Cours sur les suites arithmétiques et géométriques

Introduction

• Révision des suites arithmétiques et géométriques.
• Importance de comprendre la somme des termes d'une suite.
• Nécessité de pratiquer avec des exercices pour bien maîtriser le sujet.

Suites Arithmétiques

• Définition : Suite où chaque terme est obtenu en ajoutant un nombre constant au terme précédent.

  • Exemple : Suite ( U_n ) avec premier terme 3 et raison 5 : ( U_0 = 3, U_1 = 8, U_2 = 13 ), etc.
  • Formule de récurrence : ( U_{n+1} = U_n + r ).
  • Formule explicite : ( U_n = U_0 + n \times r ).

• Raisonnement sur la variation :

  • R positif : Suite croissante.
  • R négatif : Suite décroissante.
  • Exemple : Suite ( U_n = 5 - 4n ), raison (-4), suite décroissante.

• Représentation graphique :

  • Suite représentée par un nuage de points alignés._

Suites Géométriques

• Définition : Suite où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un nombre constant (la raison ( q )).

  • Exemple : Suite ( U_n ) avec premier terme 5 et raison 2 : ( U_0 = 5, U_1 = 10, U_2 = 20 ), etc.
  • Formule de récurrence : ( U_{n+1} = q \times U_n ).
  • Formule explicite : ( U_n = U_0 \times q^n ).

• Raisonnement sur la variation :

  • Q > 1 : Suite croissante.
  • Q = 1 : Suite constante.
  • 0 < Q < 1 : Suite décroissante.
  • Impact du signe du premier terme :
    • Si ( U_0 ) est positif, les variations restent identiques.
    • Si ( U_0 ) est négatif, les variations s'inversent._

Somme des termes d'une suite

• Suite arithmétique :

  • Formule : ( S_n = \frac{n(n+1)}{2} ) pour les sommes successives.
  • Exemple : Somme de 1 à 4 : ( 4 \times 5 / 2 = 10 ).

• Suite géométrique :

  • Formule : ( S_n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} ).
  • Exemple : Somme ( 1 + 2 + 4 + 8 ) : ( \frac{1 - 16}{-1} = 15 ).

Conclusion

• Importance de bien comprendre les formules pour les suites arithmétiques et géométriques.
• Nécessité de pratiquer avec divers exercices pour maîtriser les concepts et les applications.