क्वाड्रेटिक समीकरण का परिचय

Overview

यह लेक्चर क्वाड्रेटिक इक्वेशन के महत्वपूर्ण कांसेप्ट्स, ग्राफ, न्यूटन फॉर्मूला, आम रूट, रेंज, लोकेशन ऑफ रूट्स तथा इन पर आधारित प्रश्नों की शॉर्टकट ट्रिक्स पर केंद्रित था।

क्वाड्रेटिक इक्वेशन का परिचय

• क्वाड्रेटिक इक्वेशन का सामान्य रूप ax² + bx + c = 0 होता है, जहाँ a ≠ 0।
• इसके अधिकतम दो रूट (समाधान) होते हैं, जो वास्तविक (रियल) या अवास्तविक (नॉन-रियल) हो सकते हैं।
• यदि a = 0, तो समीकरण रैखिक (linear) बन जाता है।
• यदि a, b, c सभी शून्य हों, तो यह पहचान (identity) बनती है और अनंत हल होते हैं।

मूलभूत थ्योरी और फॉर्मूले

• क्वाड्रेटिक के रूट्स: x = (-b ± √(b²–4ac)) / 2a
• डिस्क्रिमिनेंट D = b²–4ac से रूट्स की प्रकृति तय होती है:
  • D > 0: दो भिन्न वास्तविक रूट्स
  • D = 0: दो समान वास्तविक रूट्स
  • D < 0: दो अवास्तविक/परिसर रूट्स (conjugate)
• रूट्स और कोएफिशिएंट का संबंध:
  • Sum of roots (α+β) = -b/a, Product (αβ) = c/a

ग्राफ एवं उसकी विशेषताएँ

• ax² + bx + c का ग्राफ पैराबोला होता है।
• a > 0: मुँह ऊपर (concave up), a < 0: मुँह नीचे (concave down)।
• वर्टेक्स के कोऑर्डिनेट्स: (-b/2a, -D/4a)
• ग्राफ एक्स-अक्ष को दो, एक, या शून्य जगह काट सकता है (D के अनुसार)।
• ग्राफ x=0 (y-अक्ष) को बिन्दु (0, c) पर काटता है।

न्यूटन फॉर्मूला

• यदि Sₙ = αⁿ + βⁿ, तो Sₙ+2 + bSₙ+1/a + cSₙ/a = 0 लागू होता है।
• यह फार्मूला पैटर्न वाले पावर प्रश्नों के लिए महत्वपूर्ण है।

आम रूट की शर्त

• दो क्वाड्रेटिक के दोनों रूट्स समान हों: संबंधित अनुपात a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
• यदि एक ही रूट आम है, तो दो समीकरणों से x² एलिमिनेट कर के आम रूट निकालें और उसे किसी एक समीकरण में रखकर पैरामीटर प्राप्त करें।

लोकेशन ऑफ रूट्स व इनिक्वालिटी

• दोनों रूट्स यदि किसी संख्या से बड़ी/छोटी हों तो ग्राफिकली/शर्तों के हिसाब से कंडीशन (D ≥ 0, वर्टेक्स, f(k)) लगानी होती है।
• यदि रूट्स विपरीत चिन्ह के हैं: Product of roots < 0

रेंज व क्वाड्रेटिक/रैशनल फंक्शन

• क्वाड्रेटिक/रैशनल एक्सप्रेशन की रेंज निकालने के लिए क्रॉस-मल्टीप्ली और D ≥ 0 की शर्त लगाएँ।
• ग्राफिकली भी रेंज व मिन/मैक्स पॉइंट्स निकाले जा सकते हैं।

Key Terms & Definitions

• क्वाड्रेटिक इक्वेशन: डिग्री-2 का बहुपद समीकरण, ax² + bx + c = 0
• डिस्क्रिमिनेंट (D): b²–4ac, रूट्स की प्रकृति तय करता है।
• वर्टेक्स: पैराबोला का शिखर, (-b/2a, -D/4a)
• न्यूटन फॉर्मूला: उच्च घात के रूट का पैटर्न निकालने का सूत्र।
• आम रूट: दो समीकरणों में कम-से-कम एक साझा रूट।

Action Items / Next Steps

• क्वाड्रेटिक से संबंधित सभी फॉर्मूले एवं ग्राफिक सिद्धांत दोहराएँ।
• न्यूटन फॉर्मूला और आम रूट वाले प्रश्न प्रैक्टिस करें।
• होमवर्क: रेंज, ग्राफ, लोकेशन ऑफ रूट्स व इनिक्वालिटी आधारित प्रश्न हल करें।
• पुराने सालों के (JEE/Boards) क्वेश्चन पेपर सॉल्व करें।