Deze video gaat over wentelen om de x-as. In deze video ga ik je laten zien hoe je de inhoud kunt berekenen als je een vlakdeel wentelt om de x-as. En ik ga dit uitleggen met behulp van een voorbeeld.
Het voorbeeld zie je hier al even staan. Het gaat over vlakdeel v. En vlakdeel v wordt ingesloten door fx is 4x min x² en door de x-as. De opdracht is, bereken exact de inhoud van het lichaam L dat ontstaat als we v...
wentele onder x-as. In deze video gaan we een stapje verder dan in de video's hiervoor. Toen hebben we het alleen maar gehad over het berekenen van oppervlakte.
En de stap die daarna komt is het berekenen van de inhoud als je zo'n oppervlakte wentelt om de x-as. Het eerste wat we hier even gaan doen voordat we ons bezig houden met inhoud is maken van een schets van vlakdeel v. De reden waarbij het berekenen van de oppervlakte ook en dat moet je hier nog steeds doen dus je zet even deze in grafische rekenmachine, komt een bergparabol uit. maken we een schets van de situatie en dan gaan we eerst even aangeven wat vlakdeel v precies is.
Vlakdeel v wordt ingestoten door f en door de x-as. Dus hier heb je f, hier is de x-as, dit is het gebied. Zo, dit is vlakdeel v. Wat gaat er nu gebeuren? We gaan dat vlakdeel v wentelen om de x-as.
Dus dat wil zeggen, we gaan hem draaien om de x-as. Dus die x-as blijft zo en hij gaat er zo omheen draaien. Dat is wat er gebeurt. En dan ontstaat er een 3D-figuur. En van dat 3D-figuur willen we de inhoud berekenen.
En dat 3D-figuur noemen we een lichaam. En lichaam geven we heel vaak weer met de hoofdletter L. Dus zo'n vlakdeel geven we vaak weer met de hoofdletter v. Lichaam, hoofdletter L.
Dus, v gaat draaien om de x-as, dan ontstaat er een 3D-figuur en de vraag is eigenlijk wat is de inhoud van dat 3D-figuur. Voor inhoud kennen we een formule die lijkt op de formule voor de oppervlakte. We gaan hem even opschrijven. Inhoud van L, dat noteer je zo, net als het O van v, I van L, is pi keer de integraal van de linker- tot aan de rechtergrens.
En dan komt fx in het kwadraat dx. Dit is de formule die je kunt gebruiken om de inhoud te berekenen als je een vlakdeel wentelt om de x-as. Je herkent hier weer de integraal.
De linker- en de rechtergrens herken je. We moeten nu de functie in het kwadraat doen. Die dx staat er ook weer. En tenslotte hebben we nog f4 pi keer dat geheel. Wat die pi precies doet, dat ga ik je zo meteen even laten zien.
Maar we gaan ons eerst even concentreren op die linker- en rechtergrens. Want dat zijn nog steeds de linker- en rechtergrens van vlakteel v. En die linker- en rechtergrens bevinden zich hier op de x-as. Dus we gaan die twee grenzen uitrekenen door f gelijk te stellen aan 0. Dus we noteren. 4x min x-kwadraat is 0. x voor 0. Voor de haakjes, 4 min x is 0, x is 0 of x is 4. Dus onze linker en rechtergrens zijn 0 en 4. En nu gaan we die formule even invullen.
Dus we doen de inhoud van L is pi keer de integraal van 0 tot 4. En dan ga ik de functie even opschrijven tussen haakjes. 4x min x kwadraat in het kwadraat, dx. Dit is wat je dan krijgt. Voordat je gaat primitiveren, want dat zou onze volgende stap zijn, moeten we even dat kwadraat uitwerken. Dus dit is gelijk aan pi keer de integraal van 0 tot 4. En dit in het kwadraat, dat wordt 16x².
Min 8x tot de derde, plus x tot de vierde. dx. Oké, nu gaan we primitiveren.
Dus we noteren. Is. En die pi komt dan voor die vierkante haken. Zo, dus op deze manier. En nu gaan we het stukje primitiveren.
Dus we doen 16 gedeeld door 3. Dat wordt gewoon 16 derde. x tot de derde. Min.
Dit wordt 8 gedeeld door 4. Dat is 2. 2x tot de vierde. Plus 1 gedeeld door 5, 1 vijfde x tot de vijfde. Zo, vierkante haak sluiten en dan weer de linker en de rechter grens erbij.
Oké, wat we nu gaan doen is die linker en rechter grens invullen, net als bij de oppervlakte. En die pi laten we er gewoon voor staan. Wat dan wel even heel belangrijk is, is je moet die...
Pi keer dat hele stuk doen. Dus we moeten dat hele stuk, wanneer we die 4 en die 0 invullen, ook helemaal tussen haakjes zetten. Ik ga het je laten zien. Dus je krijgt, is pi keer en dan tussen haakjes. Zo, ik heb nu even de 4 ingevuld.
Dus ik doe pi keer en dan de haakjes. 16 derde 4 tot de derde. Bla bla bla, dat hele stuk. Die 0 hoef ik niet in te vullen, want dan komt er overal 0 uit. Dus die kan ik gewoon overslaan.
En wat ik nu doe is, ik reken dit stuk wat hier staat op mijn rekenmachine uit. Daar komt 34 2 vijftiende uit. En die pi die hiervoor staat, die zet ik gewoon erachter.
Dus 34, 2, 15e pi. Dat is hier het antwoord. En let goed op, je mag dit niet echt keer pi doen en dat dan uitrekenen en dat dan opschrijven.
Want er staat bereken exact. Dus die pi in mijn eindantwoord moet ik ook gewoon zo laten staan. Dus in dat hele stuk laat ik die pi ervoor staan en pas aan het einde voeg ik hem eigenlijk toe.
Dus wat is belangrijk als je de inhoud wil berekenen van een vlakdeel wat gewenteld wordt om de x-as? Moet je dus de formule kennen. De pi en het kwadraat zijn eigenlijk de enige twee toevoegingen ten opzichte van de oppervlakte. En voor de rest is het gewoon een kwestie van netjes en gestructureerd uitwerken.
En als je oppervlakte goed kan en je oefent dit een paar keer, dan ga je dit ook niet fout doen.