Hallo ihr Lieben, heute möchte ich eine vollständige Kurvendiskussion mit euch durchgehen anhand von dieser ganz rationalen Funktion hier. Das ist ein Polynom, auch wenn es hier in so zwei Klammern unterteilt ist. Und wir werden jetzt Schritt für Schritt alle diese elf Punkte abarbeiten, die zu einer vollständigen Kurvendiskussion dazugehören. Vielleicht gehören nicht alle Punkte bei euch dazu, aber... Bei dem einen oder anderen findet sich dann jeder Punkt irgendwo, deswegen habe ich einfach alles hier reingepackt und gehe mit euch alles durch. Also macht es euch gemütlich, es dauert ein bisschen. Erster Punkt, Definitionsmenge. Wenn wir uns die Definitionsmenge anschauen, dann sind wir bei ganz rationalen Funktionen sehr schnell fertig, denn man darf für x einfach alle Zahlen einsetzen, die es gibt und das sind eben die reellen Zahlen. Probleme würde das Ganze nur machen von der Definitionsmenge, wenn da Wurzeln drin wären oder Brüche, bei denen das x unten steht. Das ist bei Polynomen ja aber nicht der Fall. Deswegen ist wirklich, wenn ihr eine ganz rationale Funktion da stehen habt, immer die ganzen reellen Zahlen ist eure Definitionsmenge. Sehr gut, dann haben wir den ersten Punkt schon mal abgehakt. Wenn alle Punkte so schnell gehen, sind wir doch ein bisschen schnell durch. Null Stellen. Da geht es darum, um die Schnittpunkte mit der x-Achse. Um Nullstellen zu finden, schnappen wir uns unsere Funktion und setzen die gleich 0. Also das komplette Ding einmal abschreiben und gleich 0 setzen. Lasst die jetzt auf jeden Fall in den Klammern. Das ist extra schon für euch so vorbereitet, damit ihr nicht ewig darum rechnet. Denn wir haben eine Klammer multipliziert mit einer anderen Klammer. Dann dürfen wir das so aufsplitten und sagen, entweder die erste Klammer ist gleich 0 oder die zweite Klammer ist gleich 0. Und jetzt haben wir nämlich einzelne Gleichungen, die wir einzeln lösen können. Hier rechnen wir minus 2, dann ist unsere erste Nullstelle direkt schon mal bei minus 2. Und hier müssen wir halt pq-Formel anwenden. Okay, da können wir das schnell durchsausen. Minus 2 halbe sind minus 1 plus minus Wurzel aus. 2 halbe zum Quadrat, das sind 1 zum Quadrat, sind 1, minus minus 15 sind plus 15. Wenn wir das ausrechnen, hätten wir unter der Wurzel 16, also die Wurzel ziehen sind 4 und wir haben zwei weitere Nullstellen, nämlich minus 1 plus 4 sind 3 und minus 1 minus 4 sind minus 5. Und damit haben wir drei Nullstellen gefunden. Also Funktion einfach Null setzen. Und nach x auflösen. Dann. Dann kommt der dritte Punkt. Nicht nur die Schnittpunkte mit der x-Achse interessieren einen, sondern auch die Schnittpunkte mit der y-Achse. Und die sind aber leichter, denn da muss man für das x einfach 0 einsetzen und das Teil ausrechnen. Also 0 plus 2 sind 2, multipliziert mit 0 plus 0, minus 15, also mit minus 15 multiplizieren, dann kommt da minus 30 raus. Das ist unser Schnittpunkt mit der y-Achse. Okay, die Punkte bisher waren eigentlich ganz okay, würde ich sagen. Kommen wir zur Symmetrie. Und bei der Symmetrie ist es jetzt so, dass man das normalerweise, wenn das Polynom in seiner ausgeschriebenen Form ist, kann man die Symmetrie sehr einfach an den Hochzahlen erkennen. Aber so wie das momentan hier steht, ist es keine gute Form. Deswegen müssen wir jetzt die Klammern tatsächlich ausmultiplizieren. Jedes mit jedem, leider. x mal x² sind x³, x mal 2x sind 2x², x mal minus 15 sind minus 15x, dann das Ganze natürlich noch mit der 2 hier, 2 mal x² sind 2x², 2 mal 2x, 4x und der letzte Schritt sind minus 30. Dann können wir es aber sortieren, zuerst die Teile mit hoch 3, da gibt es nur eins, dann... 2x² plus 2x² sind 4x², minus 15x plus 4x sind minus 11x und die minus 30 noch hinten dran. Und jetzt können wir die Symmetrie nämlich sehr schön untersuchen. Wir müssen uns nämlich nur die Hochzahlen anschauen. Das ist eine ungerade Zahl, eine gerade Zahl. Hier hätten wir eine ungerade Zahl und hier bei der minus 30 steht eigentlich eine x hoch 0, das zählt als gerade Zahl. Wenn jetzt alle Hochzahlen, wirklich alle, ungerade wären, dann hätten wir eine Punktsymmetrie. Wenn alle Hochzahlen gerade wären, dann hätten wir eine Achsensymmetrie. Wenn aber so ein Mischmasch vorkommt, so wie hier, dass wir eine ungerade Zahl haben, eine gerade und so weiter und so fort, dann gibt es einfach keine Symmetrie. Also ihr schreibt hin, keine einfache Symmetrie oder keine Symmetrie. Das war es dann schon. Und wir lassen jetzt dann auch die Funktion so ausgeschrieben. wie sie da jetzt steht, denn das ist fürs Grenzverhalten und alles, was jetzt kommt, leichter. Also diese Klammer-Schreibweise war eigentlich nur für die Nullstellen so schön kompakt und einfach dann. Und für die Sachen danach nehmen wir jetzt die ausgeschriebene Schreibweise, die wir schon gefunden haben. Das Grenzverhalten, also das Verhalten im Unendlichen, der Limes. Da ist es bei Polynom schön einfach, denn wir müssen uns nur den Teil raussuchen, der... die größte Hochzahl hat. Alles andere interessiert uns beim Grenzverhalten nicht. Das wäre x hoch 3 und wir müssen uns jetzt x hoch 3 einfach nur bildlich vorstellen. Das ist ja eine ungerade Hochzahl und das sieht so aus, x hoch 3. Und da können wir jetzt die Grenzwerte ablesen. Wir müssen ja einmal den Grenzwert für x gegen unendlich von unserer Funktion berechnen. und dann auch noch den Grenzwert, wenn x gegen minusunendlich läuft. Auch da müssen wir den Grenzwert berechnen. x gegen unendlich bedeutet, mein x wird immer größer, also mein x geht nach rechts. Und dann schauen wir, was passiert rechts auf der Seite, was macht unsere Funktion? Die wird immer größer, die läuft gegen unendlich. Das ist der Grenzwert. Deswegen, wenn man sich das so visualisiert, sind die Grenzwerte eigentlich ganz angenehm. Und hier, wenn mein x immer kleiner wird, also x gegen minusunendlich läuft, nach links, dann wird meine Funktion immer kleiner und die läuft gegen minusunendlich. Dann können wir das hier einfach eintragen und fertig ist das. Das waren die Grenzwerte. Check. Und wir kommen schon zu den Extrempunkten, dem Herzstück der Kurvendiskussion. Dazu müssen wir die Funktion ableiten. Ableiten bedeutet, die Hochzahl kommt nach vorne, die 3, und die neue Hochzahl wird 1 kleiner, also zu einer 2. Hier werden die beiden Zahlen miteinander multipliziert, 4 mal 2 sind 8 und auch die Hochzahl wird 1 kleiner. Dann, wenn nur ein x dasteht, fällt das x weg und nur die minus 11 wird hingeschrieben, hinten das fällt beim Ableiten komplett weg, weil gar kein x drin ist. Wir brauchen auch noch die zweite Ableitung für die extremen Punkte, deswegen das Ganze nochmal, 3 mal 2 sind 6x und das x fällt weg, also bleibt nur die 8, die minus 11 fällt komplett weg. Um die Extrempunkte zu finden, nehmen wir unsere erste Ableitung und setzen die gleich 0. Das ist jetzt das, was auf der nächsten Seite schon auf uns wartet. Da steht es und hier nochmal die zweite Ableitung, die brauchen wir dann gleich auch noch. Aber erstmal hier. Das müssen wir jetzt nach x auflösen und wir müssen schon wieder die pq-Formel anwenden. Diesmal müssen wir aber noch durch 3 teilen, da die 3 hier noch vor dem x² steht. Dann steht da x² plus 8 durch 3. Leider wird es ein Bruch. 8 Drittel, nix. Und hier hinten sieht es auch nicht gut aus. 11 Drittel gleich 0. Okay, pq-Formel trotzdem alles einfach reinhauen. minus p halbe, also 8 Drittel durch 2 sind 8 Sechstel. Wenn ihr das kürzt, sind es 4 Drittel. Könnt ihr aber auch gerne mit dem Taschenrechner ausrechnen. Dann wird diese 4 Drittel quadriert, also zu 16 Neunteln und minus minus 11 Drittel, also plus 11 Drittel. Ganz normale pq-Formel, nur halt mit Brüchen. Wenn ihr das hier ausrechnet, kommt ihr unter der Wurzel auf 49 Neunte. Und wenn ihr dann da schön die Wurzeln zieht, geht das Gott sei Dank, sind das 7 Drittel. Und jetzt haben wir also zwei Stellen gefunden. Einmal minus 4 Drittel plus 7 Drittel. Das wären dann 1. Und das zweite wäre minus 4 Drittel, minus 7 Drittel, das sind minus 11 Drittel. Das sind unsere beiden Kandidaten für unsere Extrempunkte. Wir wissen jetzt noch nicht, ob das Hoch-oder Tiefpunkte sind oder vielleicht Sattelpunkte, die gibt es ja auch noch. Deswegen... Müssen wir die beiden jetzt mit der zweiten Ableitung testen, die hier schon auf uns wartet. Wir setzen da jetzt die 1 ein, also berechnen die zweite Ableitung von 1. 6 mal 1 plus 8 sind dann 14. Auf jeden Fall eine Zahl, die größer als 0 ist. Wenn es größer als 0 ist, wissen wir, dass das ein Tiefpunkt ist an der Stelle 1. Also bei x gleich 1 haben wir einen Tiefpunkt. Jetzt überprüfen wir noch die zweite Stelle, also auch da die minus 11 Drittel in die zweite Ableitung einsetzen und ausrechnen. Da kommt dann was Negatives raus, wenn ihr das macht. Das sagt uns, dass wir da einen Hochpunkt haben. Also an der Stelle haben wir einen Hochpunkt. Und jetzt haben wir es fast geschafft mit unseren extremen Stellen. Wir haben hier allerdings bisher nur die x-Werte von unserem Tiefpunkt und Hochpunkt. Gut, wir müssen noch die y-Werte ausrechnen, weil so ein Punkt besteht ja immer... aus einem x-Wert und einem y-Wert. Das hier war also unser Tiefpunkt, das hier unser Hochpunkt. Um den Tiefpunkt anzugeben, haben wir die x-Koordinate, wir brauchen aber noch die y-Koordinate. Dazu setzt ihr die 1 einfach für jedes x in der Ursprungsgleichung ein, in diesem f von x. Reinpacken, ausrechnen, dann müsstet ihr auf minus 36 kommen und für unseren Hochpunkt machen wir dasselbe, nur setzen wir dafür x eben minus 11 Drittel ein in die Ausgangsfunktion, rein in jedes x. ausrechnen und da kommt man auf einen wunderschönen Bruch von 427. Okay, nicht so schön. Da wir den Graph noch zeichnen müssen, würde ich euch raten, schreibt diese Brüche noch in Kommazahlen um. Dann hätten wir da minus 3,7. Das lässt sich einfach besser zeichnen als 11 Drittel. Und 14,8. Ihr würdet damit jetzt nicht wirklich weiterrechnen, aber zum Zeichnen habt ihr dann schon mal die Kommazahlen dafür. Wir haben die Extremstellen gefunden, das waren sie, das war der sechste Punkt und auch der umfangreichste normalerweise. Dann kommen wir zu den Wendepunkten. Da sieht die Welt schon mal noch mal ein bisschen einfacher aus, denn wir brauchen die zweite Ableitung dafür. Und die zweite Ableitung ist Gott sei Dank ganz schön. Wir schnappen uns die zweite Ableitung und setzen die gleich 0. Wenn wir das jetzt nach x auflösen, können wir minus 8 rechnen. 6x gleich minus 8. Dann müssen wir nur noch durch 6 teilen. Und dann steht da x gleich minus 8 Sechstel. Wenn man kürzt, sind das die minus 4. Drittel. So eine Zahl hatten wir heute schon mal. Da kann jetzt ein Wendepunkt sein. Das müssen wir aber noch mit der dritten Ableitung überprüfen, ob das wirklich so ist. Die dritte Ableitung haben wir aber noch gar nicht gemacht. Einmal noch ableiten ist aber Gott sei Dank ganz einfach. Da bleibt nur die 6 übrig. Zum Überprüfen müssen wir diese minus 4 Drittel aber noch in die dritte Ableitung einsetzen. Wenn ihr das macht, passiert da aber nichts, weil da ist gar kein x, deswegen kommt da immer noch 6 raus. Wichtig für uns ist nur, dass das ungleich 0 ist, was da rauskommt. Und dann wissen wir, dass das hier ein Wendepunkt ist, von dem wir bisher aber auch nur den x-Wert ausgerechnet haben. Deswegen... Um den Wendepunkt mit x-und y-Koordinate auszurechnen, gehen wir genauso vor wie eben auch. Wir setzen diesen x-Wert in die Ursprungsfunktion rein und rechnen das aus. Wenn ihr das macht, kommt ihr auch wieder auf einen wunderschönen Bruch von minus 286,27. Auch hier schreibt das in die Kommazahlen um. Minus 4 Drittel sind minus 1,3. Und der Bruch ist minus 10,6. Zum Zeichnen im Koordinatensystem absolut notwendig. Denn das waren die Wendepunkte oder der Wendepunkt. Wir kommen jetzt nämlich dazu, den Graphen zu zeichnen. Und da benutzen wir jetzt alles, was wir bisher gefunden haben. Als allererstes die Nullstellen. Die sind bei 3, bei minus 2 und minus 5. Also mal schön markieren. Und den Schnittpunkt mit der y-Achse haben wir ja auch berechnet bei minus 30. Okay, das sind die ersten Punkte. Dann gehen wir damit weiter und zeichnen unsere Tiefpunkt ein bei 1 und minus 36. Also 1, minus 36, irgendwie hier. So Tiefpunkt kann man schon mal so als Rundung markieren. Hochpunkt bei minus 3,7 und 14,8, also ungefähr hier, soll ein Hochpunkt sein, also auch schon so eine Rundung dran setzen. Und der Wendepunkt, ja, der interessiert uns eigentlich gar nicht so sehr, den müssen wir jetzt nicht so markieren. Jetzt wird nämlich einfach alles verbunden. Hochpunkt heißt, es muss hier runtergehen und hier durch. Genauso von hier muss es hier runtergehen. Dann suchen wir die nächsten Punkte. Da unten müssen wir hinkommen. Okay, da ist eine Rundung. Und dann müssen wir wieder da oben durch. Das ist unsere Funktion. Nicht sonderlich schön. Deswegen habe ich das jetzt hier nochmal zeichnen lassen. So sieht die Funktion aus. Und das ist dann normalerweise das Ende der Kurvendiskussion. Aber wenn man den gezeichnet hat, kann man manche Sachen auch einfacher berechnen oder bestimmen. Denn wir haben ja noch ein bisschen was. Das hier war der Graph. Neunter Punkt ist die Monotonie. Aber die kann man am Graphen sehr schön sehen. Bei der Monotonie geht es nämlich darum, ich habe hier Hochpunkt und Tiefpunkt nochmal hingeschrieben, Monotonie fragt einfach, in welchem Bereich steigt meine Funktion, in welchem Bereich fällt sie und steigt sie dann vielleicht wieder. Wir müssen also nur schauen. Die Funktion steigt bis zum Hochpunkt. Der Hochpunkt liegt bei minus 11 Drittel. Dann fällt die Funktion bis zum Tiefpunkt. Der Tiefpunkt liegt bei 1 und danach steigt sie wieder. Und das sind jetzt unsere Intervalle. Von minus unendlich... Ich mache mal eine runde Klammer, manche machen auch eine offene Klammer, eine eckige offene Klammer. Von minus unendlich bis zu unserem Hochpunkt, also den minus elf Dritteln, steigt unsere Funktion. Ist also streng, monoton, steigend. Kann man so abkürzen. Dann von diesen minus elf Dritteln bis hier runter, bis zu eins, fällt die Funktion. das ist sie, streng, monoton, fallend. Und dann kriegen wir noch ein drittes Intervall von der 1 bis zur unendlich, wieder runde Klammer, ist die Funktion wieder streng, monoton, steigend. Das sind die Monotonieintervalle, die Steigungsintervalle, wo steigt es, wo fällt meine Funktion. Und das ist schon alles. Und das kann man am Graphen halt sehr schön sehen, nachdem man die Hochpunkte und Tiefpunkte halt ausgerechnet hat, denn die Hoch-und Tiefpunkte trennen immer diese Intervalle. Monotonie kommt aber eher selten vor, dass man das wirklich angeben muss. Schreibt mal, ob ihr das in eurer Kurvendiskussion machen müsst. Wir haben es jetzt mal gemacht. Genauso die Krümmungsintervalle, die kommen auch eher selten vor. Da geht es um die Wendepunkte, die interessieren uns jetzt, weil die trennen die Krümmungsintervalle. Das wäre jetzt bei minus 4 Drittel ist der Wendepunkt, also ungefähr an der Stelle hier bei minus 4 Drittel. Krümmung bedeutet, die Funktion ist eine Rechtskurve bis hier hin und dann haben wir eine Linkskurve und das müssen wir einfach nur noch sammeln. Das bedeutet, von minus unendlich bis zu unserem Wendepunkt, bis zu den minus 4 Dritteln, ist unsere Funktion rechts gekrümmt, also eine Rechtskurve. Und ab den minus 4 Dritteln bis unendlich. haben wir dann eine Linkskurve, linksgekrümmt. Das ist alles. Auch das kann man sehr schön am Grafen dann sehen. Und die Wendepunkte helfen uns dabei. Dann sind wir fast fertig. Ein Teil fehlt noch, die Wertemenge. Die kommt total selten dran, aber wenn sie dran kommt, kann man sie am Grafen auch sehr schön ablesen. Die Wertemenge gibt nämlich an. welche Werte auf der y-Achse angenommen werden vom Graphen. Also wenn der Graph hier durchläuft, dann wird die 20 vom Graphen irgendwo angenommen. Wenn der Graph hier durchläuft, dann wird der Wert angenommen. Bei uns ist es jetzt so, da die Funktion gegen minusunendlich läuft, ist ja auf der y-Achse alles abgedeckt. Und auch gegen plusunendlich läuft die Funktion ja auch. Hier dann ist auf der y-Achse auch alles abgedeckt. Alles auf der y-Achse. wird irgendwo mal von unserem Graphen abgedeckt. Deswegen ist die Wertemenge hier jetzt bei uns die reellen Zahlen, also alle Zahlen, da gibt es keine Ausnahmen. Ein Hinweis nur, falls eure Funktion zum Beispiel so aussehen würde, so eine Parabel, ist ja auch eine ganz rationale Funktion, dann geht die nur bis zur 5 und über der 5 ist kein Graph mehr. Dann wäre eure Wertemenge eben alles kleiner. Also könntet ihr dann aufschreiben, alle reellen Zahlen, für die gilt y kleiner gleich, müsst ihr dann genau gucken, wo es ist, kleiner gleich 5. Das wäre dann die Wertemenge. Alle Werte unterhalb werden vom Graphen angenommen, aber oben drüber eben nicht. Und das... Was? Mehr haben wir nicht. Die Wertemengen können wir noch abhaken. Sehr schön, dass ihr mit dabei geblieben seid. Ich hoffe, ihr seid noch da. Habt alles verstanden soweit. Und falls ihr Fragen habt, meldet euch wie immer gerne in den Kommentaren.