Appunti sulla Traslazione nel Piano Cartesiano

Introduzione alla Traslazione

• Le traslazioni sono tra le trasformazioni più semplici del piano.
• Si applicano a punti e curve, seguendo procedure diverse.

Definizione di Traslazione

• Per definire la posizione di un punto A primo rispetto a A:
  • Movimento di 5 unità a destra (positivo) e 2 unità verso il basso (negativo).
  • Vettore di traslazione: v = (5, -2).
• A primo è l'immagine di A tramite la traslazione.

Traslazione di un Triangolo

• Esempio: Triangolo ABC traslato del vettore v = (5, -2).
  • Traslare tutti i vertici del triangolo.
  • Triangoli A'B'C' e ABC sono congruenti:
    • La traslazione è un'isometria (stesse misure).
    • Lati paralleli tra le figure corrispondenti.

Congruenza e Parallelismo

• Se due figure sono congruenti e i lati sono paralleli, corrispondono in una traslazione.
• Se non sono paralleli o congruenti, non esiste una traslazione.

Esempi di Segmenti e Triangoli

1. Due segmenti A-B e A'-B' corrispondono in traslazione:
   • Vettore di traslazione: v = (-3, -2).
2. Due triangoli non corrispondono perché non sono paralleli.
3. Due figure congruenti con lati paralleli corrispondono in traslazione:
   • Vettore: v = (1, -1).

Traslazione di Punti

• Traslazione di un punto P:
  • Coordinate iniziali: (x, y).
  • Traslazione del vettore v = (a, b):
    • Nuove coordinate: (x', y') dove:
      • x' = x + a
      • y' = y + b.

Esempio di Traslazione

• Triangolo ABC traslato del vettore v = (-5, 2).
  • Nuove coordinate calcolate applicando la trasformazione ai vertici.

Traslazione di Curve

• Traslazione di una curva:
  • Differente dalla traslazione di punti.
  • Procedura:
    1. Applicare la trasformazione inversa alle variabili dell'equazione.
    2. Traslazione inversa:
       • x = x' - a
       • y = y' - b.
    3. Sostituzione nell'equazione originale e semplificazione.

Esempio di Traslazione di una Retta

• Retta: y = 3x.
  • Traslazione del vettore (2, -3).
  • Nuova equazione derivata tramite la trasformazione inversa.

Esempio di Traslazione di una Parabola

• Parabola: y = x² - 2x - 1 traslata del vettore v = (-1, 4).
  • Sostituzione nell'equazione originale per ottenere la nuova parabola.

Conclusione

• La traslazione è una trasformazione fondamentale in geometria.
• Importante differenziare tra traslazioni di punti e traslazioni di curve.
• La stessa procedura si applica ad altre trasformazioni geometriche (simmetrie, rotazioni, ecc.).
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