Wentelen om de x-as

Inleiding

• We gaan een vlakdeel om de x-as wentelen en de inhoud van het ontstane lichaam berekenen.
• Voorbeeld: Vlakdeel v, ingesloten door f(x) = 4x - x² en de x-as.
• Doel: Exacte inhoud berekenen van het lichaam L dat ontstaat bij wentelen van v om de x-as.

Stappenplan

Schets maken

• Maak een schets van vlakdeel v.
• Vlakdeel v wordt ingesloten door de functie f en de x-as.

Inhoudsberekening

• Inhoud berekenen als vlakdeel wentelt om de x-as.

• 3D-figuur ontstaat, inhoud berekenen met formule:

  $$ I(L) = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 , dx $$

• Begrippen:

  • I(L): Inhoud van lichaam L.
  • a, b: Linker- en rechtergrenzen op de x-as.

Grenzen bepalen

• Los f(x) = 0 op: 4x - x² = 0
  • x = 0 of x = 4
• Grenzen zijn 0 en 4.

Formule invullen

• Vul de formule in:

  $$ I(L) = \pi \int_{0}^{4} (4x - x^2)^2 , dx $$

• Kwadrateer de functie:

  $$(4x - x^2)^2 = 16x^2 - 8x^3 + x^4$$

Primitiveren

• Integreer de functie:
  • $$\frac{16}{3} x^3 - 2x^4 + \frac{1}{5} x^5$$

Invullen grenzen

• Bereken het verschil tussen de waarden van de geprimitiveerde functie bij de grenzen 4 en 0:

  $$(\pi \left(\frac{16}{3}(4)^3 - 2(4)^4 + \frac{1}{5}(4)^5\right))$$

• Resultaat: 34 2/15 π

• Belangrijk: Houd π in het eindantwoord exact.

Conclusie

• Gebruik de formule voor inhoud als je een vlakdeel om de x-as wentelt.
• π en kwadraat zijn de sleutelcomponenten.
• Belangrijk om gestructureerd te werken.
• Met oefening wordt het berekenen van inhoud net zo eenvoudig als oppervlakte.