Kurvendiskussion einer ganz rationalen Funktion

Schritt 1: Definitionsmenge

• Bei ganz rationalen Funktionen dürfen alle reellen Zahlen eingesetzt werden
• Keine Definitionsprobleme (wie bei Wurzeln oder Brüchen)
• Definitionsmenge: Reelle Zahlen

Schritt 2: Nullstellen

• Nullstellen sind Schnittpunkte mit der x-Achse
• Funktion gleich 0 setzen und lösen
• Ausklammern: Erste Klammer gleich 0 oder zweite Klammer gleich 0
• Beispiele: pq-Formel wird angewendet
• Nullstellen: -2, 3, -5

Schritt 3: Schnittpunkte mit der y-Achse

• Für x = 0 in die Funktion einsetzen
• Schnittpunkt y-Achse: (0 | -30)

Schritt 4: Symmetrie

• Klammern ausmultiplizieren
• Anhand der Hochzahlen (Potenz) bestimmen
  • Nur ungerade Hochzahlen: Punktsymmetrie
  • Nur gerade Hochzahlen: Achsensymmetrie
  • Mischung: Keine Symmetrie
• Ergebnis: Keine Symmetrie

Schritt 5: Grenzverhalten (Verhalten im Unendlichen)

• Höchste Potenzterm betrachten (x³)
• x gegen Unendlich: Funktion geht gegen Unendlich
• x gegen Minusunendlich: Funktion geht gegen Minusunendlich
• Grenzwerte:
  • x → ∞: f(x) → ∞
  • x → -∞: f(x) → -∞

Schritt 6: Extrempunkte

• Erste und zweite Ableitung bilden
• Erste Ableitung gleich 0 setzen und nach x lösen
• pq-Formel anwenden
• Extremstellen: 1 und -11 / 3
• Zweite Ableitung an den Extremstellen testen:
  • Zweite Ableitung > 0: Tiefpunkt
  • Zweite Ableitung < 0: Hochpunkt
• y-Koordinaten durch Einsetzen in Ursprungsgleichung finden
• Tiefpunkt: (1 | -36)
• Hochpunkt: (-11 / 3 | 427/27 ≈ 14.8)

Schritt 7: Wendepunkte

• Zweite Ableitung gleich 0 setzen und nach x lösen
• Dritte Ableitung bilden und x einsetzen (ungleich 0 → Wendepunkt)
• Wendepunkt: (-4 / 3 | -1028/27 ≈ -10.6)

Schritt 8: Grafisches Darstellung

• Nullstellen, Schnittpunkte, Extrempunkte und Wendepunkt einzeichnen
• Verbindung der Punkte
• Visualisierung der Kurve

Schritt 9: Monotonie

• Bereiche bestimmen, in denen die Funktion steigt oder fällt
• Hoch- und Tiefpunkte sind Grenzwerte der Intervalle
• Intervalle:
  • Steigend: (-∞, -11 / 3) und (1, ∞)
  • Fallend: (-11 / 3, 1)

Schritt 10: Krümmungsintervalle

• Wendepunkt als Grenze nutzen
• Intervalle:
  • Rechtsgekrümmt: (-∞, -4 / 3)
  • Linksgekrümmt: (-4 / 3, ∞)

Schritt 11: Wertemenge

• Bereiche auf der y-Achse, die vom Graphen durchlaufen werden
• Bei Funktionen mit unendlich: alle reellen Zahlen abgedeckt
• Wertemenge: Reelle Zahlen
• Hinweis: Bei begrenzter Funktion (z.B. Parabel) Wertemenge entsprechend anpassen

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Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit! Bei Fragen stehe ich gerne zur Verfügung.