ciao ragazzi in questo video ci occuperemo di logaritmi e vedremo in particolare la definizione di logaritmo e le principali caratteristiche delle funzioni logaritmi che per capire che cos'è un logaritmo e soprattutto a che cosa serve consideriamo subito una situazione concreta e supponiamo di dover risolvere l'equazione all'aics uguale a b supponiamo inoltre che a e b siano due numeri reali noti quindi due cose che conosciamo e la domanda quindi è come facciamo questo punto a trovare la ics come facciamo a risolvere questa equazione liberando la ics dall'esponente l'idea è che per fare questo ci serve proprio il logaritmo per definizione infatti logaritmo in base a di b che si scrive logaritmo con una piccolina qui in basso e poi l'argomento b alla stessa altezza alla scritta ha long è proprio l'esponente che bisogna dare alla base a per ottenere come risultato b questa definizione ragazzi è particolarmente importante ed è una di quelle cose che ritornano spesso poi nel corso degli studi e quindi vale sicuramente la pena memorizzarla se non altro perché tramite questa come vedremo si riescono a risolvere al volo alcune semplici equazioni elementari prima di vedere alcuni esempi concreti di calcolo ed i logaritmi bisogna ricordare che il logaritmo in base a di b è un oggetto definito solo per valori positivi dell'argomento quindi vogliamo che vi sia maggiore di zero e per valori positivi e diversi da uno della base quindi vogliamo che ha sia maggiore di zero è diversa da uno è perché deve valere questo ragazzi beh se vi ricordate quando avevamo discusso le equazioni esponenziali elementari abbiamo detto che un equazione di questo tipo assoluzione innanzitutto solo se b a un numero maggiore di zero perché gli esponenziali del tipo all'aics sono delle quantità sempre positive e d'altro canto se vogliamo appunto che all'aics sia un esponenziale quindi definito per qualunque valore di hicks bisogna avere che la sua base a sia qualcosa di maggiore di zero è diverso da uno veniamo adesso alcuni semplici esempi di calcolo di logaritmi proviamo ad esempio a chiederci quanto vale il logaritmo in base 7 di 49 come si fa a rispondere ragazzi basta ricordarsi che cos'è il logaritmo quindi dicevamo prima è l'esponente che devo dare alla base per ottenere l'argomento quindi questo caso devo chiedermi a che cosa bisogna elevare la base 7 per ottenere come risultato l'argomento 49 e chiaramente visto che 49 e 7 elevato alla seconda nelle due coppe il logaritmo in base set di 49 deve essere uguale a 2 e se volessimo calcolarsi il logaritmo in base 2 di un mezzo quale quesito dovremmo porci bisognerebbe chiedersi a che cosa bisogna elevare 2 che sarebbe la nostra base per ottenere l'argomento un mezzo e qui se ci pensate bene visto che un mezzo non è altro che due elevato almeno uno ne deduciamo che il logaritmo in base 2 di un mezzo e proprio meno 1 prione asso calcolarsi logaritmo in base 2 di 1 su radice di 8 dobbiamo quindi chiederci a che cosa bisogna elevare la base 2 per ottenere come risultato uno diviso radice quadrata di 8 e capire che stavolta la risposta un po meno immediata dei casi precedenti e quindi dobbiamo con calma riscriverci questo uno su radice di otto in maniera un pochino più comoda e per fare questo ragazzi bisogna giocare un pochino con le proprietà delle potenze quindi innanzitutto quest viii che compare sotto radice al denominatore è uno se lo riscrive come 2 alla terza a questo punto la radice quadrata può essere vista come elevamento alla un mezzo e quindi vedete ci troviamo con uno diviso due elevato alla tre mezzi che è uguale a 2 almeno tre mezzi e da questo si conclude che il logaritmo in base 2 di 1 su radice di otto che sarebbe appunto l'esponente a cui bisogna elevare 2 per ottenere come risultato uno su radice di 8 è uguale a meno tre mezzi a questo punto è fondamentale precisare che se b non è una potenza di esponente razionale dia allora il logaritmo in base a di b è un numero irrazionale che cosa vuol dire questa frase ragazze cerchiamo di capirlo meglio con un esempio se provassimo a calco l'arci il logaritmo in base 2 d 3 dovremmo chiederci a quale esponente dobbiamo elevare 2 per ottenere come risultato tra però che il 3 non è imparentato con il 2 che cosa voglio dire voglio dire che anche utilizzando le proprietà delle potenze come abbiamo fatto prima non riusciremo mai a riscrivere 3 come due elevato ad una certa frazione e di conseguenza il risultato di questo logaritmo non potrà essere una frazione ma verrà un numero irrazionale quindi qualcosa con infinite cifre dopo la virgola naturalmente se uno volesse sapere quanto è più o meno questo numero si può procedere a farselo stima le da un calcolatore oppure da una calcolatrice e vedete che le prime cifre che compongono la sua scrittura decimale sono quelle che vi ha riportato qui appurato questo cerchiamo adesso di capire ragazzi come è fatto il grafico di una funzione logaritmica o per funzioni logaritmi che ragazzi si intende una funzione che associa ad ogni numero reale hicks il valore del suo corrispondente lug a ritmo in base a dove a deve essere come dicevamo prima un numero maggiore di zero è diverso da uno per fare questo ci conviene distinguere due casi il caso in cui la base a sia un numero reale compreso tra 0 ed 1 e il caso invece in cui la base a sia un numero reale maggiore di 1 perché come vedremo le caratteristiche delle funzioni nei due casi sono diverse qui sotto vi ho riportato in tanto che aspetto anno i grafici delle funzioni logaritmi che rispettivamente quando la base a è un numero reale maggiore di 1 e invece quando la base a è un numero compreso tra 0 ed 1 naturalmente le prime volte 1 questi grafici può ricavarsi li qualitativamente procedendo per punti dopo di che man mano che uno fa esperimenti si convince che tutte le volte che ha a che fare con un logaritmo in cui la base è maggiore di uno viene fuori un grafico simile a questo e tutte le volte invece in cui si ha a che fare con un logaritmo con base compresa tra 0 ed uno salta fuori un grafico tipo quello verde se diamo un'occhiata ai due grafici notiamo subito che ci sono un paio di analogie la prima è che in entrambi i casi si tratta di funzioni definite solo per valori dx positivi il che significa graficamente parlando che il grafico sta a destra dell'asse delle y e non abbiamo invece la funzione a sinistra vedete il motivo di questo se vi ricordate in questo caso è proprio l'argomento del logaritmo che in base alla definizione che abbiamo visto prima deve essere per l'appunto una quantità positiva la seconda cosa che hanno poi in comune a il fatto che in ciascuno dei due casi il grafico della funzione passa per il punto di coordinate 10 vedete sia qui che qui e questo accade perché se uno va a calcolarsi il logaritmo in base a di uno indipendentemente dalla base a purché naturalmente la base a sia un numero maggiore di zero è diverso da uno come abbiamo detto prima il risultato di questa operazione fa 0 e perché fa zero perché se ci pensate bene zero è proprio l'esponente che devo dare alla base a per ottenere come risultato uno c'è però anche una differenza fondamentale che è la seguente se la base a è un numero maggiore di 1 allora la funzione logaritmo in base a dx strettamente crescente che significa ragazzi graficamente parlando che il grafico vedete va in su viceversa se la base a e un numero compreso tra 0 ed 1 allora la funzione logaritmo in base a dx è strettamente dei crescente che significa graficamente parlando che ha il grafico vedete che va in giù questa cosa come vedremo ha delle ripercussioni importanti quando si ha a che fare con disequazioni esponenziali ci sarebbero poi alcune considerazioni che si possono fare sulle simmetrie di questi grafici ad esempio il grafico della funzione logaritmo in base a dx e il grafico della funzione logaritmo in base 1 su a dx sono dei grafici simmetrici rispetto all'asse delle ascisse e si verifica inoltre che il grafico di ciascun logaritmo in base a e simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e il terzo quadrante se confrontato con il grafico del corrispondente esponenziale con base a prima di occuparci di questo dobbiamo però prendere confidenza con le cosiddette proprietà dei logaritmi e sarà proprio questo l'argomento del prossimo video io per il momento ragazzi vi saluto come sempre se avete trovato utile questa video lezione ricordatevi di mettere mi piace passate a trovarci sulla pagina facebook e date un'occhiata all'interno del canale dove troverete moltissimi altri video