ciao bentornato in questo nuovo video parliamo di traslazioni che sono forse le più semplici e tra le trasformazioni del piano ma ha meno semplice capire come applicare le traslazioni appunti o a curve sul piano cartesiano soprattutto perché tra dei punti e delle curve di cui si conoscono all'equazione si devono seguire procedure diverse ma andiamo con ordine e vediamo che cos'è una traslazione prendiamo due punti il punto a il punto a primo e chiediamoci come definire la posizione di a primo rispetto a quella di allora semplicemente partendo da per arrivare da primo dobbiamo muoverci di cinque quadretti verso destra quindi scrivo più cinque i movimenti verso sinistra sarebbero stati negativi e due quadretti verso il basso quindi meno due e ottengo a primo per cui il vettore vi di componenti 5 meno 2 ci porta dal punto a al punto a primo tale vettore definisce proprio la traslazione la traslazione di componenti 5 meno due quindi in generale posso scrivere che il punto a primo si può ottenere traslando del vettore v5 meno due il punto possiamo anche dire che a primo e immagine di a perché la traslazione una funzione che è un punto del piano associa un altro punto del piano quindi a primo e immagine ora vediamo un esempio consideriamo il triangolo di vertici abc e trasliamo questo triangolo sempre del vettore vidi coordinate 5 di componenti 5 meno due allora sarà sufficiente traslare tutti i punti del triangolo quindi trasliamo il punto a al punto b dello stesso vettore quindi il punto c e questi punti di riferimento ci permettono di costruire il triangolo ma di fatto noi stiamo traslando tutti gli infiniti punti facciamo alcune osservazioni cioè che caratteristiche ha il triangolo a primo b primo c primo rispetto al triangolo di partenza allora anzitutto i due triangoli sono congruenti perché la traslazione una isometria isometria vuol dire stesse misure quindi le geometrie associano a una figura geometrica una figura geometrica congruente le risa metrie elementari sono quattro ci sono le traslazioni appunto poi le simmetrie centrali le simmetrie assiali e le rotazioni di queste altre isometria ne parlerò in altri video seconda osservazione la figura ottenuta a sempre i lati paralleli alla figura iniziale quindi il lato a primo b primo sarà parallelo al lato abi e così via a primo chip rimo sarà parallelo ad ac eccetera se non sussistono queste due caratteristiche cioè la congruenza il parallelismo allora vuol dire che le due figure non si corrispondono in una traslazione se invece capita si corrispondono e si può trovare facilmente il vettore che ne definisce vediamo qualche esempio abbiamo due segmenti a b ea primo b primo prova dire tu se si corrispondono in una traslazione in caso affermativo qual è il vettore che definisce la traslazione allora possiamo notare che i due segmenti sono congruenti perché entrambi hanno il tappeto diciamo 5 come differenza di ascisse e uno come differenza di ordinate e sono anche paralleli quindi si corrisponde in una traslazione tramite il vettore vi di coordinate meno tre meno due perché si scende di tre e ci si sposta di due a sinistra secondo esempio prova dire tu se questi due triangoli si corrisponde in una traslazione la risposta è negativa non si corrispondono in una traslazione perché sebbene siano congruenti il lato a b non è parallelo al lato a primo b primo e quindi non c'è nessun vettore che ci permette di andare dal triangolo azzurro al triangolo verde terzo esercizio stabilire se questi due se queste due figure si corrisponde in una traslazione la risposta è affermativa perché sono due figure congruenti e hanno i lati paralleli a due a due il vettore che definisce una traslazione del vettore uno meno uno bene come avete abbastanza semplice in generale abbiamo una definizione formale si chiama traslazione di vettore vi una trasformazione che associa ogni punto p del piano il punto p primo tale che il segmento orientato pp primo siamo rappresentante del vettore di bene ora vediamo come applicare le trasformazioni a figure sul piano cartesiano dobbiamo distinguere tra figure delle quali conosciamo le coordinate dei suoi punti oppure curve delle quali conosciamo le equazioni che definiscono la curva quindi traslare note le coordinate e traslare nota l'equazione per fare queste due operazioni bisogna seguire una procedura diversa importante non fare confusione se non si cade in errore sicuramente il caso più semplice quello di traslare un punto note le sue coordinate vediamo un esempio abbiamo il punto pd coordinate 12 e vogliamo traslarlo del vettore di 43 allora basta incrementare di quattro la scissa e di tre l'ordinata quindi il punto più primo avrà coordinate 55 cioè 1 più 4 e 2 peuterey quindi generalizziamo se abbiamo un punto p di coordinate xy vogliamo traslarlo di un vettore vi di componenti a e b il nuovo punto p primo avrà coordinate hicks primo uguale hicks più a e y primo uguale y più b facciamo un esempio consideriamo il triangolo abc queen grosso e traslano del vettore di meno 52 devi trovare devi disegnare il nuovo triangolo e trovare le coordinate dei suoi vertici è abbastanza semplice se vuoi provare a farlo allora si scrivono prima le equazioni della trasformazione che sono hicks primo uguale hicks meno 5 perché meno 5 è la prima componente del vettore e y prima uguale y più due quindi si applicano tali equazioni ai vari punti a meno 1 2 diventa a meno 6 4 basta fare a meno uno meno 5 2 più 2 si fa la stessa cosa con gli altri punti quindi il punto b va in b primo che ha coordinate meno 3 meno 1.5 in meno 13 e si ottengono i nuovi vertici poi li unisce e poi notare che la nuova figura è congruente a quella iniziale con i lati paralleli se ciò non capita ricontrollo i calcoli perché potrebbe esserci un errore ora vediamo come traslare un'equazione una curva di cui si conosce l'equazione beh allora riassumiamo velocemente il metodo per i punti si applicano le trasformazioni esprima uguali hicks più a e y primo uguale y più b dove a e b sono le componenti del vettore il discorso cambia quando si deve traslarle una curva nota la sua equazione e proviamo a seguire il ragionamento da fare non è un ragionamento semplicissimo poi alla fine vediamo una regola pratica allora consideriamo una retta come esempio ad esempio la retta y uguale 3x y uguale 3x stabilisce la relazione che ci deve essere tra la xe la ypsilon questa relazione ci dice che l'ordinata y e il triplo dell'hascisc perché la ypsilon vale 3 volte hicks questo vuol dire che se prendo dei punti a caso sulla retta ad esempio questi per questi punti la l'ordinata sarà sempre il triplo dell'hascisc aa coordinate 39 e 9 appunto il triplo di tre la stessa cosa per b e perci ora trasliamo questa retta di un certo vettore ad esempio il vettore due meno 3 trasliamo tutti gli infiniti punti della retta e si ottiene nuova retta rossa vogliamo scoprire l'equazione di questa nuova retta rossa allora per questa retta chiaramente l'ordinata non sarà più il triplo della scissa ad esempio il punto a primo a componenti a coordinate 5 e 6 e 6 non è il triplo di cinque per far sì che l'ordinata sia il triplo della scissa dobbiamo tornare indietro quindi io ho il punto a primo affinché di nuovo l'ordinata se il triplo della città devono tornare indietro al punto ha quindi applicare la trasformazione inversa allora devo applicare il vettore che ha componenti opposte rispetto a quelle iniziali quindi devo tornare indietro di due e salire di 3 per cui dette exprimo y primo le coordinate del generico punto della retta traslata la retta rossa se io torno indietro ottengo un nuovo punto che avrà coordinate hicks primo meno due e y primo peuterey e adesso capiterà di nuovo che l'ordinata del triplo della sissa quindi posso scrivere che y primo peuterey e il triplo quindi è 3 per exprimo meno due e tale relazione vale per tutti i punti della retta traslata e quindi questa relazione e proprio l'equazione della retta traslata questa è l'equazione della retta rossa per cui basta che semplifico i calcoli allora lo riscritta qua in basso svolgo il prodotto sonno e ottengo y primo uguale 3x primo meno 9 a questo punto tolgo gli apici e trovo l'equazione della retta traslata cioè y uguale 3x meno 9 non è un ragionamento banale da da seguire qui prevale a riascoltarlo con calma però la procedura pratica è abbastanza semplice la riassumiamo velocemente se devo traslare dei punti note le coordinate applico la trasformazione diretta quindi hicks prima uguale hicks più a y primo uguale y pb fin qua è tutto semplice se invece devo applicare la traslazione a una curva di cui conosco l'equazione per curva si intende anche una retta che è una curva con raggio di curvatura infinito in questo caso devo applicare la traslazione inversa e la devo applicare alle variabili dell'equazione traslazione diverse vuol dire che hicks uguale hicks primo meno a e y uguale y primo meno b queste formule le applico alle variabili dell'equazione poi elimino gli apici quindi scrivo hicks al posto di hicks primo e y al posto di y primo semplifico i calcoli e trovo l'equazione cercata vediamo un esempio consideriamo la parabola in blu che equazione y uguale hicks alla seconda meno 2x meno 1 e trasliamo la del vettore vi meno 14 troveremo una nuova parabola congruente a quella data e vogliamo l'equazione di questa nuova parabola allora anzitutto scriviamo le equazioni della trasformazione però la trasformazione inversa che mi chiamo conti al a meno uno quindi hicks è uguale exprimo più uno e y uguali y primo meno uno vedete che ho cambiato i segni delle compagnie componenti del vettore applico quest'equazione alle variabili della parabola iniziale che questa qui quindi y diventa y primo meno quattro e hicks diventa exprimo più uno che la sostituiscono due volte quindi exprimo più dalla seconda meno 2 per il primo più uno meno 1 ora eliminò gli apici svolgo i calcoli questo è il quadrato di un binomio e sommiamo nomi simili che ottengo y uguale hicks alla seconda più 2 che è proprio l'equazione della parabola traslata puoi vedere che questa equazione soddisfa i punti di questa parabola in verde che come si vede dalla figura ottenuta dalla traslazione del vettore di meno 14 la stessa procedura cioè di applicare la trasformazione inversa nelle equazioni la si applica a tutte le trasformazioni geometriche anche alle simmetrie alle traslata alle rotazioni alle omotetia eccetera e trattano questi argomenti in futuro sempre su questa playlist quindi ricordati di seguire il canale iscriviti se non l'hai ancora fatto ciao alla prossima