Logaritmi
Definizione di Logaritmo
- Il logaritmo in base (a) di (b) si scrive (\log_a b).
- È l'esponente che bisogna dare alla base (a) per ottenere (b).
- Definizione valida solo se:
- (b > 0)
- (a > 0) e (a \neq 1)
Risoluzione delle equazioni esponenziali
- Equazione del tipo (a^x = b).
- Usare i logaritmi per trovare (x).
Calcolo di Logaritmi: Esempi
- Logaritmo in base 7 di 49:
- (49 = 7^2) quindi (\log_7 49 = 2).
- Logaritmo in base 2 di 1/2:
- (1/2 = 2^{-1}) quindi (\log_2 (1/2) = -1).
- Logaritmo in base 2 di 1/√8:
- (1/\sqrt{8} = 2^{-3/2}) quindi (\log_2 (1/\sqrt{8}) = -3/2).
Logaritmi di numeri non potenze razionali
- Se (b) non è una potenza razionale di (a), (\log_a b) è un numero irrazionale.
Grafico delle Funzioni Logaritmiche
- Funzione logaritmica: associa ad ogni numero reale (x) il valore (\log_a x).
- Due casi:
- (a > 1): funzione strettamente crescente.
- (0 < a < 1): funzione strettamente decrescente.
- Caratteristiche comuni:
- Definite solo per (x > 0).
- Passano per il punto ((1,0)).
- Simmetrie:
- Grafici simmetrici rispetto all'asse (x) per (\log_a x) e (\log_{1/a} x).
- Simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante confrontato con l'esponenziale.
Conclusione
- Il prossimo argomento riguarda le proprietà dei logaritmi.
- Importante nelle disequazioni esponenziali.
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