Étude des suites arithmétiques et géométriques

Bonjour, dans cette vidéo je te propose de revoir tout le cours sur les suites arithmétiques et les suites géométriques. L'objet de cette séquence est de te rappeler et de t'expliquer les éléments les plus importants de ce chapitre. Plus précisément on parlera bien évidemment des suites arithmétiques et des suites géométriques et on verra également la notion de somme de termes d'une suite arithmétique ou géométrique. Pour préparer un contrôle ou même un examen, ceci ne suffira évidemment pas. Il te faudra encore faire de nombreux exercices. En tout cas, pour le cours, c'est parti. Alors, on va commencer par les suites arithmétiques et partir d'un exemple pour comprendre comment fonctionne ce type de suite. Ce sont donc des suites très particulières. On va considérer une suite nommée UN, où la différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à 5. On va supposer que le premier terme, est égal à 3. A partir de là, on va pouvoir calculer les termes successifs de cette suite. Soit, en commençant avec U0 égal à 3. Pour U1, on nous dit que la différence entre un terme et son précédent fait 5. Ce qui veut dire que pour U1, il faudrait mettre 8. 3 plus 5, 8 de cette façon. La différence entre U1 et U0 est bien de 8 moins 3, soit 5. Je poursuis avec U2. La différence entre... U2 et U1 doit être égal à 5. Du coup, ici, on va mettre 13. De cette façon, 13 moins 8, ça fait 5. Puis pour U3, 18, etc. Et on va pouvoir très simplement construire une relation de récurrence, c'est-à-dire exprimer notre suite par récurrence en exprimant Un plus 1 en fonction de Un. Et qu'est-ce qu'il nous faut ? Il nous faut simplement rajouter 5 à Un. De cette façon-là, si je fais un plus 1 moins un, eh bien, je trouve bien 5. Donc, un plus 1 égale un plus 5, c'est ce qui va définir notre suite. Et là, on vient de définir ce qui s'appelle une suite arithmétique. Alors, dit très simplement, c'est quoi une suite arithmétique ? C'est une suite où je rajoute à chaque fois le même nombre pour passer d'un terme au suivant. Alors, quand je dis je rajoute un nombre, je peux rajouter un nombre négatif, ce qui signifie... qu'on aurait également une suite arithmétique si on enlève à chaque fois le même nombre. Et ce même nombre porte d'ailleurs un nom. Il s'appelle la raison de la suite. Ce qui signifie qu'ici, on a une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3. Là, on a totalement défini notre suite arithmétique. Et d'ailleurs, de façon générale, on dit qu'une suite UN est une suite arithmétique s'il existe un nombre R, c'est donc la raison. tel que pour toute n, on est un plus 1 égale un plus r. Ici, on a un plus 1 égale un plus 5. Alors oui, ceci, c'est la formule de récurrence. C'est bien, c'est pratique, mais on sait que pour les suites, on aime beaucoup quand elles sont exprimées sous leur forme explicite, c'est-à-dire en fonction de n. Est-ce qu'on ne pourrait pas exprimer cette suite arithmétique en fonction de n ? Alors, la réponse est bien évidemment oui. Et pour cela, ce qu'il faut voir, c'est que la différence entre un terme... et son précédent est de 5. Donc, comme on l'a dit tout à l'heure, pour passer d'un terme au suivant, on rajoute à chaque fois 5. Donc là, de U2 à 3, je fais plus 5. Si je poursuivais ici pour U4, je ferais encore plus 5 et j'obtiendrais U4 qui serait égal à 23. Alors, si on les regarde maintenant les uns après les autres, si je prends U1 par rapport à U0, j'ai rajouté 5, une fois 5. Si je prends U2 par rapport à U0, pas par rapport à U1, par rapport à U0, J'ai rajouté une fois deux fois cinq. Si je prends maintenant U3, toujours par rapport au premier terme U0, j'ai rajouté une fois deux fois trois fois cinq. Et si je prenais U4, celui qui n'est pas noté, je rajouterais quatre fois cinq. Donc si je prenais UN, qu'est-ce qui se passerait ? Eh bien UN serait égal à U0 plus... Combien de fois cinq ? Eh bien N fois cinq. N... multiplié par 5, c'est-à-dire Un serait égal à U0, 3, plus n fois 5, 5n. On vient là d'exprimer Un en fonction de n, donc sous sa forme explicite. On comprend bien ce qui se passe de façon générale. Quand on a une suite arithmétique de raison R et de premier terme U0, et bien Un est égal à U0, le premier terme, plus n fois la raison. N fois 5, N fois la raison. Et là, on a une formule toute faite, très pratique, qui nous permet d'obtenir Un en fonction de N. Alors parlons un peu des variations possibles pour une suite arithmétique. C'est assez simple à comprendre et c'est également assez simple à retenir. Si on a une suite Un, de raison R, eh bien la variation de cette suite va dépendre du signe de la raison. Si R est positif, Un est croissante. On comprend bien pourquoi. Si R est positif, ça veut dire que je vais rajouter, je vais faire plus R entre un terme et le suivant. Je vais faire plus R, plus R, plus R. Comme avant, on avait plus 5, plus 5, plus 5. On avait donc bien forcément une suite croissante. On est à chaque fois en train d'augmenter. Si R est négatif, qu'est-ce qui se passe ? Eh bien, je rajoute un nombre négatif. Autrement dit, je soustrais. Eh bien... Du coup, on a une suite Un qui est décroissante. Voici un exemple. La suite Un définie par Un égale 5 moins 4n. Pourquoi elle est décroissante ? Tout simplement parce que sa raison est négative et elle est égale à moins 4. J'ai là une suite Un qui est exprimée sous la forme U0 plus n fois r, avec ce U0 qui vaut 5 et ce r qui vaut moins 4, moins 4 négatif. Passons à la représentation graphique d'une suite arithmétique. Eh bien, ça va être également assez rapide et assez facile à comprendre. On a représenté ici une suite arithmétique de raisons moins 0,5 et de premier terme 4. Alors, le premier terme, on le trouve, on le voit sur l'axe des ordonnées, donc au point d'ordonnée 4. Et ensuite, qu'est-ce qu'on va faire ? On va à chaque fois enlever 0,5, on va faire moins 0,5. C'est-à-dire qu'on va à chaque fois rajouter... la raison. Ce qui fait que on passe au rang 1 à 3,5, donc on a le point de coordonnée 1, 3,5. Puis quand on est à 3,5, on enlève encore 0,5, on arrive à 3, puis à 2,5, etc. Et donc là, on voit ce nuage de points. Et la particularité des suites arithmétiques, c'est d'être représenté par un nuage de points qui sont tous alignés. C'est ce qu'on retiendra pour une suite arithmétique, et c'est de cette façon-là qu'on les reconnaît graphiquement. On peut maintenant passer aux suites géométriques. Alors, on va considérer une suite UN, où le rapport entre un terme et son précédent reste constant et toujours égal à 2. Alors, on voit finalement que l'introduction ressemble un peu à celle qu'on a vue juste à l'instant pour les suites arithmétiques, seulement au lieu de parler de différence, là on parle de rapport de quotient. Alors, on va voir tout de suite ce que cela signifie au niveau, en voyant un exemple. Et on va partir d'une suite dont le premier terme U0 est égal à 5. Alors voilà, j'ai donc écrit U0 égal à 5, le premier terme. Et ensuite, je voudrais que le rapport entre U1 et U0 soit égal à 2. Je voudrais donc en fait que U1 sur U0, ça fasse 2. C'est-à-dire, je voudrais que quelque chose sur 5 soit égal à 2. Qu'est-ce qu'on va mettre évidemment pour U1 ? On va mettre 10 dix-cinquièmes, ça fait bien 2. Donc je mets 10 ici. Je poursuis avec U2. Je voudrais maintenant que le rapport entre U2 et U1 fasse 2. Donc U2 sur 10 fasse 2. On va doubler, on va mettre 20. Puis U3 sur 20 doit faire 2. Donc on va doubler et on va mettre 40. Finalement, qu'est-ce qu'on constate pour cette suite ? On constate que successivement, on a à chaque fois multiplié par 2. Dit simplement, une suite géométrique, c'est une suite où pour passer d'un terme au suivant, on multiplie à chaque fois par le même nombre. Et bien si à chaque fois on multiplie par 2, cela signifie que de façon générale, on pourrait écrire sous sa forme de récurrence notre suite, soit un plus 1 est égal à 2, le facteur 2, multiplié par un. Et bien on a là une suite définie par récurrence et qui est... Une suite géométrique. On dira qu'une telle suite est une suite géométrique de raison, bien évidemment, 2, et de premier terme, u0 égale à 5. Et de façon générale, une suite un est une suite géométrique s'il existe un nombre q, tel que, pour n'importe quel entier n, un plus 1 est égal à q fois unq. Eh bien, c'est cette raison, c'est la raison de la suite. On note habituellement r pour une suite arithmétique et q pour une suite. géométriques. Et les suites géométriques également, on aimerait bien pouvoir les exprimer directement sous leur forme explicite, en fonction de n. On va faire comme tout à l'heure, on va regarder à chaque fois quel est le rapport au premier terme pour chacun des termes successifs. On va commencer par u1 et on voit que pour passer de u0 à u1, on a multiplié par 2. Pour U2, pour passer de U0 à U2, qu'est-ce qu'on a fait ? On a fait 2 fois 2. Pour passer de U0 à U3, qu'est-ce qu'on a fait ? On a fait 2 fois 2 fois 2. Alors, on pourrait peut-être commencer par le noter avec des puissances. Donc, tout à l'heure, 2 fois 2, ça nous donne 2 au carré. 2 fois 2 fois 2, ça nous donne 2 au cube. Si je voulais U4, qu'est-ce qui se passerait ? Je ferais 2 fois 2 fois 2 fois 2, c'est-à-dire je ferais fois 2 puissance 4. Et de façon générale, pour un, c'est-à-dire pour n'importe quel terme un, je prendrai le premier terme, mon u0 qui est ici, et je ferai 2 fois 2 fois 2 fois 2, etc. Donc n fois, autrement dit, je multiplierai par 2 puissance n. Eh bien, pour notre suite, u0 vaut 5, donc je peux remplacer ici par 5. On a là une expression explicite de un, un est égal à 5. multiplié par 2 puissance n. Et de cette façon-là, on peut calculer notre Un pour n'importe quelle valeur de n. Du coup, de façon générale, ça nous donne quoi ? Dès qu'on a une suite géométrique de raison Q et de premier terme U0, qu'est-ce qu'on fait ? On prend U0, le premier terme, et on va le multiplier autant de fois que nécessaire par 2. Si on est au rang n, on va le multiplier n fois par 2. Si la raison de façon générale s'appelle Q, on va multiplier n fois par q. C'est pour ça que la formule c'est un égale u0 fois q puissance n. Grâce à cette formule qu'on peut appliquer directement comme pour les suites arithmétiques, on a là une expression de un en fonction de n pour une suite géométrique. Alors on va s'attaquer maintenant à la variation des suites géométriques. On va voir tout de suite quelques exemples, ça sera plus simple à comprendre parce que lorsqu'on s'attaque directement à la propriété, en fait il y a plein de cas. Donc du coup, ça paraît compliqué, alors que ça ne l'est pas une fois qu'on a compris le principe. On va voir déjà un premier exemple avec une suite Un, qui est définie par Un égale 2 puissance n. On a donc là une suite géométrique de raison Q égale à 2. Alors, que se passe-t-il au niveau de la variation de cette suite ? On va faire le calcul sur les premiers termes. Donc pour U0, ça donne 1, c'est 2 puissance 0. Pour U1, ça donne 2. 2 puissance 1, ça fait 2. Pour U2, ça fait 2 au carré, donc 4. Ensuite, on aura 8, 2 au cube. Puis 2 puissance 4, 16. En fait, on a compris qu'à chaque fois, on prend le double. 32, etc. Donc si à chaque fois, on prend le double, on est bien évidemment ici en présence d'une suite qui est croissante. Alors sans la traiter, on comprend bien que cette suite serait également croissante. 3 puissance n. Puisque ça nous ferait du 3 fois 3 fois 3. À chaque fois, on multiplierait par 3. Donc ça ne ferait que grandir. Donc si je prenais du 7 puissance n, ça serait encore plus rapidement croissant. Donc on a l'impression comme ça que toutes les suites sont croissantes. Je vais en prendre une qui est un peu plus proche de 1. Alors on va tout de suite comprendre que 1 joue une barrière. C'est 1,1 puissance n. Est-ce que cette suite est quand même croissante ? C'est peut-être un peu moins évident. Donc on va faire comme avant, on va calculer les premiers termes. Lorsque n égale à 0, ça fait 1. Lorsque n égale 1, ça fait 1,1 puissance 1, donc 1,1. Lorsque n égale 2, ça fait 1,1 au carré, donc 1,1. Donc 1,21. 1 au cube, ça ferait 1,331. Etc. En tout cas, on voit bien que ça ne fait que grandir. Ça ne grandit pas très vite. Mais en tout cas, c'est effectivement croissant. Donc du 1,1, c'est croissant. C'est normal parce qu'à chaque fois, je ne multiplie pas 1, quelque chose. Donc ça grandit un peu. Donc finalement, du 1, quelque chose, reste quand même une raison qui va nous renvoyer une suite croissante. Où est la limite ? Eh bien, la limite, on l'a compris, c'est 1 tout court. Si je prends une suite de raison 1, c'est-à-dire un égale 1 puissance n, eh bien, ça va nous donner quoi ? Ça va nous donner 1 pour le premier terme, 1 puissance 1 pour le deuxième, donc 1, 1 au carré pour le troisième, donc 1, 1 au cube, puis 1 puissance 4, etc. Et donc là, on voit qu'on a une suite qui est constante. Donc, effectivement, lorsque la raison est strictement... plus grande que 1, on a une suite géométrique qui est croissante. Lorsque la raison est égale à 1, on a une suite géométrique qui est constante. Est-ce que si la raison est inférieure à 1, on aurait une suite décroissante ? On va juste faire un petit essai avec Un égale 0,5 puissance n. Là, on a une suite géométrique de raison 0,5. Ça nous donne U0, 0,5 puissance 0, ça fait 1. U1. 0,5 puissance 1, ça fait 0,5. U2, 0,5 au carré, ça fait 0,25. U3, 0,5 au cube, ça fait 0,125, etc. On comprend qu'on multiplie à chaque coup par 0,5, c'est-à-dire qu'à chaque fois on prend la moitié, donc forcément c'est une suite décroissante. Et on comprend bien que dès qu'on va prendre du 0, quelque chose, on l'appuie en entier, donc on descend un petit peu, donc on est en train de décroître. Donc ça signifie... que lorsque la raison est comprise entre 0 et 1, je rappelle qu'on s'attaque simplement aux suites géométriques de raison strictement positive, donc lorsque la raison est comprise entre 0 et 1, strictement, on a une suite décroissante. On peut déjà le résumer, ceci, dans la première partie de la propriété, où on a un premier terme qui est positif. J'ai expliqué la subtilité. En tous les cas, il est écrit, si Q est strictement plus grand que 1, la suite est croissante. Si Q est compris entre 0 et 1, la suite UN est décroissante. Alors, quelle est la différence avec un premier terme positif ou un premier terme négatif ? Pour l'instant, j'ai fait le cas du premier terme positif. Ben oui, parce que le premier terme positif, ça ne va pas changer grand-chose. Qu'est-ce qui se passe ici ? Je rajoute simplement un premier terme. Je ne sais pas, peu importe. 5. Voilà notre premier terme. Donc, j'ai une suite UN géométrique. qui est défini par u0 fois q puissance n. C'est donc sa forme explicite, avec ici donc un u0 positif. Bon, ça c'est décroissant. Je vais faire quoi ? Je vais à chaque fois multiplier par 5 chaque terme. Eh bien, ça ne va rien changer. Ça va juste me donner à chaque fois le quintuple du terme que j'avais sans le premier terme. Mais ça va quand même continuer à décroître. Ce n'est pas en multipliant par 5 que ça va changer la croissance de ma suite. Donc finalement, tant que U0 est positif, ça ne changera rien à la variation de ma suite. Mais si jamais j'avais un négatif, que se passerait-il ? Eh bien, tout va s'inverser, parce qu'en multipliant par un nombre négatif, on inverse l'ordre. On va juste le constater sur les premiers termes. Je rappelle que tout à l'heure, on avait ceci qui était décroissant, et maintenant, on voudrait donc prouver que finalement... L'ensemble sera croissant puisqu'on a inversé l'ordre. Donc, ça nous donne quoi ? Pour U0, ça fait donc moins 5 multiplié par 0,5 puissance 0. 0,5 puissance 0, ça fait 1, donc moins 5. U1 est donc égal à moins 5 multiplié par 0,5. 0,5 puissance 1, c'est-à-dire moins 2,5. U2. Ça nous fait moins 5 multiplié par 0,5 au carré. 0,5 au carré, ça fait 0,25. Une fois 5, ça va nous faire donc du 1,25 avec le moins, avec le moins. Mais qu'est-ce qu'on constate là ? On peut déjà s'arrêter. On passe de moins 5 à moins 2,5. On grandit. On va à moins 1,25. On grandit. On comprend bien qu'après, on continuerait à grandir. C'est-à-dire qu'on est en fait en train de croître. On a là donc une suite croissante. Alors concrètement, comment on va faire pour déterminer la variation d'une suite géométrique ? Eh bien, on va commencer par regarder ici l'expression sans le premier terme. Et on va se baser sur la propriété qui nous dit que si la raison est comprise entre 0 et 1, exclue, elle est décroissante. Si la raison est plus grande que 1, elle est croissante. Et ensuite, on regarde le premier terme. Si le premier terme est positif, eh bien ça ne change pas, on garde la même chose. Si le premier terme est négatif, eh bien tout s'inverse. C'est pour ça que notre propriété nous dit que pour u0 négatif, si q est plus grand que 1, alors la suite un était croissante, alors que dans le cas précédent, on voit que la suite un était croissante. Et pareil, si q est compris entre 0 et 1, lorsque u0 est négatif, la suite un est croissante, alors que dans le cas précédent, elle était décroissante. Donc j'ai envie de dire, ce qu'il faut bien retenir, c'est le fait que lorsque q est plus grand que 1, c'est croissant, On comprend bien pourquoi, parce qu'on fait quelque chose du type 2 x 2 x 2 x 2 qui ne fait que grandir. Et si Q est compris entre 0 et 1, la suite UN est décroissante. On comprend également pourquoi, parce qu'on est en train de faire du 0, quelque chose, 0, quelque chose, donc on ne fait que décroître. Et juste pour terminer rapidement avec le point que j'avais soulevé, mais qui n'est pas au programme, si jamais la raison si Q est négatif, que se passe-t-il ? Eh bien, en fait, on est en présence d'une suite géométrique qui n'est pas monotone. Il n'y a pas de variation. Elle n'est ni croissante, ni décroissante. Alors... c'est tout simplement dû à la règle des signes. C'est qu'une fois pour un calcul, on va tomber sur un positif et pour le terme suivant sur un négatif. Puis le terme encore suivant sur un positif, etc. Ça va s'alterner entre des positifs et des négatifs. Tu peux faire l'essai, tu prends un Q négatif, tu verras en calculant les termes successifs, à chaque fois, tu auras quelque chose qui va s'alterner positif, négatif. On peut passer à la somme des termes consécutifs d'une suite. Alors, la fin va aller assez vite en réalité, tout simplement parce que... C'est plus une notion où il faut faire des exercices. Donc je vais te présenter les deux formules. On va aller voir sur un exemple, enfin on va en voir une sur un exemple, cela suffira. Et après, il faudra évidemment faire des exercices. Alors moi, je ne propose que deux formules. L'une pour les suites arithmétiques et l'une pour les suites géométriques. Tout simplement parce que pour la somme des termes successifs de ce type de suite, il existe plusieurs formules. Mais en réalité, on peut toujours se raccrocher à ces deux formules. Donc ça, je l'explique dans les vidéos correspondantes. Je trouve que, moyen de formule à retenir, mieux on se porte. C'est après la technique qui fait la différence. Donc, pour la formule sur les suites arithmétiques, celle qu'il faut connaître, c'est la formule qui donne, tout simplement, la somme des entiers successifs. Ça correspond à quoi ? À une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1, puisqu'on avance de 1 en 1. On le voit, 1 plus 2 plus 3 plus 4, donc à chaque fois on rajoute 1. Donc on fait 1 plus 2 plus 3 plus 4, ceci jusqu'à n, et ça nous donne n facteur de n plus 1 sur 2. Donc on passe d'une somme infinie, qu'on ne peut pas écrire, il y a des petits points, à quelque chose qu'on peut écrire. Donc c'est excessivement intéressant. Si par exemple je veux faire la somme de 1 plus 2 plus 3 plus 4, ça nous donne quoi ? Du coup ça nous fait un n qui est égal à 4 par rapport à ma formule. Donc je vais faire n fois n plus 1. Donc 4 fois n plus 1, si n vaut 4, n plus 1 vaut 5, divisé par 2. 4 fois 5, 20, divisé par 2, 10. Voilà donc sur un exemple très simple pour une suite arithmétique. Pour une suite géométrique. Donc là, on va partir d'une suite géométrique de premier terme 1, on le voit, donc le premier terme c'est 1, et de raison q. Ça nous donne quoi ? 1 plus q, plus q², plus q³, etc. Q puissance n est égale à 1 moins Q puissance n plus 1 sur 1 moins Q. Alors là également, un petit exemple aussi très simple. Si je veux faire 1 plus 2 plus 2 au carré plus 2 au cube, donc là j'ai une suite géométrique de raison 2, et bien ça va me donner 1 moins Q puissance n plus 1. Donc ici, on a Q qui est égale à 2 et n qui est égale à 3. Donc ça nous fait 2, 2 puissance n plus 1, n vaut 3, donc n plus 1 vaut 4. 1, donc ça fait 1 moins 2 puissance 4 sur 1 moins q, donc sur 1 moins 2. Alors 2 puissance 4, ça fait 16. Du coup, 1 moins 16, ça fait moins 15 sur 1 moins 2, moins 1. Les moins s'en vont, il reste 15 unième ou 15 tout court. Voilà donc deux exemples très simples. Tu en trouveras des plus compliqués, comme je l'ai dit, avec des suites arypétiques et des suites géométriques différentes. Mais je le répète, il est toujours possible de se raccrocher à ces deux formules. Cette séquence est terminée.

Pour préparer un contrôle ou même un examen, ceci ne suffira évidemment pas. Il te faudra encore faire de nombreux exercices. En tout cas, pour le cours, c'est parti. Alors, on va commencer par les suites arithmétiques et partir d'un exemple pour comprendre comment fonctionne ce type de suite.

Ce sont donc des suites très particulières. On va considérer une suite nommée UN, où la différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à 5. On va supposer que le premier terme, est égal à 3. A partir de là, on va pouvoir calculer les termes successifs de cette suite. Soit, en commençant avec U0 égal à 3. Pour U1, on nous dit que la différence entre un terme et son précédent fait 5. Ce qui veut dire que pour U1, il faudrait mettre 8. 3 plus 5, 8 de cette façon. La différence entre U1 et U0 est bien de 8 moins 3, soit 5. Je poursuis avec U2.

La différence entre... U2 et U1 doit être égal à 5. Du coup, ici, on va mettre 13. De cette façon, 13 moins 8, ça fait 5. Puis pour U3, 18, etc. Et on va pouvoir très simplement construire une relation de récurrence, c'est-à-dire exprimer notre suite par récurrence en exprimant Un plus 1 en fonction de Un. Et qu'est-ce qu'il nous faut ? Il nous faut simplement rajouter 5 à Un.

De cette façon-là, si je fais un plus 1 moins un, eh bien, je trouve bien 5. Donc, un plus 1 égale un plus 5, c'est ce qui va définir notre suite. Et là, on vient de définir ce qui s'appelle une suite arithmétique. Alors, dit très simplement, c'est quoi une suite arithmétique ?

C'est une suite où je rajoute à chaque fois le même nombre pour passer d'un terme au suivant. Alors, quand je dis je rajoute un nombre, je peux rajouter un nombre négatif, ce qui signifie... qu'on aurait également une suite arithmétique si on enlève à chaque fois le même nombre. Et ce même nombre porte d'ailleurs un nom.

Il s'appelle la raison de la suite. Ce qui signifie qu'ici, on a une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3. Là, on a totalement défini notre suite arithmétique. Et d'ailleurs, de façon générale, on dit qu'une suite UN est une suite arithmétique s'il existe un nombre R, c'est donc la raison.

tel que pour toute n, on est un plus 1 égale un plus r. Ici, on a un plus 1 égale un plus 5. Alors oui, ceci, c'est la formule de récurrence. C'est bien, c'est pratique, mais on sait que pour les suites, on aime beaucoup quand elles sont exprimées sous leur forme explicite, c'est-à-dire en fonction de n. Est-ce qu'on ne pourrait pas exprimer cette suite arithmétique en fonction de n ?

Alors, la réponse est bien évidemment oui. Et pour cela, ce qu'il faut voir, c'est que la différence entre un terme... et son précédent est de 5. Donc, comme on l'a dit tout à l'heure, pour passer d'un terme au suivant, on rajoute à chaque fois 5. Donc là, de U2 à 3, je fais plus 5. Si je poursuivais ici pour U4, je ferais encore plus 5 et j'obtiendrais U4 qui serait égal à 23. Alors, si on les regarde maintenant les uns après les autres, si je prends U1 par rapport à U0, j'ai rajouté 5, une fois 5. Si je prends U2 par rapport à U0, pas par rapport à U1, par rapport à U0, J'ai rajouté une fois deux fois cinq. Si je prends maintenant U3, toujours par rapport au premier terme U0, j'ai rajouté une fois deux fois trois fois cinq. Et si je prenais U4, celui qui n'est pas noté, je rajouterais quatre fois cinq.

Donc si je prenais UN, qu'est-ce qui se passerait ? Eh bien UN serait égal à U0 plus... Combien de fois cinq ? Eh bien N fois cinq. N...

multiplié par 5, c'est-à-dire Un serait égal à U0, 3, plus n fois 5, 5n. On vient là d'exprimer Un en fonction de n, donc sous sa forme explicite. On comprend bien ce qui se passe de façon générale.

Quand on a une suite arithmétique de raison R et de premier terme U0, et bien Un est égal à U0, le premier terme, plus n fois la raison. N fois 5, N fois la raison. Et là, on a une formule toute faite, très pratique, qui nous permet d'obtenir Un en fonction de N. Alors parlons un peu des variations possibles pour une suite arithmétique. C'est assez simple à comprendre et c'est également assez simple à retenir.

Si on a une suite Un, de raison R, eh bien la variation de cette suite va dépendre du signe de la raison. Si R est positif, Un est croissante. On comprend bien pourquoi.

Si R est positif, ça veut dire que je vais rajouter, je vais faire plus R entre un terme et le suivant. Je vais faire plus R, plus R, plus R. Comme avant, on avait plus 5, plus 5, plus 5. On avait donc bien forcément une suite croissante.

On est à chaque fois en train d'augmenter. Si R est négatif, qu'est-ce qui se passe ? Eh bien, je rajoute un nombre négatif.

Autrement dit, je soustrais. Eh bien... Du coup, on a une suite Un qui est décroissante.

Voici un exemple. La suite Un définie par Un égale 5 moins 4n. Pourquoi elle est décroissante ? Tout simplement parce que sa raison est négative et elle est égale à moins 4. J'ai là une suite Un qui est exprimée sous la forme U0 plus n fois r, avec ce U0 qui vaut 5 et ce r qui vaut moins 4, moins 4 négatif.

Passons à la représentation graphique d'une suite arithmétique. Eh bien, ça va être également assez rapide et assez facile à comprendre. On a représenté ici une suite arithmétique de raisons moins 0,5 et de premier terme 4. Alors, le premier terme, on le trouve, on le voit sur l'axe des ordonnées, donc au point d'ordonnée 4. Et ensuite, qu'est-ce qu'on va faire ?

On va à chaque fois enlever 0,5, on va faire moins 0,5. C'est-à-dire qu'on va à chaque fois rajouter... la raison.

Ce qui fait que on passe au rang 1 à 3,5, donc on a le point de coordonnée 1, 3,5. Puis quand on est à 3,5, on enlève encore 0,5, on arrive à 3, puis à 2,5, etc. Et donc là, on voit ce nuage de points.

Et la particularité des suites arithmétiques, c'est d'être représenté par un nuage de points qui sont tous alignés. C'est ce qu'on retiendra pour une suite arithmétique, et c'est de cette façon-là qu'on les reconnaît graphiquement. On peut maintenant passer aux suites géométriques.

Alors, on va considérer une suite UN, où le rapport entre un terme et son précédent reste constant et toujours égal à 2. Alors, on voit finalement que l'introduction ressemble un peu à celle qu'on a vue juste à l'instant pour les suites arithmétiques, seulement au lieu de parler de différence, là on parle de rapport de quotient. Alors, on va voir tout de suite ce que cela signifie au niveau, en voyant un exemple. Et on va partir d'une suite dont le premier terme U0 est égal à 5. Alors voilà, j'ai donc écrit U0 égal à 5, le premier terme.

Et ensuite, je voudrais que le rapport entre U1 et U0 soit égal à 2. Je voudrais donc en fait que U1 sur U0, ça fasse 2. C'est-à-dire, je voudrais que quelque chose sur 5 soit égal à 2. Qu'est-ce qu'on va mettre évidemment pour U1 ? On va mettre 10 dix-cinquièmes, ça fait bien 2. Donc je mets 10 ici. Je poursuis avec U2. Je voudrais maintenant que le rapport entre U2 et U1 fasse 2. Donc U2 sur 10 fasse 2. On va doubler, on va mettre 20. Puis U3 sur 20 doit faire 2. Donc on va doubler et on va mettre 40. Finalement, qu'est-ce qu'on constate pour cette suite ? On constate que successivement, on a à chaque fois multiplié par 2. Dit simplement, une suite géométrique, c'est une suite où pour passer d'un terme au suivant, on multiplie à chaque fois par le même nombre.

Et bien si à chaque fois on multiplie par 2, cela signifie que de façon générale, on pourrait écrire sous sa forme de récurrence notre suite, soit un plus 1 est égal à 2, le facteur 2, multiplié par un. Et bien on a là une suite définie par récurrence et qui est... Une suite géométrique.

On dira qu'une telle suite est une suite géométrique de raison, bien évidemment, 2, et de premier terme, u0 égale à 5. Et de façon générale, une suite un est une suite géométrique s'il existe un nombre q, tel que, pour n'importe quel entier n, un plus 1 est égal à q fois unq. Eh bien, c'est cette raison, c'est la raison de la suite. On note habituellement r pour une suite arithmétique et q pour une suite.

géométriques. Et les suites géométriques également, on aimerait bien pouvoir les exprimer directement sous leur forme explicite, en fonction de n. On va faire comme tout à l'heure, on va regarder à chaque fois quel est le rapport au premier terme pour chacun des termes successifs. On va commencer par u1 et on voit que pour passer de u0 à u1, on a multiplié par 2. Pour U2, pour passer de U0 à U2, qu'est-ce qu'on a fait ? On a fait 2 fois 2. Pour passer de U0 à U3, qu'est-ce qu'on a fait ?

On a fait 2 fois 2 fois 2. Alors, on pourrait peut-être commencer par le noter avec des puissances. Donc, tout à l'heure, 2 fois 2, ça nous donne 2 au carré. 2 fois 2 fois 2, ça nous donne 2 au cube. Si je voulais U4, qu'est-ce qui se passerait ?

Je ferais 2 fois 2 fois 2 fois 2, c'est-à-dire je ferais fois 2 puissance 4. Et de façon générale, pour un, c'est-à-dire pour n'importe quel terme un, je prendrai le premier terme, mon u0 qui est ici, et je ferai 2 fois 2 fois 2 fois 2, etc. Donc n fois, autrement dit, je multiplierai par 2 puissance n. Eh bien, pour notre suite, u0 vaut 5, donc je peux remplacer ici par 5. On a là une expression explicite de un, un est égal à 5. multiplié par 2 puissance n.

Et de cette façon-là, on peut calculer notre Un pour n'importe quelle valeur de n. Du coup, de façon générale, ça nous donne quoi ? Dès qu'on a une suite géométrique de raison Q et de premier terme U0, qu'est-ce qu'on fait ?

On prend U0, le premier terme, et on va le multiplier autant de fois que nécessaire par 2. Si on est au rang n, on va le multiplier n fois par 2. Si la raison de façon générale s'appelle Q, on va multiplier n fois par q. C'est pour ça que la formule c'est un égale u0 fois q puissance n. Grâce à cette formule qu'on peut appliquer directement comme pour les suites arithmétiques, on a là une expression de un en fonction de n pour une suite géométrique. Alors on va s'attaquer maintenant à la variation des suites géométriques.

On va voir tout de suite quelques exemples, ça sera plus simple à comprendre parce que lorsqu'on s'attaque directement à la propriété, en fait il y a plein de cas. Donc du coup, ça paraît compliqué, alors que ça ne l'est pas une fois qu'on a compris le principe. On va voir déjà un premier exemple avec une suite Un, qui est définie par Un égale 2 puissance n. On a donc là une suite géométrique de raison Q égale à 2. Alors, que se passe-t-il au niveau de la variation de cette suite ?

On va faire le calcul sur les premiers termes. Donc pour U0, ça donne 1, c'est 2 puissance 0. Pour U1, ça donne 2. 2 puissance 1, ça fait 2. Pour U2, ça fait 2 au carré, donc 4. Ensuite, on aura 8, 2 au cube. Puis 2 puissance 4, 16. En fait, on a compris qu'à chaque fois, on prend le double. 32, etc. Donc si à chaque fois, on prend le double, on est bien évidemment ici en présence d'une suite qui est croissante.

Alors sans la traiter, on comprend bien que cette suite serait également croissante. 3 puissance n. Puisque ça nous ferait du 3 fois 3 fois 3. À chaque fois, on multiplierait par 3. Donc ça ne ferait que grandir.

Donc si je prenais du 7 puissance n, ça serait encore plus rapidement croissant. Donc on a l'impression comme ça que toutes les suites sont croissantes. Je vais en prendre une qui est un peu plus proche de 1. Alors on va tout de suite comprendre que 1 joue une barrière.

C'est 1,1 puissance n. Est-ce que cette suite est quand même croissante ? C'est peut-être un peu moins évident.

Donc on va faire comme avant, on va calculer les premiers termes. Lorsque n égale à 0, ça fait 1. Lorsque n égale 1, ça fait 1,1 puissance 1, donc 1,1. Lorsque n égale 2, ça fait 1,1 au carré, donc 1,1.

Donc 1,21. 1 au cube, ça ferait 1,331. Etc. En tout cas, on voit bien que ça ne fait que grandir. Ça ne grandit pas très vite.

Mais en tout cas, c'est effectivement croissant. Donc du 1,1, c'est croissant. C'est normal parce qu'à chaque fois, je ne multiplie pas 1, quelque chose. Donc ça grandit un peu. Donc finalement, du 1, quelque chose, reste quand même une raison qui va nous renvoyer une suite croissante.

Où est la limite ? Eh bien, la limite, on l'a compris, c'est 1 tout court. Si je prends une suite de raison 1, c'est-à-dire un égale 1 puissance n, eh bien, ça va nous donner quoi ? Ça va nous donner 1 pour le premier terme, 1 puissance 1 pour le deuxième, donc 1, 1 au carré pour le troisième, donc 1, 1 au cube, puis 1 puissance 4, etc.

Et donc là, on voit qu'on a une suite qui est constante. Donc, effectivement, lorsque la raison est strictement... plus grande que 1, on a une suite géométrique qui est croissante. Lorsque la raison est égale à 1, on a une suite géométrique qui est constante. Est-ce que si la raison est inférieure à 1, on aurait une suite décroissante ?

On va juste faire un petit essai avec Un égale 0,5 puissance n. Là, on a une suite géométrique de raison 0,5. Ça nous donne U0, 0,5 puissance 0, ça fait 1. U1. 0,5 puissance 1, ça fait 0,5.

U2, 0,5 au carré, ça fait 0,25. U3, 0,5 au cube, ça fait 0,125, etc. On comprend qu'on multiplie à chaque coup par 0,5, c'est-à-dire qu'à chaque fois on prend la moitié, donc forcément c'est une suite décroissante.

Et on comprend bien que dès qu'on va prendre du 0, quelque chose, on l'appuie en entier, donc on descend un petit peu, donc on est en train de décroître. Donc ça signifie... que lorsque la raison est comprise entre 0 et 1, je rappelle qu'on s'attaque simplement aux suites géométriques de raison strictement positive, donc lorsque la raison est comprise entre 0 et 1, strictement, on a une suite décroissante. On peut déjà le résumer, ceci, dans la première partie de la propriété, où on a un premier terme qui est positif. J'ai expliqué la subtilité.

En tous les cas, il est écrit, si Q est strictement plus grand que 1, la suite est croissante. Si Q est compris entre 0 et 1, la suite UN est décroissante. Alors, quelle est la différence avec un premier terme positif ou un premier terme négatif ? Pour l'instant, j'ai fait le cas du premier terme positif.

Ben oui, parce que le premier terme positif, ça ne va pas changer grand-chose. Qu'est-ce qui se passe ici ? Je rajoute simplement un premier terme.

Je ne sais pas, peu importe. 5. Voilà notre premier terme. Donc, j'ai une suite UN géométrique.

qui est défini par u0 fois q puissance n. C'est donc sa forme explicite, avec ici donc un u0 positif. Bon, ça c'est décroissant. Je vais faire quoi ?

Je vais à chaque fois multiplier par 5 chaque terme. Eh bien, ça ne va rien changer. Ça va juste me donner à chaque fois le quintuple du terme que j'avais sans le premier terme. Mais ça va quand même continuer à décroître.

Ce n'est pas en multipliant par 5 que ça va changer la croissance de ma suite. Donc finalement, tant que U0 est positif, ça ne changera rien à la variation de ma suite. Mais si jamais j'avais un négatif, que se passerait-il ?

Eh bien, tout va s'inverser, parce qu'en multipliant par un nombre négatif, on inverse l'ordre. On va juste le constater sur les premiers termes. Je rappelle que tout à l'heure, on avait ceci qui était décroissant, et maintenant, on voudrait donc prouver que finalement... L'ensemble sera croissant puisqu'on a inversé l'ordre.

Donc, ça nous donne quoi ? Pour U0, ça fait donc moins 5 multiplié par 0,5 puissance 0. 0,5 puissance 0, ça fait 1, donc moins 5. U1 est donc égal à moins 5 multiplié par 0,5. 0,5 puissance 1, c'est-à-dire moins 2,5. U2. Ça nous fait moins 5 multiplié par 0,5 au carré.

0,5 au carré, ça fait 0,25. Une fois 5, ça va nous faire donc du 1,25 avec le moins, avec le moins. Mais qu'est-ce qu'on constate là ? On peut déjà s'arrêter.

On passe de moins 5 à moins 2,5. On grandit. On va à moins 1,25.

On grandit. On comprend bien qu'après, on continuerait à grandir. C'est-à-dire qu'on est en fait en train de croître. On a là donc une suite croissante.

Alors concrètement, comment on va faire pour déterminer la variation d'une suite géométrique ? Eh bien, on va commencer par regarder ici l'expression sans le premier terme. Et on va se baser sur la propriété qui nous dit que si la raison est comprise entre 0 et 1, exclue, elle est décroissante.

Si la raison est plus grande que 1, elle est croissante. Et ensuite, on regarde le premier terme. Si le premier terme est positif, eh bien ça ne change pas, on garde la même chose. Si le premier terme est négatif, eh bien tout s'inverse. C'est pour ça que notre propriété nous dit que pour u0 négatif, si q est plus grand que 1, alors la suite un était croissante, alors que dans le cas précédent, on voit que la suite un était croissante.

Et pareil, si q est compris entre 0 et 1, lorsque u0 est négatif, la suite un est croissante, alors que dans le cas précédent, elle était décroissante. Donc j'ai envie de dire, ce qu'il faut bien retenir, c'est le fait que lorsque q est plus grand que 1, c'est croissant, On comprend bien pourquoi, parce qu'on fait quelque chose du type 2 x 2 x 2 x 2 qui ne fait que grandir. Et si Q est compris entre 0 et 1, la suite UN est décroissante. On comprend également pourquoi, parce qu'on est en train de faire du 0, quelque chose, 0, quelque chose, donc on ne fait que décroître. Et juste pour terminer rapidement avec le point que j'avais soulevé, mais qui n'est pas au programme, si jamais la raison si Q est négatif, que se passe-t-il ?

Eh bien, en fait, on est en présence d'une suite géométrique qui n'est pas monotone. Il n'y a pas de variation. Elle n'est ni croissante, ni décroissante. Alors...

c'est tout simplement dû à la règle des signes. C'est qu'une fois pour un calcul, on va tomber sur un positif et pour le terme suivant sur un négatif. Puis le terme encore suivant sur un positif, etc. Ça va s'alterner entre des positifs et des négatifs. Tu peux faire l'essai, tu prends un Q négatif, tu verras en calculant les termes successifs, à chaque fois, tu auras quelque chose qui va s'alterner positif, négatif.

On peut passer à la somme des termes consécutifs d'une suite. Alors, la fin va aller assez vite en réalité, tout simplement parce que... C'est plus une notion où il faut faire des exercices. Donc je vais te présenter les deux formules. On va aller voir sur un exemple, enfin on va en voir une sur un exemple, cela suffira.

Et après, il faudra évidemment faire des exercices. Alors moi, je ne propose que deux formules. L'une pour les suites arithmétiques et l'une pour les suites géométriques.

Tout simplement parce que pour la somme des termes successifs de ce type de suite, il existe plusieurs formules. Mais en réalité, on peut toujours se raccrocher à ces deux formules. Donc ça, je l'explique dans les vidéos correspondantes.

Je trouve que, moyen de formule à retenir, mieux on se porte. C'est après la technique qui fait la différence. Donc, pour la formule sur les suites arithmétiques, celle qu'il faut connaître, c'est la formule qui donne, tout simplement, la somme des entiers successifs.

Ça correspond à quoi ? À une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1, puisqu'on avance de 1 en 1. On le voit, 1 plus 2 plus 3 plus 4, donc à chaque fois on rajoute 1. Donc on fait 1 plus 2 plus 3 plus 4, ceci jusqu'à n, et ça nous donne n facteur de n plus 1 sur 2. Donc on passe d'une somme infinie, qu'on ne peut pas écrire, il y a des petits points, à quelque chose qu'on peut écrire. Donc c'est excessivement intéressant. Si par exemple je veux faire la somme de 1 plus 2 plus 3 plus 4, ça nous donne quoi ?

Du coup ça nous fait un n qui est égal à 4 par rapport à ma formule. Donc je vais faire n fois n plus 1. Donc 4 fois n plus 1, si n vaut 4, n plus 1 vaut 5, divisé par 2. 4 fois 5, 20, divisé par 2, 10. Voilà donc sur un exemple très simple pour une suite arithmétique. Pour une suite géométrique. Donc là, on va partir d'une suite géométrique de premier terme 1, on le voit, donc le premier terme c'est 1, et de raison q.

Ça nous donne quoi ? 1 plus q, plus q², plus q³, etc. Q puissance n est égale à 1 moins Q puissance n plus 1 sur 1 moins Q. Alors là également, un petit exemple aussi très simple. Si je veux faire 1 plus 2 plus 2 au carré plus 2 au cube, donc là j'ai une suite géométrique de raison 2, et bien ça va me donner 1 moins Q puissance n plus 1. Donc ici, on a Q qui est égale à 2 et n qui est égale à 3. Donc ça nous fait 2, 2 puissance n plus 1, n vaut 3, donc n plus 1 vaut 4. 1, donc ça fait 1 moins 2 puissance 4 sur 1 moins q, donc sur 1 moins 2. Alors 2 puissance 4, ça fait 16. Du coup, 1 moins 16, ça fait moins 15 sur 1 moins 2, moins 1. Les moins s'en vont, il reste 15 unième ou 15 tout court.

Voilà donc deux exemples très simples. Tu en trouveras des plus compliqués, comme je l'ai dit, avec des suites arypétiques et des suites géométriques différentes. Mais je le répète, il est toujours possible de se raccrocher à ces deux formules.

Cette séquence est terminée.

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