Hallo ihr Lieben, heute möchte ich euch zeigen, wie man diese Gleichung über den reellen Zahlen lösen kann. Wenn wir uns unsere Gleichung erstmal anschauen, dann sehen wir, dass hier Teile mit x² vorkommen. Das heißt, es handelt sich hier um eine quadratische Gleichung. Und da gibt es ja verschiedene Wege, wie man die lösen kann. Ich würde sagen, wir vereinfachen jetzt erstmal das, was wir machen können.
Zum Beispiel hier die Klammer auflösen und dann fassen wir mal alle Teile mit x² zusammen und alle Teile mit x². mit x und dann gucken wir mal, wie unsere Gleichung aussieht. Also, wie sieht es aus?
Auf der linken Seite, da können wir gar nichts machen. Da sieht es gut aus, da ist ein Teil mit x, hinzu kommt ein Teil mit x hoch 2. Die können wir nicht zusammenfassen, müssen wir so stehen lassen. Auf der rechten Seite haben wir eine Zahl, die lassen wir auch mal so stehen. Und dann kommt unsere Klammer, die lösen wir jetzt mal auf. Minus ein Halb mal die Klammer.
Wenn da kein Zeichen zu sehen ist, steht da gedanklich ein Malzeichen. Das heißt, der erste Teil muss mit minus ein Halb multipliziert werden. und auch der zweite Teil. Was haben wir dann? Minus 1 halb mal 4x hoch 2. Also Minus wird das Ganze auf jeden Fall schon mal werden.
1 halb mal 4 müssen wir ausrechnen. Was gibt es? Können wir da in der Nebenrechnung machen.
4 kann man als 4-Eintel schreiben und dann haben wir 1 mal 4 sind 4 und 2 mal 1 sind 2. 4 durch 2 sind 2. Das x² noch hinten dran. Oder ihr kürzt das Ganze ab. 1 halb mal 4, also die Hälfte von 4. ist eben 2. Das nutzen wir jetzt beim zweiten, denn da haben wir minus 1 halb mal minus 6x. Also minus mal minus wird zu plus und 1 halb mal 6, die Hälfte von 6, sind eben 3 und das x hintendran nicht vergessen. Gut, jetzt haben wir alles soweit aufgelöst.
Jetzt können wir mal alle Teile mit x hoch 2 zusammenfassen. Da haben wir einmal hier eins und einmal das hier. Also bringen wir den Teil mal auf die linke Seite, indem wir plus 2x hoch 2 rechnen. Die 3x bleiben dann erstmal stehen. Zu den einen x² kommen eben 2x² dazu, also haben wir 3 von diesen x² auf der linken Seite.
Und rechts steht dann nur noch der Rest, außer das grüne, das haben wir ja nach links gebracht. Okay, x² kommt jetzt nur noch an einer Stelle vor. Dann fassen wir mal alle Teile mit x zusammen.
Da haben wir hier auf der linken Seite x, hier haben wir x, also bringen wir die rüber, indem wir minus 3x. rechnen und da fällt euch vielleicht schon auf, 3x minus 3x, die heben sich weg, die verschwinden. Waren ja auf beiden Seiten, können wir wegstreichen, dann steht links nur noch der Teil mit x hoch 2 und rechts nur noch eine Zahl.
Okay, das ist jetzt eine sehr einfache quadratische Gleichung geworden, das hat man am Anfang jetzt nicht gesehen, aber da ist ja wirklich nur noch x hoch 2 drin, da ist kein Teil mit x mehr drin. Das bedeutet für uns, Wir brauchen hier jetzt nicht unbedingt die pq-Formel oder die abc-Formel, um diese quadratische Gleichung zu lösen, sondern wir können die einfach nach x umstellen. Also durch 3 teilen im ersten Schritt, damit das x² alleine steht. 54 durch 3, entweder mit dem Taschenrechner oder, das kriegen wir auch im Kopf hin, das können wir aufteilen in 30 und 24. 30 durch 3 sind 10, 24 durch 3 sind 8, also 18. haben wir auf der rechten Seite stehen.
Und dann, damit das x wirklich alleine steht, muss das Quadrat noch weg. Also ziehen wir auf beiden Seiten die Wurzel. Und da müssen wir immer aufpassen, wenn wir das machen.
Das lässt das Quadrat verschwinden auf der linken Seite. Aber auf der rechten Seite beim Wurzelziehen, dann müssen wir die positive und die negative Wurzel beachten. Also wenn ihr Wurzel zieht, dann schön plus minus vorne dran schreiben und Wurzel von 18 hinten dran.
Das Ganze halt immer nur, wenn ihr in der Gleichung. unterwegs seid. Und dann kriegen wir nämlich zwei Lösungen. Nämlich eine erste Lösung ist Plus die Wurzel von 18. Also einfach Wurzel von 18. Das Plus müsst ihr nicht vorne dran schreiben. Und als zweite Lösung, x2, erhalten wir die negative Wurzel.
Also Minus Wurzel von 18. Und es kann sein, dass ihr die Ergebnisse so stehen lassen könnt. Aber falls ihr mit eurem Taschenrechner unterwegs sein solltet und testen wollt, was Wurzel von 18 denn ist, dann kann es sein, dass ihr euch folgendes sehen. ausgibt, nämlich 3 mal Wurzel 2. Das ist aber genau dasselbe, ist nur eine andere Schreibweise. Aber lasst uns mal ganz kurz noch schauen, wie man da drauf kommt. Das funktioniert nämlich, indem man teilweise die Wurzel zieht.
Denn in der 18 steckt eine Quadratzahl drin. Die 18 können wir schreiben als 9 mal 2. Und die 9 ist eine Quadratzahl, die können wir aus der Wurzel rausziehen. Oder wenn ihr es noch kleinschrittiger machen wollt, können wir dieses... Produkt hier.
Bei mal darf man die Wurzeln auseinanderschreiben. Also Wurzel von 9 schreiben mal Wurzel von 2. Und Wurzel von 9, das wissen wir, ist doch 3. Und hinten dran kommt eben der Rest, die Wurzel von 2. Und dasselbe funktioniert hier mit dem Minus vorne dran. Also das ist dasselbe wie Minus 3 mal Wurzel 2. Und damit haben wir unsere beiden Lösungen von unserer Gleichung gefunden. Dann hoffe ich, dass es euch geholfen hat.
Falls ihr Fragen habt, schreibt sie gerne in die Kommentare. Ansonsten euch noch einen wunderschönen Tag und bis zum nächsten Video. Macht's gut!