi być jeszcze spełniony.
Jeden warunek jest funkcją na. czyli jest suriekcją, różnowartościowa, czyli iniekcja, a na, czyli suriekcja. Co to znaczy?
Że dla każdego y z y istnieje taki x należący do dziedziny, że y równa się f od x. To znaczy, że wszystkie y zostały przyjęte z tego y. Czyli wezmę dowolnego y, znajdę takiego x, że y jest wartością. I teraz zobaczmy na tą funkcję y równa się x kwadrat.
Ona nie jest funkcją na, no bo zobaczcie, na przykład, gdybym wzięła y równe minus 3. to czy istnieje taki x należący do tutaj zbioru liczb rzeczywistych, że y równa się x kwadrat? No x kwadrat musiałby być równy minus 3. Nie istnieje, czyli ta funkcja nie będzie funkcją na. Nie jest surjekcją.
A żeby była bijekcją, to musi być i różnowartościowa, i na. Zrobimy sobie później przykład, gdzie sprawdzimy, czy dana funkcja jest bijekcją, żebyśmy mogli znaleźć do niej funkcję odwrotną. Bo jeżeli my...
będziecie mieć zadanie znajdź funkcję odwrotną dodanej, to zawsze najpierw się zastanówcie, czy ta, którą dali, jest bijekcją. Czyli mamy funkcję, która prowadzi z x w y, jest wzajemnie jednoznaczna, czyli jest bijekcją, czyli mamy zagwarantowane, że ona spełnia już te warunki. To wtedy funkcją odwrotną Do f nazywamy funkcję, będziemy ją oznaczać f do minus pierwszej.
I teraz tak, funkcja f prowadziła z x w y, a f do minus pierwszej będzie prowadziła z y w x, czyli zbiór wartości z dziedziną zamieniają się miejscami. Czyli to jest pierwsza rzecz. Dlatego widzicie, że ważne jest to, żeby ona była bijekcją, bo zbiór wartości stanie się teraz dziedziną, a dziedzina zbiorem wartości. I teraz uwaga, co się dzieje? x należącego do x i dla każdego y należącego do y zachodzi, że f od minus pierwszej od y, czyli wartość funkcji odwrotnej w y jest równa x wtedy i tylko wtedy, gdy, nie zmieściłam to tutaj sobie przeniosę, wtedy i tylko wtedy, gdy f od x równa się y.
To jest definicja funkcji odwrotnej. I teraz... Po pierwsze, zobaczmy, co tutaj się dzieje.
Powiedzieliśmy, że dziedzina zamienia się ze zbiorem wartości miejscami u naszej funkcji f i to jest bardzo ważne. Więc zawsze, jak będziemy wyznaczać funkcję odwrotną, będziemy chcieli sprawdzić, co jest dziedziną i zbiorem wartości i czy jest to bijekcja. Później będzie nas interesował wzór funkcji odwrotnej.
Ja tutaj oznaczyłam ją f do minus pierwszej, ale Wy możecie oznaczać też inaczej. I teraz, jak znaleźć ten wzór? To najlepiej zrobić. zrobić na przykładzie.
Zacznijmy od funkcji f od x równa się pierwiastek z x. Czy ta funkcja jest bijekcą? Czy to jest funkcja wzajemnie jednoznaczna?
Jak popatrzymy sobie na jej wykres, tak wygląda wykres funkcji y równa się pierwiastek z x. to widzimy, że ona jest różnowartościowa. Ale na kolokwium to za mało, żeby powiedzieć aha, widzę, że ta funkcja jest różnowartościowa. Udowodnijmy, że ona jest różnowartościowa. Czyli sprawdzamy, czy jest różnowartościowa.
To znaczy, biorę dowolne x1, x2 należące do dziedziny. No dobrze, a teraz co jest naszą dziedziną? No na razie załóżmy sobie, że nasza funkcja f prowadzi ze zbioru od... od zera do plus nieskończoności.
No i teraz pytanie. Czy w R, czy w przedział zero nieskończoność? Jeżeli chcemy, żeby była bijecją, to od razu widać, że musimy sobie tutaj napisać, że jest to funkcja od zera do plus nieskończoności.
Prowadzi... od zera do plus nieskończoności jest dziedzina i od zera do nieskończoności damy tutaj zbiór wartości, dlatego, że wtedy będzie to funkcja, która jest na. A jakbyśmy tutaj wpisali, że tutaj idzie w R, to funkcja nie byłaby na, bo to byłby ten sam przypadek, który zrobiliśmy tutaj, że znaleźliśmy takiego Y, że dla niego X nie ma.
Czyli ja tutaj nie biorę, że idzie w zbiór rzeczywistych, tylko idzie w zero nieskończoność. I teraz sprawdzam, czy spełniony jest ten warunek. Biorę że x1, x2 należące do przedziału 0, nieskończoność. I teraz przyrównuję f od x1 do f od x2.
Ja bym chciała udowodnić, że w tej sytuacji x1 musi być równe x2. Ale zobaczcie, pierwiastek z x1 równe pierwiastek z x2. Podnoszę to do kwadratu, bo obie strony są nieujemne i dostaję, że x1 jest równe x2.
Czyli jeżeli wartości funkcji są takie same, no to pierwiastek z x1 równa się pierwiastek z x2. i to oznacza, że x1 musi być równe x2. Czy jest różnowartościowa?
Tak, jest różnowartościowa. Teraz sprawdzam, czy jest to funkcja na. Ja sobie specjalnie ograniczyłam tutaj i napisałam, że ta funkcja idzie w 0 nieskończoność, bo teraz zobaczcie, czy dla każdego, czy chcę sprawdzić, czy dla każdego y Z tego zbioru istnieje x należący do dziedziny, taki, że y równa się f od x, a f od x to jest pierwiastek z x.
Tak, dla każdej liczby, większej bądź równej od zera, znajdziemy takiego x i jak go znajdziemy, to jest po prostu y kwadrat. Czyli jest funkcjonalna. Wobec tego jest bijekcą, czyli istnieje do niej funkcja odwrotna.
I teraz jak szukamy do niej funkcji odwrotnej? Wypisujemy sobie funkcję y równa się pierwiastek z x. I naszym zadaniem jest wyznaczyć z tej funkcji x.
I tutaj idzie to bardzo prosto, podnoszę to do kwadratu, czyli y kwadrat równa się x. I jak wyznaczyliśmy x, to to jest właśnie nasza funkcja odwrotna. I teraz co robimy? Uwaga!
Teraz będzie taka magiczna rzecz. Ja przedstawiam Wam taki schemat, co trzeba zrobić, nauczcie się go na kolokwium i na egzamin. Czyli teraz zamieniam sobie miejscami y z x, czyli y równa się x kwadrat. Mogę napisać f do minus pierwszej od x równa się x kwadrat.
To jest nasza funkcja odwrotna, tylko uwaga, nie cały x kwadrat, tylko zamieniam teraz sobie miejscami zbiór wartości z dziedziną. czyli lecę od zera do plus nieskończoności w przedział od zera do plus nieskończoności. Zrobimy jeszcze jeden przykład, żeby pokazać Wam, jak wyznaczać funkcję odwrotną i sprawdzać, czy jest bijekcją.
Ale teraz zatrzymajmy się chwilę nad tą końcówką. Zasada jest taka, jeżeli macie funkcję i udowodniliście, że ona jest injekcją i suriekcją, to wtedy idziecie dalej. Chcecie wyznaczyć wzór funkcji odwrotnej.
Jak to robicie? Po prostu z tego wzoru trzeba wyciągnąć i wyznaczyć x. A jak już go wyznaczymy, zamieniamy miejscami literki x i y. To jest wzór naszej funkcji odwrotnej do danej. Pamiętajcie o tym, żeby też zapisać z jakiego zbioru w jaki zbiór idzie nasza funkcja odwrotna.