Transcript for:
Üçgenler ve Açılar Hakkında Bilgiler

Merhaba sevgili arkadaşlar ben matematik öğretmeni Mustafa Güler yanlış görmüyorsunuz üçgenler tek bir do tek bir di Show başlasın mı Tabii ki hocam Show [Müzik] başlasın şimdi bir üçgen çizdik arkadaşlar üçgenin iç açıları toplamı 180'dir Bunu zaten herkes biliyor x + y + z = 180 niçin 180 hocam bak bak bak bak bak şöyle bir tane paralel doğru çizdik şurası Z ise z harfinin özelliğinden dolayı iç ters açılardan şurası da Z oldu mu yöndeş dolayı Burası y ise şurası da yd 3 doğruda açıların toplamları neydi Arkadaşlar 180'de bir doğrusal açı x z y 180'dir hocam doğru açılar niçin 180 Çünkü arkadaşlar biz tam açıyı 360 alıyoruz ya yarısı olduğu için 180 hocam tam açı niçin 360d O da bir kabuldür arkadaşlar haberiniz olsun Demek ki x + y + z üçgen iç açıları toplamı 180'dir haberiniz olsun hocam iki tane iç açının toplamı kendisine koymuş olmayan bir dış açıya eşittir bunu sileyim artık Ben bununla bir işim kalmadı Evet y + z alfaya eşittir y + z alfaya eşittir sonra x + z X'in toplamı betaya eşittir 2 iç açının toplamı kendisine konmuş olmayan bir dış açıya eşittir güzel e Tet da x + Y'ye eş Tet iki iç açının toplamı kendisine Komşu olmayan bir dış açıya eşittir haberiniz olsun bunları alt alta topladığınız zaman bak bak bak bak bak bak bak Alfa + Beta + teta Alfa + Beta + teta 3 tane dış açının toplamını verdi E 2x 2y 2z E sen x + y + z 180 de hani o zaman Ne oldu arkadaşlar 360'a basitten size bunu özetleyebilirim üçgen iç açılar toplamı 180'dir dış açıları toplamı 360t haberiniz olsun geliş yerlerini de size göstermiş oldum hocam geldik buraya dedim ki burası Alfa dı x + Alfa bir dış açıyla bir dış açıyla ona komşu olan iç açıların toplamları 180'dir x + Alfa Z + teta y + Beta hepsinin toplamı arkadaşlar neye eşittir 180'e eşittir haberiniz olsun basit bir özelliktir zaten bunu doğrulardan biliyorum hemen sıra geldi bizim bu sorumuza şimdi 100 ise dediniz ki hocam şurası 100 olsun 70 ise hocam Burası 100 ise burası nasıl 100 oluyor doğruda Açılar ya şurası 80 olur 70 ise şurası 70'tir ters açılar birbirine eşitti haberiniz olsun doğrusal açı 100 ise 80 ters açı 70 ise 70 Bunda bir sıkıntı yok zaten üçgen iç açılar toplamı arkadaşlar neydi 180 daha bir size söyledim üçgen iç açıları toplamı arkadaşlar x y z 180'dir aynı maddeyi Burada da geçerlidir 180 ise 150 buraya kaç kaldı 30 Bu bir açıortaydan açıyı ortadan ikiye bölür ve eşit miktarda böler 30 İsa alt tarafta 30 oldu mu güzel 70 ise şunun toplamı 180 olması lazım doğrudu açılardan dolayı 110 topladık 142 iç açının toplamı kendisine Komşu olmayan bir dış açıya eşittir 30 + 110'dan cevap 140 olur şıklardan 140'ı bulursunuz ve işaretlerseniz hızlı bir şekilde Özet geçiyorum 100se doğruda kendisine komşu açıların toplamları 180'dir 10080 ters açılar bunu ta doğrudu açılardan biliyorum 70 ise 70 üçgen içi açılar toplamı 180'dir 30 olur 30 İsa 30 70 ise Zaten burası 110 haberiniz olsun toplamları Çünkü 180'i vermesi lazım 142 iç açının toplamı kendisine komşu olmayan dış açıya eşittir geldik buraya şimdi şimdi şimdi şimdi iki tane birbirinden bağımsız açılar varsa ve Bunlar birbirine eştim demişse bunlara harf verelim hocam şurası M olsun Mustafa'nın m'si hocam şurası M olsun şurası da arkadaşlar n olsun bak bak bak bak bak üçgen içer Ç toplamı neye eşitti 180'e yani m + n + 120 = 180'den m + n ne çıktı 60 çıktı şimdi öğrenciler bana M + buluyorlar Oğlum senden sorudan Neyi istiyor Hiç dikkat ettin mi bac açısı b a c açısı yani şu açıyı istiyor E şu açı Zaten neye eşittir M + n' eşittir Zaten ben istenen şeyi bulmuşum haberin olsun olayı anlaşıyordu arkadaşlar yani tamam m'ye M dedim Şu aradaki açıya ne dedim üçgen iç açılar toplamı 180'den M + n'yi 60 buldum Doğrudur zaten sorada bizden m + n istiyor olay Anlaşıldı Buyurun arkadaşlar geldik Bizim bu soruya C açısına C açısı diyelim a şuraya C açısı dedim A şimdi - C'yi karşıya attım B açısı ne oldu hocam 32 + c oldu güzel burada bir sıkıntımız yok değil mi şimdi devam edelim Burası M olsun şurası da M açısı olsun güzel üçgen iç açılar toplamı neye eşitti 180'e eşitti hepsini toplayıp 180'e eşitler misiniz Tabii ki hocam Hadi bakalım 2m + 2C + 32 = 180'den 32'ye karşıya attım 148 2'ye böldüm m + c 74 mü oldu arkadaşlar Yanlış olmasın 32'ye karşıya attım Evet 148 güzel 2'ye böldüm 74 m + c 74 ise adam benden şu alfayı istiyor değil mi üçgenin iç açıları toplamı neye eşit 180'e yani m + c + Alfa 180'den E ben M + C'yi Hani 74 bulmuştum 74'ü karşıya atınca şu alfam ne çıkar arkadaşlar 106 çıkar şıklardan 106 yı bulursun ve işaret Dersin ne yaptım şu eksi ise karşıya atmak zorunluluğunu hissettim kendimde MC açısına C açısı dedim karşıya attım 32 + c oldu B açısı m m dedim her zamanki klasik şeyler Çünkü açı ortay ne derseniz Onu diyeceğim m'ye M üçgen iç açılar toplamı büyük üçgenden bahsediyorum AB c'den toplamları 180 ise 2m 2C + 32 180'den m + C'yi 74 buldum E tamam da şu üçgende üçgenin iç açıları toplamı 180 değil mi m c Alfa soru bitmiştir geldik Bizim bu sorumuza şimdi güzel bir soru arkadaşlar isterseniz durdurun bu soruyla bir uğraşın bakalım nasıl yapacaksınız merak ettim şimdi şimdi şimdi şimdi şimdi şimdi Hepsi Dış açı verilmiş dikkat ettiniz mi Evet hocam bir de dış açılardan bir tane soru çözeyim dedim Ama güzel bir soru gerçekten ben şuraya Mustafa'nın m'si desem şu üçgenden bahsediyorum üçgen dış açılar toplamı neydi 360t toplayalım M dış açıları toplamı 360 güzel dedik ki Alfa PC ve M açıları ünün toplamı arkadaşlar üçgen dış açıları toplamı 360 eş 360 dedim şimdi Burayı siliyorum şimdi Arkadaşlar şu üçgene bakmak istiyorum şu Üçgenin dış açılar toplamda 360 değil midir Tamam Burası M ise hemen yan tarafı 180 - m değil midir Evet hocam dış açısı bet 180 hepsinin toplamı 360 olacak toplayalım Beta + teta + 180 - M eş 360'a bunları bir alt alta toplayalım mler birbirini ne yaptı arkadaşlar mler birbirini götürdü yani istenen 4 açının da toplamını bulmuş olduk Alfa p Beta teta görüyor musunuz toplamları 720 180 de karşıya attım toplayalım eş 540 oldu şıklardan 540'ı bulurum ve işaretlerim hızı bir şekilde ne yaptım Arkadaşlar bir daha anlatıyorum şimdi baktım Hepsi birer Dış açı hepsi birer Dış açı ise önce şu minik üçgenden yola çıkarak soruyu çözmeye çalıştım şu minik üçgende Arkadaşlar şu minik üçgende Dış açı Dış açı dış açısına M dedim toplamları 360 dedim güzel heps topladım Burası mdi Burası da 180 - mdi topladım 360'a eşim sonra bu mavi ile gösterdiğim üçgende dış açıları toplamı 360 olacak ya burası M ise şurası 180 - M süper 180 - Beta teta hepsini topladım arkadaşlar 360'a eşitlerim dış açılar toplamı 360 olduğu için alt alta topladım M m'yi götürdüm Alfa Beta teta PC + 180 = 70'den 180'i karşıya attım 540 çıktı şıklardan 540'ı bulurum ve işaretlerim E hadi yolumuza devam Evet arkadaşlar şimdi açılarda eşkenar üçgen ve ikizkenar üçgen de biraz değinelim isterseniz şimdi demiş ki AB = AC AB = AC iki kenar birbirine eşitse biz buna ikizkenar üçgen diyoruz eşit olmayan kenara Biz her zaman taban deriz haberiniz olsun tabanın karşısındaki açıya arkadaşlar tepe açısı denir Bunu unutmayın tepe açısı her zaman Tepedeki açı değildir ha yanlış anlamayın ikizkenar üçgenlerde eşit olmayan kenarın karşısındaki Bizim tepe açımız oluyor Mesela şöyle bir üçgen çizdim Bizim tepe açımız a açısı mıdır Tepe açımız Burada Arkadaşlar C oluyor haberiniz olsun tabanın karşısındaki kenara taban da e eşit olmayan 3ün kenarım ZD Bunu unutmayın arkadaşlar biz buna taban deriz ve kar arasındaki Bizim tepe açımızdan açılar arkadaşlar tabanın köşelerindeki açılar taban açılardır taban açılar birbirine eşittir haberiniz olsun Şimdi ikizkenar üçgeni bu şekilde göstermiş olduk ha Benim Bu açılarım arkadaşlar 90'dan küçüktür Sebebine gelince 90 90 olsa 180 olur ki E oğlum üçgen iç açıları toplamı 180'de o zaman sen bu açıya ne yazmayı düşünüyorsun 0 mı yazmayı düşünüyorsun O zaman bu üçgen olmaz ki ondan dolayı taban açılar Alfa her zaman 90'dan küçüktür haberiniz olsun Evet geldik Bizim bu eşkenar üçgene eşkenar üçgende arkadaşlar üç kenar da birbirine eşitse biz buna eşkenar üçgen diyoruz eşkenar üçgenlerde arkadaşlar açılar da birbirine eşittir zaten 180'i 3'e bölün 60 60 60 haberiniz olsun ha hocam bir açı verilmiş 60 iki kol birbirine eşit verilmiş Senin yapacağın hemen ilk şey şunları birleştirip üncü Tike atmak olacaktır üç Kenarda Bir birbine eşittir haberiniz olsun şurası da 60'tır şurası da 60'tır bu soruya mukabili hemen Bu soruya bakalım 60 ik kenar eşit hemen uçlarına eşitle şu da şuraya eşittir 60 İsa 60 60 toplamı 100 ise buraya kaç kaldı 40 E tamam da hocam bunlar da ikizkenar çıktı 180'den 40 çıktı 140 2'ye bölün 70'e 70 e sonra benden alfayı istiyordu Alf şur idi Alfa arkadaşlar 60 + 70'ten cevap 130 olur şıklardan 130'u bulursunuz ve işaretlerseniz olay Anlaşıldı arkadaşlar mantık bu olay bu E hadi geldik Bizim bu sorumuza 115 ise buraya ne kaldı hocam buraya hop hop hop hop hop hop hop 65 kaldı Çünkü doğrusal açıların toplamı 180 180'den 115 çıktı 65 o zaman Burası da 65 niçin Burası 65 arkadaşlar Çünkü bu bir ikizkenar üçgen ikizkenar üçgenlerin hatırlarsınız taban açıları birbirine eşittir ikiz kenarların dibindeki açılar da birbirine eşittir ben de kalktım dibindeki açıları birbirine eşitledi Tamam da üçgenin iç açıları toplamı 180 değil miydi 65 65 daha 130 senin alfan 50'dir şıklardan 50'yi bulursun ve işaretlersek bu sorumuz o Tepe açımız arkadaşlar 40' mış H 180'den 40 çıktı hocam 140 o zaman dibindeki taban açılar da bu bizim tabanımız oluyor arkadaşlar taban açılar da birbirine eşittir 140'ı 2'ye bölün 70'e 70 süper Aa doğrusal açı 70 ise senin alfan 110d şıklardan 110'u bulursun ve işaret dersin Buyurun arkadaşlar geldik Bizim bu sorumuza h H ne demiş ABC eşkenar üçgen ABC eşkenar üçgen Şu üç kenar da birbirine eşittir He o zaman 60 60 60 süper şimdi Aa Bunlar da güneş çıktı gördünüz mü ikiz kenar çıktı buradan Tepe açımız 40' mış o zaman dibindeki bizim arkadaşlar e taban Açıl da birbirine eşittir Alf İsa Alfa ya da 180 40'ı çıkar 140 2'ye böl hocam 70'e 70 soru bitmiştir 60 70'in toplamı sana alfayı verir alfam da 130d şıklardan 130'u bulursun ve işaret dersin Umarım olay Anlaşıldı arkadaşlar ikizkenar ve eşkenar ikizkenar Arkadaşlar iki kenarı birbirine eşit olan iki kenar birbirine eşit olan üçgenlere Biz ikizkenar diyoruz ü kenarı birbirine eşitse eşkenar üçgendir haberiniz olsun ikizkenar arkadaşlar h h h taban açıları Yani eşit olmayan diğer kenarımı oluyor taban açıları birbirine eşittir eşkenarda bütün açıların hepsi birine eşittir 60 60 60 diyoruz gerisi arkadaşlar San öğrettiğimiz şeylerdir Önemli olan yerlerden bir tanesi şudur Hocam ben iki tane ikiz kenar gördüm Tepe açısına adam atmış Demiş hemen Sen ne yapacaksın tabanını kendin çiz 3üncü kenara o şeyi koy eşitliği koy ve 60'a 60 diyeceksiniz haberiniz olsun arkadaşlar Hadi bakalım yolumuza devam Evet arkadaşlar üçgende açılar 2 dedim artık bir level atlayalım muhteşem üçlü diye bildiğiniz şey aslında muhteşem dlü dür bunu da ifşa etmiş olduk Arkadaşlar şu anlama geliyor şimdi bir dik üçgen verilirse dik üçgen olacak buna dikkat edelim arkadaşlar çizdiğiniz kenarortay kenarları ikiye böldüğü için çizdiğiniz kenarortay da diğer iki kenara eşit haberiniz olsun bakın izle 1 2 3 diklik de birlikte biz bu dörtlüyü tamamlamak zorundayız üçü varsa dördüncüsü de kesin vardır diyeceksiniz haberiniz olsun a b c dik üçgen olacak dik üçgenden hipotenüse dikkat edelim arkadaşlar çizdiğiniz kenarortay her zaman diğer iki kenara eşittir Bunu unutmayın Hocam zaten üçü birbirine eşit oldu dedik onda bir sıkıntımız yok hocam dörtlüden üçü var o zaman dsü kes kendin ekleyeceğiniz hops tamamladım dördüncüsünü kendim tamamladım hocam dik ama dikten kenarortayı çizilir bunu unutmayalım arkadaşlar eşit eşit Bu da eşittir 1 2 3 4 muhteşem 4tlü geldik dik bu 1 2 3 Abut düsün de kendin tamamladın etti 4 hocam 3 tane Yani bir kenarortay mız var kenarortayı diğer iki kenara da eşit ise arkadaşlar şurası % 10000 diktir haberiniz olsun 1 2 3 ve 4 muhteşem dörtlüyü tamamladım Demek ki muhteşem dörtlünün 1 2 3 4 4 ayağının 3ü var ise dördüncüsünde kendini tamamlayacaksınız geçiş yapalım buyurun buyurun buyurun buyurun A bu bir dik üçgen burayı noktasını koymayı unutmuşuz Evet dik üçgen 1 2 3 4 muhteşem 4ü bu kenarortay diğer iki kenara eşittir haberiniz olsun E tamam 50 ise ikiz kenardan dolayı evet söyleyin bana arkadaşlar taban açılar birbirine eşittir 50'ye 50 h o zaman buraya kaç kaldı 40 kaldı şıklardan 40'ı bulursun ve işaretlerseniz bu sorumuza nasıl soru Arkadaşlar İki kenar birbirine eşitse şöyle bir tane kenar ortayı çizelim biz buna muhteşem 4ü diyorduk ya 1 2 3 4 70 ise şurası 70'tir doğru mu arkadaşlar Evet evet evet o zaman buraya kaç kaldı üçgen içi açıları toplamı 180'dir 140 İsa buraya kaldı 40 o zaman buraya kaldı 50 Aa ikizkenar taban açılar birbirine eşitti 50 ise Alf mız da 50'dir şıklardan 50'yi bulursun ve işaretlersek bizim bu sorumuza dik arkadaşlar 3üncü kenarı her zaman dikten çiziyorsunuz ha olay anlaş mı muhteşem dörtlünün bir ayağı dikten çıkan Doğrudur haberiniz olsun doğru parçasıdır Şimdi geldik Bizim bu sorumuza diki gördüm hemen karşıya bir tane bu şekilde doğru parçası Yani yeni bir kenar oluşturduk 1 2 3 4 muhteşem dördümüz oluşturduk ikiz kenar görüyor musunuz taban açıları birbirine eşittir o zaman Burası da oldu mu sana 27 ik iç açının toplamı kendisine konmuş olmayan bir dış açıya eşittir oldu mu sana 54 He bak bak bak bak bak bak bak bak bak ikizkenar oldu mu sana 54 taban açılar ya şimdi bu üçgene odaklanalım hangi üçgene a şu a üçgenin iç açıları toplamı kendisine koymuş olmayan bir dış açıya eşit değil miydi almızrak O zaman bu da bizim muhteşem dördümüz oluyor güzel baktım ikiz kenar taban açılar birine eşittir 27'ye 27 54 ikizkenar taban açıları eşittir 54 54 bu büyük üçgene bakalım hangisine D eec üçgenine bakalım iki iç açının toplamı kendisine koymuş olmayan bir dış açıya eşittir soru bitmiştir geldik buraya Şimdi ben bu AB'ye Evet AB'ye x diyeyim a DC 2x oldu Al sana 2x bak bak bak bak bak bak bak 90'ı gördün mü bu 2x Resmen beni tahrik ediyor diyor ki beni ortadan 2ye böl bir tane kenarortay mızı çizelim Dur Dur Dur Dur Dur Dur Dur Dur Dur Dur Dur Dur Dur hops Güzel o zaman burası x Burası x h h Burası burasına eşittir 1 90 Bitte 1 2 3 4 muhteşem dlü müz güzel ikizkenar taban açar eşittir 20 ise Burası 20 Burası kaç kaldı arkadaşlar 70 kaldı doğru mudur Evet hocam tabii ki doğrudur Tabi Burası da x olduğu için bu da x olduğu için bu da buraya eşittir zaten evet evet evet evet evet buraya kaç kaldı Arkadaşlar burası ikizkenara taban açılar birb eş 70 140 Burası ne oldu 40 oldu Evet bakın AB Burası da Mustafa m'si olsun abm açısına bakın ikiz kenarı gördünüz mü 40 İsa alfam da 40 olur şıklardan 40'ı bulursun ve işaretlerseniz e 90' da görürsem bir tane kenar ortayı çizerim kenarortayı çizdim x'e x dedim o zaman Burası da x oldu doğru mu arkadaşlar uzunluğumuz x oldu şimdi ben dedim ki ikizkenar taban açıları eşittir 20'ye 20 20 ise Burası 70 kalır bakın Burada bir tane ikizkenar var a d açısı üçgenine bakalım 70 70 şurası 40 olur AB M üçgenine bakalım eşit ikiz kenarı gördünüz mü ikiz kenarı gördüğüm için 40 İsa alfam da 40 olur şıklardan 40'ı bulursun ve işaretlerseniz sıra geldi açıortay meselesine bütün iç açıortaylar bir noktada kesişir Bunu unutmayın Bunu unutmayın Bu noktaya da içte çemberin merkezi denir hocam iki tane açıortay bize verilmiş iç açıortay Tabii ki 3üncü çizdiğin Arkadaşlar doğru parçası da açıyı diğer açıyı ortadan ikiye böler Bu da bir açıortaydan olsun Bu da iç teyet çemberin içeriden çizdiğiniz arkadaşlar çemberin tam merkezidir iç teyet çemberin merkezi dendiği zaman o ü tane iç açıortayın tam değdiği noktadır haberiniz olsun devam edeyim Hocam işte iki tane dış açımız var dış açıortay mız var Bir tane de iç açıortay mız var İki dış açıortay ile bir iç açıortayı mutlaka bir noktada kesişirler haberiniz olsun ve biz buna dış çemberin merkezi diyoruz dış teyet Çemberi Arkadaşlar şu değildir Bu çevrel çemberdir bu ayrı bir şeydir Dış dış teyet Çemberi şu oluyor uzattınız uzattınız ya tık tık tık tık tık tık tık tık tık tık tık tık tık tık tık tık tık tık tık tık İşte bu bu çemberin arkadaşlar merkezidir haberiniz olsun devam edeyim Şimdi geldik açıların özelliklerine hocam iki iç açı ortay verilmiş Tamam bu bizim a açısı olsun Ah Burası da bizim a açımız Alfa neye eşittir biliyor musunuz 90 + a açısının yarısı Zaten ben bunu ben bu formülü bilmesem de olur bu formülde bir sıkıntı yok Sadece burada size göstermek istediğim şey şudur şu Alfa var ya Alfa geniş açıdır 90 + olduğu için Alfa 90'la 180 arasında değişir Hocam ben bu formülü bilmiyorum sıkıntı değil ki m'ye m n n Buna da a deyin üçgenin iç açıları toplamı 180 di ya ya da burasını bize mutlaka verir ama biz onu a olarak yazalım Sonra Adam bizden ne istiyor m + n + Alfa = 180'den buradan bana alfayı çok rahatlıkla bulursunuz büyük üçgenden M + n'yi bulurum M + n'yi yerine yazarım oradan da alfayı bulum bulurum olay Anlaşıldı mı demek Arkadaşlar iki tane iç açıortayın kesiştiği noktaya Alfa dersem o diğer açının her zaman yarısından 90 fazladır Bunu unutmayalım hocam Dış açı verirsin tamam dış açıya da biz x Dış açı ortayların kesiştiği noktaya Arkadaşlar D noktası diyelim içindeki açıya da x açısı Diyelim x de şu a açısını 2'ye bölüp 90'dan çıkaracağız 90 - a / 2'dir haberiniz olsun ha şu x açısı Arkadaşlar her zaman dar açıdır bunu da unutmayalım Demek ki iç açıortayda oluşan açımız kesiştikleri nokta oluşan açımız geniş açıdır Dış açı Ortaylı da o oluşan açımız da dar açıdır hocam Burası Arkadaşlar burası geniş üçgen değildir bunu unutmayalım bunu unutmayalım Burası arkadaşlar Çünkü bu açı da % 90'dan küçüktür bu açı da 90'dan küçüktür bu açı da 90'dan küçüktür olay Anlaşıldı mı arkadaşlar bu geniş açılı bir üçgen değildir Bu dar açılı bir üçgendir onu da bilelim Demek ki x açımız 0'la 90 arasındadır 0'la 90 arasında olduğunu göstermek için Ben sana bunu söylüyorum Demek ki arkadaşlar üçgende Eee iç açıortayların kesiştiği noktaya Alfa dersem a / 2 + 90 ya da 90 + a B2 dış açıortaylı da 90 - a / 2'dir haberiniz olsun Bir de bir tane iç açı Bir tane de Dış açı verilseydi ne yapardık işte niçin bezi kullandığım belli oldu mu Arkadaşlar onu da size göstereyim Ondan sonra sorularımıza giriş yapalım şöyle bir şey arkadaşlar ah bu bizim iç açıortay mız olsun Bu da bizim dış açıortay mız olsun süper Burası a Burası B şurası C şurası D olsun Ben bu bir iç açı ortayla bir dış açıortayın kesiştiği noktaya x desem x açısı neye eşittir arkadaşlar a açısı bö 2'dir ma bö 2'dir olay Anlaşıldı mı arkadaşlar Demek ki bir iç açı ortayla bir dış açıortayın kesiştikleri açıya y noktanın açısına x açısı dersem x açısı her zaman a b 2'dir haberiniz olsun ama biz bunu iç açıortaylı 90 + A2 diyorduk dış açıortay 90 - A2 diyorduk olsun E hadi Şimdiki konumuz özel üçgenler özel üçgenler arkadaşlar dik üçgenlerden Pisagor batısından isterseniz Yolumuza devam edelim dik gördüğünüz bütün üçgenlerde Arkadaşlar biz Pisagor bağıntısını kullanıyoruz pisagor bağıntısı bana ne der der ki 90'ın Karşısındaki kenarın karesi b kare eş diğer iki dik kenarın kareleri toplamına c k + a kedir haberiniz olsun b kare = a kare + c kare de diyebilirsiniz hu hu hu 90'ın karşısındaki hipotenüsü haberiniz olsun Pisagor bağıntısını da bu şekilde b k = a k + c kare bağlantısından kullanabiliriz 90'ın karşısındaki kenar kesinlikle ve kesinlikle diğer iki kenardan büyüktür haberiniz olsun basit bir Yani önemli değil ama öğrenciler bazen soruyor hocam diyor bu hipotenüs kimdir hipotenüs arkadaşlar Pisagor denen bir adam var biliyorsunuz o un sevgilisi mi Karısı mı öyle bir muallak var haberiniz olsun hipotenüs ismi oradan geliyor pisagorun sevgilisi diyelim Şimdi geldik bu sorulara bakalım birlikte Şimdi arkadaşlar 90'ın karşısı Bu bir dik üçgen zaten belli pis bını kullanalım 90'ın karşısında ne var x var x k = 3ün kares + 5 karesi soru bitmiştir 5in karesi 25 3ün karesi 9 34 √3 4'tür şıklardan √ 34'ü bulursun ve işaretlerseniz bağlantısını kullanalım tamam kullanalım 4ün karesi 16 + Hu huu 32 = m kareye karesi karesi toplamı M kare dedim Burası 48 oldu M buradan Evet 48 4 K3 güzel m'yi 4 K3 buldum şimdi m k + 1 kar eş x karee dediniz ki hocam dur dur dur siyahla yazalım siyahla yazalım siyahla yazalım ya da m k 38 şey 48'dir zaten hiç m'yi bulmazsan da olur Çünkü m k + 1in kares = x Ken M K 48 1 daha 49 x Ne oldu 7 oldu şıklardan 7'yi bulursun ve işaret dersin olay Anlaşıldı mı arkadaşlar şuradan M kareyi buldum M kare şununla şunun kareleri toplamıdır sonra m k + 1in kares eş x kare soru bitti Buyurun Şimdi ben dedim ki Şuradan iki tane dik üçgen çıkaralım mı Evet ik tane dik üçgen ortaya çıktı üstteki dik üçgenden şu hipotenüsü birlikte bulalım mı Tabii ki bulalım hocam şuraya M diyelim tamam m k = 7 kar + 9'un karesine geldik alttaki üçgene alttaki üçgende de m k 90'ın karşısındakini gördünüz mü m k = x k + 11 kares soru bitmiştir M kareler birbirine eşitse Bunlar da birbirine eşittir bunları birbirine eşit de x'i bul soru biter 7 karesi 49 9 karesi 81 topla eş x k + 12'den 121 karşıya soru bitmiştir geldik şuraya Şimdi arkadaşlar burayı Yani bu iki soruyu yapabilmemiz için bir defa çarpanlara ayırmadan şunları bilmemiz lazım a k - b k neye eşittir arkadaşlar üstte kare altta arada fark varsa kareleri siliyorsunuz bir eksilisi bir artılı çarp soru biter a kare = a k - b k = a - b ile A + B'nin çarpımı bunu şurada kullanacağım iz x k + 99 kares eşidir 101'in karesine Evet 99'un karesine karşıya atar mısınız x k = 101 kar -99 k a 2 kare farkı yani 101 - 99 101 + 99 Burası 2 şurası 200 çarptım 400 x k 400'den x 20 çıkar şıklardan 20'yi bulursun ve işaretlersek zorundasınız izleyin beni arkadaşlar a + b kar = a k + 2ab + b k a - b k a k - 2ab + b kedir bunu da şurada kullanacağım arkadaşlar izleyin beni Burası x tamamı 9A şu HC Doğru parçası ne oldu arkadaşlar 9 - x oldu evet tamam buraya da Mustafa'nın m'si desem bir sıkıntı olur mu tabii ki olmaz şurada bir dik üçgenim var şurada bir dik üçgenim var üstteki dik üçgenden hemen diyorsunuz Pisagor bağısı kullanalım tamam kullanalım m k ş b k + x k eş 9 karesi yani 81'e geldik alt tarafta karelerin toplamı 36'ya eşit diyeceğim karesi m k + şunun karesini alır mısınız 81 - 18x + x k eş 6 kares 36'ya üst tarafı eksiyle çarpalım mı çarpalım M kare M kareyi götürdü x k x kareyi götürdü soru bitti Hadi bakalım burası kaldı 81 - 18x = 36'dan 81 çıktı evet 36 - 81 yazın Bundan sonrası kolaydır arkadaşlar -18 xi karşıya çıkar Bu tarafa at 18'e böl soru bitmiştir işlemleri sana bırakıyorum buraya kadar sana getirdim Bundan sonrası sana ait ne yaptım arkadaşlar izleyin beni şu ortak dik doğru parças şu kenara M dedim buradan bir Pisagor bağı kullandık x k + m k 9 kares dedim dur dur dur dur dur dur dur dur dur bunla işimiz bitmişti zaten a burayı sileyim hocam Tamam neyse Burayı da sileyim bu soruyu hemen yan tarafına düzgün bir şekilde bir daha yazalım dediniz ki x k + m k eş 90 kares karşısındakinin karesi yani 81 9 karesi e Şurada da bir dik üçgenim var görüyorsunuz pisagor bağıntısı dediniz ki m k + 9 - xin karesi direkt açılım yapıyorum 81 - 18x + x k = 36'ya süper üst tarafı eksiyle çarpalım ya da alt tarafı eksiyle çarpalım niçin üst tarfa eks çarptım onu da bilmiyorum Hadi bakalım M kareler birbirini götürdü x kareler birbirini götürdü 18x - 81 18x - 81 = 81'den 36 çıktı 45 mi arkadaşlar Evet A 45 51 Evet 81 - 81'i karşıya atın 126 18x 126d Evet evet 18'e böl soru bitmiştir 18'e tam bölünüyor 99'a tam bölünüyor 9'a tam bölünüyor 2'ye de tam bölünüyor 18'e böl cevap herhalde 6 çıkıyor Evet yok 6 kere Yok ya ne 6'sı ya işte bölündü of Bana Ne Gerek Şimdi arkadaşlar benim meselem bu değil 18'e böl işte ne çıksa cevap olur benim meselem şu şimdi ben sana dedim ki Ne dedim şimdi bir tane üçgenim olsun şurası 48 olsun şurası 72 olsun şurası da x olsun adam benden x'i istesin Hayda hocam 48 ya 72 ya hocam karelerini nasıl işin içinden çıkacağım alttaki kolay şey biraza çözdüğüm buradaki soru kolaydı arkadaşlar karşıya attım 2 kare farkı çıktı burada 2 kare farkı çıkmıyor ki burada ise arkadaşlar çok farklı size bir yöntem göstereceğim hangi yöntem arkadaşlar bana şu ikisinin obebleri bulur musun Her ikisi kime bölünür sayılar çok büyük olduğu zaman mutlaka bir Arkadaşlar bir obebleri vardır bunların büyük olarak her ikisi 24'e bölünüyor bunu 24'e böldüm 3 şey 2 özür 24'e böldüm 3 ha sanki bunu da 24'e bölmüş gibi yapacağım Burası ne çıkarsa 24 çarpacağı bitti bu kadar 24'e 24'e böldüm Burada 2 burada 3 çıkmıştı 2 kares + 3ün karesi 13 x kare 13 ise x Ne oldu √1 E tamam da bu 2 değildi ki 2nin 24 katı Bu da 3'ün 24 katı O da bu da √ 13'ün 24 katıdır cevap √ 13 x 24 ya da 24 x √1 soru bitmiştir Demek ki ifadelerim büyük Verilmiş ise hemen obini alalım neye bölünüyor neye bölünüyor sadeleştirme yöntemi de diyebilirsiniz 24'e 24'e böldüm 2'ye 3 o zaman burası √ 13 oldu E tamam da bu 2 değildi bu 3 değildi ki bu 2'nin 24 katı Bu da 3'ün 24 katı o zaman bur Bu da √ 13'ün 24 katıdır diyeceğiz Hadi bakalım Evet arkadaşlar şimdi kenarlarına göre özel üçgenlerden yolumuza devam ediyoruz sonra da açılarına göre özel üçgenlere giriş yapacağım Bugün arkadaşlar 3 4 4 5 3i bunu herkes biliyor zaten 3 4 5 3 4 5 olabileceği gibi 3 4 5in katları da olabilir 6 8 10 9 12 15 12 16 20 15 20 25 gördüğünüz gibi arkadaşlar kaç katı 5 katı 5 katı 5 katı yani 3N 4n 5N katları şeklinde yazabilirsiniz Kenarları ardışık tam sayı olan tek bir tane dik üçgenim vardır O da arkadaşlar 3 4 5'tir haberiniz olsun ardışık olan bir tane dik üçgenim var ardışık O da 3 4 5'tir şimdi onun alakal Size bir soru yazacağım şimdi 5 12 103 özel üçgeni zaten bunu herkes biliyor 7 24 25 7 24 hemen ardışık olduğu için 24'ten sonraki sayı 25 8'in 2 katı ne var 16 1 eksiği 1 fazlası 8 15 17 Bunlar da özel üçgenler mdir katları da olabilir haberiniz olsun yani katları ne 16 30 34 2 katı da olabilir sıkıntı yok Güzel şimdi devam edelim geldik Bizim bu soruya şimdi öğrencilerimiz bazı Safiş kolar hocam diyor Pisagor bısı kullanalım şunun karesi Art şunun karesi eş şunun karesine öx öx - 1 öx + 1 la bunlar ardışık değil mi E Bunlar ardışık İsa arkadaşlar ardışık bir tek dik üçgenim vardı hangisiydi 3 4 5 Demek ki şurası % 105 şurası 3 şurası da 4 Doğru değil mi 3 4 5 küçük olan 3 ortadakine 4 büyük olana 5 dedim e öx Eğer 4E x ne olur 16 olur şıklardan 16'yı bulursun ve işaretlersek bizim buraya Hocam 6 hocam Pisagor bını kullanalım lan Ne gereği var ben sana bunları boşuna mı öğrettim 6la başlayan Yani bir kenarı 6 olan hangi dik üçgenim var bir tek 6 8 10 var Başka da yok varsa söyleyin bana Baş 6 8 10 görüyor musunuz arkadaşlar 6 ile başlayan Yani 6 bilmem ne bilmem ne diye bir dik üçgenim var mı Yok o zaman ben dedim ki önce bu Belki bu 6 8 10 olabilir diye düşündüm Bir deneyelim olmaza sonra Pisagor bını kullanırsınız 6 8 A'ya 8 deiz 8 2 daha ne etti 10 oldu A 6 8 10 tuttu bitti a'yı istiyordu A da arkadaşlar 8'dir şıklardan 88'i bulursun ve işaret lersin geldik buraya 6 10 şurası 8 8 17 8 kat 16 vardı 1 eksii 1 fazla 8 15 17 Demek ki şurası arkadaşlar 15 olacak o zaman X'in şurası Ne oldu 9 oldu şıklardan 99'u bulursun ve işaret dersin Buyurun 3 4 şurası 5 5 12 şurası 13'tür şıklardan 13'ü bulursun ve işaretlerseniz şu bdm 24 7 24 şurası 25 güzel Şimdi geldik acb dik üçgenine AC 15 şurası arkadaşlar 15 imiş a şurası maviyle çizelim şurası 15 15 25 dur dur dur 3 4 5'in 5 katı sanki 5 katı 25 5 katı 15 5 katı 20 Demek ki şurası da 20'dir ya da ya da ya da ebop meselesi vardı ya 5e böl 5 böl 3 5 Burası 4 olur 4ün 5 katı 5'e böldüğüm için devam edeyim geldik buraya şimdi şimdi şimdi şimdi şimdi şimdi 2 tane dik üçgenim var 39 52 Hocam çok büyük dur dur dur dur dur 13'e bölünür 3 133'e bölünür 4 o zaman Burası da 5 x 13'tür doğru mudur Evet çünkü 13 katı 3 4 5 ama 133'e 13'ün katları ya Bu da 13'ün katı olacak 5 x 13 yani 65 şimdi izleyin beni Burası e 65 60 5 katı ha 5 x 12 yani 12'ye böldüm E 5 x 13 e 12 13 5 12 13 özel üçgeni o zaman Burası da ne oldu arkadaşlar 5 x 5'ten Çünkü 5 çarpanlar mız vardı Buna dikkat edelim arkadaşlar 12 13'ü gördüğüm gibi Nerede bu 12 13 12 13'ü gördüğüm gibi diğer dik kenarım da 5'tir E bu 5 kat 5 katı Bu da 5 x 5'ten x buradan 25 olur bu ob meselesini artık yabana atmayalım sayılarım çok büyükse ve eğer bir sayının katları ise bunu her zaman uyguluyoruz ne yaptım arkadaşlar hızlı bir şekilde bir daha Özet geçiyorum bakın hızlı bir şekilde bu 3 x 13 Burası 4 x 13 Tamam bu 13 katı 13 katı e 3 4 Bu da 5'tir 5 x 13 güzel şimdi bu 5 x 13 bu 5 x 12 O zaman bu da 5 x 5'tir işte 5 bakın 5 12 13 özel üçgenden dolayı x buradan 25 çıkar alttaki soru basit bir sorudur 9 12 3'e böldüm 3 yani 3 x 3 bu 3 x 4 3 kat yani 3 4 5'in 3 katı Bu da 3 x 5 yani 15 8 15 x buradan 17 çıkar şıklardan 17i bulur Ve işlersin mantık Bu arkadaşlar bakın 9 12 ya da 9 12 9 12 15 hocam gerek yok diyebilirsiniz O senin tercihindir sileyim şurası neydi 9d 9 12 hemen diyorsunuz ki 9 12 15 üzer üçgenim var şurası 15 e Tamam 8 15 8 15 17 özel üçgenim var Bunu da Arkadaşlar bu şekilde 17 dedim x buldum ve sorularımız bitti E hadi yolumuza devam Evet arkadaşlar açılarına göre özel üçgenlere giriş yapalım hocam 30 60 90 özel üçgende ne yapıyoruz arkadaşlar 90'ın karşısındaki kenar Eğer 2x ise 30'un karşısındaki 90'ın karşısındakinin yarısıdır yani x' 60'ın karşısındaki de 30'un karşısındakinin √3 katı 90'ın karşısındakinin de yarısının √3 katı olay Anlaşıldı mı arkadaşlar Şurayı siliyorum bir daha arkadaşlar bunu göstereyim hocam şurası dik şurası 60 şurası 30 Nereden geldi bu arkadaşlar izleyin Ben nereden geldiğini Şimdi size göstereceğim meraklılarına a şurası şurasına eşit olacak şekilde şurası 30 olsun 30 30 şurası Ne oldu 60 a şurası da 60 oldu Burası ne oldu eşkenar üçgen oldu x x x diyelim XE x oldu a x 2x Bundan sonrası arkadaşlar e Pisagor bını kullanırsınız şurası da x K3 olur haberiniz olsun meraklısına bunu da bu şekilde göstermiş oldum gerek yoktu şimdi o zaman Burası 30 30 60 şurası Ne oldu 120 x x x K3 bakın 120 30 30 özel üçgen de arkadaşlar eğer eğer ik y ikiz kenar e larım x'e x dersem 120'nin karşısındaki 30'luk lın √3 katıdır haberiniz olsun umarım olay anlaşılmıştır geldik buraya 45 45 arkadaşlar 45'in karşısındaki kenarlar x x dersem 90'ın karşısındaki 45'likler √2 katıdır olay Anlaşıldı mı √2 katıdır ha 4'ten √2 aklında kalabilir 3'ten √3 aklında kalabilir Demek ki 120 30 30 özel üçgende 30'luk lın karşısındakine x dersem 120'nin karşısındaki 30'luk lın √3 katıdır x kö3 45'likler de ise arkadaşlar 90'ın karşısındaki 45'likler kö2 katıdır bunu da unutmayalım arkadaşlar a geldik buraya Şimdi nereyi isteyelim hocam burayı isteyelim buraya x diyelim buraya da y diyelim arkadaşlar şurası nedir 30'dur şimdi 60'ın karşısındaki 30'un karşısındakinin √3 katı değil midir Evet o zaman burası XE şurası arkadaşlar ne oldu X3 oldu o zaman X3 6'dan x ne olur 2 K3 olur herkesi √ 3'e böl Evet √ 3'e böldüm √3 genişlet 6 K3 b 3'ten 2 K3 oldu süper E bu da bunun 2 katıydı Hani y de ne oldu arkadaşlar 43'tür soru bitmiştir geldik buraya hocam 90'ın karşısındaki Bunlar ikiz kenar şuraya 45 diyelim şuraya 45 diyelim şuraya a diyelim şuraya a diyelim 90'ın karşısındaki 45' liklerin √2 katı değil miydi o zaman a x √2 = 10A arkadaşlar a belli 5 √2 herkesi √ 2'ye bölelim a 10/2 √2 ile genişletelim 10 √2 / 2'den cevap Ne oldu arkadaşlar 5 √2 şıklardan 5 k2y bulursun ve işaret dersin geldik buraya şurası 30 şurası 30 Evet 30'luk Varın karşısındaki 120'nin karşısındaki 30'luk lın karşısındakinin √3 katıydı O zaman xim ne olur 2 K3 x √3 xim Ne oldu arkadaşlar 6 oldu şıklardan 6'yı bulursun ve işaret dersin √3 ile √ 3'ün çarpımı 3 2 ile çarptım 6 olay buydu arkadaşlar e Burayı siliyorum Çünkü o nereden geldiğini size göstermek adına gösterdiğim bir ifade idi Evet şurası 60 şurası 30 90'ın karşısındaki a İsa ya da 2A ise 30'un karşısındaki 90'ın karşısındakinin yarısı yani a 60'ın karşısındaki 30'un karşısındakinin √3 katıdır yani a √3 ya da 90'ın karşısındakinin yarısının √3 katıdır bitti bu kadar Buyurun arkadaşlar 15 75 90 özel üçgeni 15 75 90 özel üçgeni şimdi şimdi şimdi şimdi şimdi şimdi ben dedim ki şuradan bir tane tık tık tık tıkık tıkık tıkık tıkık tık arkadaşlar ikizkenar çizerim olur mu Evet olur 15 ise şurası Ne oldu 15 oldu şurası Ne oldu 30 oldu güzel 30'un karşısındaki x de 90'ın karşısındaki 2x 60 oldu Burası da 60'ın karşısındaki de 90'ın karşısındakinin yarısının √3 katıydı yani x K3 şurası 2x ise şurası da 2x o zaman benden şu kenarı ister 2x + x k 3'tür bunun ezberini yapmayın bunu bu şekilde bulacaksın bazılar diyor ki hocam 15'in karşısındaki XE 75'in karşısındakini ezber yapıyor ezbere gerek yok ki şuradan 15'lik bir tane ikiz kenar çizdiniz soru bitti 15 15 30 30 60 90'ı zaten biliyorum amacım arkadaşlar 30 60 90 elde etmek 75'i de 15'i ayırırsan o zaman 30 60 90 ortaya çıkmış olur tamam 90'ın karşısındaki 2x olur 30'un karşısındaki x ise 60'ın karşısındaki de x k3d Burası burasına eşitse şurası da 2x oldu komple uzunluğumuz Ne oldu x K3 + 2x oldu bana bunu bu şekilde şıklarda bulursun ve işaretlersek çizdiğin yükseklik yani indirdiğin dikme dikten Eğer dikme inmişse şu taban bu indirilen dikmenin 4 katıdır bunu bil ha hocam ben bunu bilmek istemiyorum süper sıkıntı yok Bunu bilmek istemiyorsanız arkadaşlar izleyin beni bunu da ben sana çıkartırım a hemen alta çizelim Dur Dur Dur Dur Dur Dur Dur ben sana bunu da hemen çizeyim Evet şurası neydi 15'i şurası neydi 75'i şimdi kendi kendime dedim ki şuradan Arkadaşlar bir tane şey çizelim E hani dikten muhteşem dlü vardı ya tık tık tık tık tık tık tık tık tık şurası şurasına O da şurasına hepsi birne eşit olsun o zaman burası 15 ise şurası 15 olur 15 15 şurası Ne oldu 30 oldu şurası hsa 90'ın karşısındaki 2h e şurası 2h İsa şurası da 2h hani eşit ya E 2h İsa şurası da 2h o zaman toplamı kaç H oldu arkadaşlar 4h oldu olay Anlaşıldı mı ne yaptım dikten muhteşem dörtlü vardı hani siz muhteşem 3'lü diyordunuz ya burada muhteşem 4ü Çünkü dikle birlikte üç kenar etti 4 buradan tık tık tık tık tık tık tık tık hemen muhteşem dörtlü oluşturdum eşit eşit eşit o zaman Bunlar birbirine eşitse 15 15 şurası 30 oldu 30 90 60'tan dedim ki 30'un Karşısındaki H İsa 90'ın karşısındaki şurası 2h 2h İsa 2h 2h Ne oldu arkadaşlar 4h soru bitmiştir geldik buraya Şimdi ezber yapmayacağım nasıl ezber yapmayacağım 22 buu gördüm ya arkadaşlar tık tık tıkık şurası şurasına eşit olacak şekilde şurası da 22,5 olsun 22,5 67,5 90 üzeri üçgenine Şimdi değiniyor arkadaşlar şurası Ne oldu 45 oldu süper 45 ise şurası da 45 olur dik üçgenden dolayı x ise x şurası x √2 e burası da burasına eşitti burası da x K2 O zaman şu iki dik kenardan birisi XE diğeri ne oldu x + x k 2'dir yani x parantezinde 1 + √2 bunun ezberi Yapı maz yapmayın da bunu bu şekilde bulursunuz haberiniz olsun geldik buraya hocam H 22,5 larda diyorsunuz ki hocam 2 K2 H olur Bitti bu kadar ha hocam ben bunu görmek istiyorum hay hay hay hay bak bak bak bak bak bak bak dikmeden muhteşem dörtlü müzü oluşturalım tık tık tık tık tık tık tık tık tık şurası şurasına O da şurasına eşit olacak şekilde e muhteşem dördümüz oluşturduk Şimdi burası burasına eşitse 22,5 İsa şurası Ne oldu 22,5 oldu şurası Ne oldu 45 oldu 45'in karşısındaki hsa 90'ın karşısındaki H K2 Çünkü kö2 katıydı ya E şurası şurasına eşitse H K2 e şurası da H K2 o zaman toplamı Ne oldu 2 K2 H bakın 2 K2 H çıkış noktası da belli oldu mu bunların hiçbirisinin ezberini yapmayın ezberler de uğraşmayın Neyi gösterdim hız Bu şekilde bir dah anlatıyorum hocam 22,5 67,5 90 özel üçgende Eee 22,5 hemen dik hocam bir tane 22,5 luk ikizkenar oluşturdum olayı buradan çözmüş oldum bu hsa 2 K2 hır ha bunu bilseniz olur Ama bunun ezberini yapmak biraz zordur nereden çıktı on da arkadaşlar sanki üsttekine benzer yapmış oldum ama dikten tık tık tıkık tık tık tık ikiz kenar bunun gibi oluştururken muhteşem 4ü ortaya çıkıyor tek farkı bu 15 75 90 üz üçgende iki dik kenardan birisi x ise diğeri bu oluyor ezberi yapılmaz tık tık tık tık tık tık tık 15 15 eşitlik yapın 30 çıkıyor soru bitmiştir ha dikten dikme inmiş taban indirilen dikin arkadaşlar 4 katıdır bunu bilin haberiniz olsun E hadi Yolumuza devam edelim Evet arkadaşlar şimdi sıra geldik son kısım öklit bağıntıları ne oluyor bu öklit bağıntıları arkadaşlar dik üçgenden dikmeyi indirmiş derse biz buna arkadaşlar öklit bağıntısı diyoruz hocam dikten dik inerse öklit oluşur dedik zaten ha H x a = b x c Anlamı şu Arkadaşlar İki dikin çarpımı birbirine eşittir bakın Ah mürekkebe bak maşallah Nazara geldik herhalde e şuraya şurası birbirine dik iki dikin çarpımı şuraya şurası birbirine dik dik 2 dikin çarpımına eşittir Yani b x c = a x h' Bu da arkadaşlar alandan geliyor alan a BC b x c / 2 ya da a x h / 2 2er birbirini götürdü H x a b x C'ye eşittir önemli bir özelliktir haberiniz olsun dur bunu da sileyim bir Nazara geldik ya kalemdeki mürekkep fırladı öklit dayanamadı arkadaşlar A evet öklit dayanamadı güzel şimdi dedik ki H kare şunun karesi şu iki kenarın çarpımına eşittir yani h k = p x k'ya bitti bu kadar ya da B'nin karesi bir dik kenarın karesi yani şunun karesini alabilirsiniz bir dik kenarın karesi diyorsunuz ki arkadaşlar dik kenara kadar olan kısım çarpı tamamı Yani b kare k x A'ya ya da c k p x A'ya olay Anlaşıldı mı her zaman Şunların karesini alıyorsunuz tek oldukları zaman Tekten kastımız ne işte b kare eş k x a c k = p x a h k = p x k bitti Bu kadar olay Anlaşıldı mı arkadaşlar ha b x c h x A'ya eş haberiniz olsun E hadi geldik Bizim bu sorumuza şimdi dikten dik İnmiş mi Evet hocam dikten dik inmiş Arkadaşlar bu bir öklit bağıntısıdır Şimdi adam benden x'i mi istiyor Evet 3 4 özel üçgenden Ben bunu biliyorum şurası % 115'tir E tamam 3 x 4 x Ç 5'e eşittir o zaman x neye eşitti 12/5 12/5 şıklardan bulursun ve işaretlersek Buraya şimdi şimdi şimdi şimdi şimdi şimdi şimdi şimdi şuraya a diyelim 6 karesi 4 X 4 + A evet 6 karesi 36 4E 4E böldüm 9 mu 4 neyin toplamı 9'dur Kusura bakmayın da 5in şimdi ben bu a'yı 5 buldum tamam x kares 5 x Tamamı değil midir x k 5 Tamam 9 x Ne oldu 3 K5 şıklardan 35'i bulursun ve [Müzik] işaretlersek olur şıklardan bulduk ve işaretledikten a'yı buradan 5 bulduk mu evet e a 5 ise x'in karesi 5 x 99'dan xin karesi 45'ten x buradan 3 K5 olur geldik Bizim bu sorumuza bak dikten dik inmiş dikten dikilmiş Ben burada ik tane ökt balısı görüyorum önce üst tarafa odaklanalım bak bak bak bak bak 4ün karesi Şuraya da Mustafa'nın m'si diyelim mi 4ün kares eş m x 8E güzel M buradan ne çıktı hocam M buradan 2 çıktı Evet M buradan 2 çıktı şimdi geldik şu dik üçgene bak bak bak bak bak ne çıktı bak bak bak bak bak 2in karesi Şuraya da n diyelim 2in karesi 4 x n 2in karesi 4 x n n buradan 1 çıktı süper x'i mi istiyorsun Pisagor bağ anısından x Çıktı işte 2 kar + 1 k eş x Ken x buradan √5 çıktı şıklardan √ 5'i bulursun ve işaretlersek ökük bağınız var birinci ökük bağınız Buradan şuraya M dedim 4ün karesi 8 x m'den m'yi 2 bulduk m'ye 2 yazdım sonra şu öklit bağıntısında 2in karesi 4 x nden n'yi 1 buldum Sonra Pisagor bağıntısında soru çıktı Şimdi arkadaşlar bu bir kare ise Evet bu bir kare o zaman şurası % 10000 diktir dikten dik inmiş Arkadaşlar bu bir Ök ba y burada ö bağımız var şimdi ben buraya x desem şimdi karenin alanı x kedir adam benden Kusura bakmada x kareyi istiyor doğru mu arkadaşlar Tamam ökt bağıntısını A burada uygulayalım Evet x'in karesi bir dik kenarın karesi eştir dike kadar olan yer çarpı tamamı yani x k = 6 x 10 zaten soruda bizden x kare is mu Cevap 60'tır bitti x kareyi istiyordu x kare de 60'tır şıklardan 60'ı bulursun ve işaret dersin geldik buraya arkadaşlar ikizkenar şu dik üçgenin dik üçgenleri karıştırmayın bakın dik olan Burası süper o zaman Buradan bir tane dikmeyi indirelim olur bu ikiz kenardan indirdiğiniz dikme arkadaşlar tabanı 2ye böler e tabanın tamamı Eğer 18 ise o zaman yarısına kadar Burası 5 olur şurası arkadaşlar tamamı 18 demiştim şurası 5 şurası da 9 güzel bitti Evet nasıl bitti arkadaşlar Şuradaki x'i Bizden istiyor Yani Şuradaki x'i istiyor x'i karıştırmayalım xiz şu addi A şimdi dikten dik inmiş O zaman dik kenarın karesi yani x kares eş 5 x 14'e soru bitti x buradan √7 çıkar √ 70'i şıklardan bulursun ve işaret Dersin ne yaptım Arkadaşlar bir tane dikme indirdim güzel tabanı ortadan 2'ye böldü tabanı 2'ye ortaya böldü 9A 9 dedim Çünkü ikiz kenarım bu büyük üçgen oluyor o zaman ben dedim ki dikten dik inmişse şu maviyle çizdiğim yer de öklit bağıntısı vardır x k = 5 x 9'la soru bitmiştir pardon 5 x 14 nereden geldi ya Ha pardon pardon 5 x Evet karıştırdım ya 5 x tamamı 14 güzel geldik buraya şimdi buradaki dik üçgenim ise arkadaşlar büyük üçgen o zaman ö dik üçgenin olduğu yerde yani büyük üçgende vardır Şu büyük üçgende arkadaşlar ökti oluşturalım Şimdi burad bir tane dikme indirdim ikizkenar tabanı Ortan 2ye böler A'ya a dedik Çünkü ne olduğunu bilmiyoruz şu taban bize verilmemiş ama tamamını 9 olarak vermiş 6 kares eş çünkü büyük üçgende a x tamamı yani dike kadar olan yer çarpı tamamı yani a x 9 doğru mudur A buradan ne çıktı a buradan 4 çıktı a'yı 4 buldum O zaman Burası da 4 e tamamı 9 İsa x'e Ne kaldı 1 kaldı şıklardan biri bulursun işersin Böylece Arkadaşlar bu kısmı da bitirmiş olduk Evet arkadaşlar Şimdiki konumuz açı kenar bağıntıları ne oluyor bu açı kenar bağıntıları birlikte böyle bir giriş yapalım açıların kenarları ile ama aynı üçgen içerisinde bunu unutmayalım arkadaşlar mutlaka bir bağıntısı var mesela ABC üçgeninde a açısı en büyük açımız olsun sonra B açısı sonra C açısı geliyor Arkadaşlar en büyük açının karşısındaki kenar da en büyüktür haberiniz olsun yani en büyük kenarım a kenarı dır sonra B açısı geldiği için sonra b kenarı en küçük açımız da C açısı olduğu için karşısındaki aç kenar en küçük kenar oluyor haberiniz olsun açılar büyüdükçe kenar büyür karşısındaki kenar büyür açılar küçüldükçe karşısındaki kenar küçülür ama aynı üçgen içerisinde bunu unutmayalım Buyurun arkadaşlar dedim ki 60 61 şurası Ne oldu arkadaşlar 59 şimdi Öğrenciler diyor ki hocam en büyük açı hangisi 90'dır Tabii ki 90'ın Karşısındaki en büyüktür diyor yani buradaki BC kenarı en büyüktür kusura bakma Nah büyüktür nerede büyüktür ben sana diyorum ki aynı üçgen içerisinde şimdi bu üçgende en büyük kenarım Tabii ki bcd doğru mu Arkadaşlar şu bizim BCM en büyük kenar Tamam E tamam da altta bcde büyük kenar var ha olay Anlaşıldı mı Yani en büyük kenarım ne oluyor Tabii ki BC değildir BD kenarı dır haberiniz olsun en büyük kenar BD şıklardan bdy bulup işaretlerseniz Ben iki üçgen verildiği zaman en büyük açı Hocam 90'dır 90' daha büyük yok zaten o zaman 90'ın karşısındaki en büyüktür değil işte bu üçgende 90'ın karşısındaki en büyüktür Doğrudur Bu bizim en büyük kenarımı ama alttaki üçgende bundan daha büyükleri var bu 60'ın karşısındaki BD oluyor 61'in karşısındaki şey 60'ın karşısındaki BC oluyor 61'in karşısındaki BD ondan daha büyüktür o zaman arkadaşlar En uzun kenar BD kenarı haberiniz olsun geldik buraya Hocam bu bir neydi eşkenar üçgendir hocam şurası 60 şurası 60 Çünkü ABC eşkenar üçgen 60'ın karşısındaki e 60'ın karşısındaki D hocam Bunlar birbirine eşittir aynı üçgen içerisinde diyorum Aynı üçgen içerisinde Ah ah üçgenim bu üçgen a e d 60 20 daha Burası ne oldu 80 Burası 70 150'den şurası 30 şu üçgende Tabii ki en büyük DD sonra kim gelir arkadaşlar 70'in karşısındaki e gelir sonra 30'un karşısındaki A da en küçüktür şıklardan bunu bu şekilde bulup işaret dersiniz Buyurun arkadaşlar Bakın bu en geniş açıklıktan en geniş açıklık ama koşul verilmediği sürece koşul yoksa bunların arkadaşlar hepsi geçerlidir Nasıl yani bir kenar diğer iki kenarın toplamından küçük farkından da büyüktür bitti bu kadar bu kenar diğer iki kenarın toplamından küçük farkından da büyüktür e farkı hangisi daha büyük Hangisi küçük olmadığı yani bilmediğimiz için mutlak değer içerisinde gösteriyoruz herhangi bir kenar mesela a kenarı diğer iki kenarın toplamından küçük farkından büyüktür diyeceksiniz bu bütün kenarlar için geçerlidir haberiniz olsun ha her zaman bir kenar her zaman çevrenin yarısından küçüktür bunu da unutmayalım olay Anlaşıldı mı arkadaşlar Tamam bu koşulsuz ama koşul verilirse Tabii ki L değişir koşulu bize verilmiş görüyor musunuz şimdi Öğrenciler diyor ki hocam diyor Şu x e ikisinin toplamından küçük 13'ten küçük farkı 3'ten de büyüktür diyor Tamam da bu koşulsuz geçerli olan bir kuralda burada benim koşum var a açısı A'nın karşısındaki kenar B'den B açısından büyükmüş yani B'nin karşısındaki kenardan büyükmüş yani x > 8 imiş o zaman x 3' 13 arasında değil X'in 8 ile 13 arasındadır işte bir koşul var arkadaşlar koşul anınız mı A açısı B açısından büyükse A'nın karşısındaki kenar B'nin karşısındaki kenardan büyüktür yani x 8'den büyük olması lazım O zaman x 3 ile 13 arasında değil de 8 ile 13 arasındadır diyeceksiniz soru bitti diyor ki tam sayı değeri kaç tanedir diyor 9 10 11 12 sayının kaç tane olduğunu şıklarda bulup işaret dersin Buyurun arkadaşlar geldik Bizim bu soruya şimdi üstteki üçgen için düşünelim üstteki üçgende şu x şu x ikisinin toplamından 13'ten küçük farkı 5'ten büyüktür alttaki üçgende ise A şu üçgenden bahsediyorum hocam x e toplamı 12'den küçüktür farkı 2'den büyüktür doğru mu arkadaşlar Evet e ikisinin kesişimini alacaksın ha ikisinin kesişimi aldığın zaman büyüklerden küçük küçüklerden büyük alınır yani x 12 ile 5 arasındadır soru bu kadar basit ve net 12 ile 5 arasında hangi değerler var 6 7 8 9 10 11 soru bitmiştir Umarım olay Anlaşıldı arkadaşlar üstteki üçgen için ayrı Çünkü aynı ortak kenar olduğu için alttaki üçgen için ayrı düşündük ikisinin kesişimi eşitliklerden Ben bunu biliyorum kesişimler de büyüklerden küçüğü küçüklerden büyüğü birleşimi deseydik arkadaşlar büyüklerden büyüğü küçüklerden küçüğü en geniş al alacaksınız ama biz ikisinin ortak çözüm kümesini istiyoruz ortak çözüm kümesi arkadaşlar büyüklerden küçük küçüklerden büyük bitti 5 ile 12 arasındadır soru bitmiştir E hadi yolumuza devam Evet şimdi sıra geldi Arkadaşlar önemli özelliklerimizden bir tanesine hocam bir e üçgen verdi yine bize alfanın 90 olduğunu belirtirse zaten Pisagor bağıntısını herkes biliyor Alfa = 90 ise diyorsunuz ki a k = b k + c k zaten bunu herkes biliyor geçeyim burayı özel üçgenlerde bunları size anlatacağım şimdi Alfa 90'dan küçük olursa o zaman diyeceksiniz ki a k < b k + c k Çünkü 90 olsaydı eşit olurdu e 90'dan küçükse o zaman a k < b k + c k Alfa 90'dan büyük ise e 90 olursa a k = b k + c k ise e 90'dan büyükse de a k > b k c kare geniş veya dar olduğu belirtilirse bunu unutmayalım arkadaşlar bakın bunu unutmayalım bu önemli bir özelliktir haberiniz olsun E hadi sorularımıza giriş yapalım Alfa 90'dan büyük demiş Şimdi Alfa 90 olsaydı eğer Normalde x k = 8 kar + 15 karesi 8 15 17 özel üçgeni herkes zaten Biliyor Burası arkadaşlar 17 olur yani x' imiz 17 olur Daha doğrusu 17'nin karesi de diyebilirsiniz kare karey götürecek 17 olacak tamam diyor ki Alfa 90'dan büyüktür o zaman arkadaşlar x 17'den büyüktür diyeceğiz hemen Silgimi alıyorum hocam Hiç böyle uzatmayalım direkt 8 15 90 olsa idi şurası 17 olurdu ama ben 90'dan büyüğüm diyorsa 17'den büyüktür E tamam da toplamlarından da küçüktür olay Anlaşıldı mı arkadaşlar dii en küçük tam sayı değeri Tabii ki 18'dir şıklardan 18'i bulursun ve işaretlerseniz diyor ki 90'dan küçüktür demiş Şimdi 90 olsay idi Eğer şurası o zaman 6 8'den şurası ne olurdu 10 olurdu Evet ama ne diyor ben 90'dan küçüğüm O zaman bu BC Yani bu istenen ha Burası xti zaten x < 10 E tamam da farkından da büyüktü > 2 kaç tane tam sayı değer alır 3 4 5 6 7 8 9'a kadar bütün değerlerin hepsini alır sayarsanız soru bitmiştir Umarım olay Anlaşıldı arkadaşlar 90 olsa idi 10 olurdu ama ben 90'dan küçüğüm dediği için 10dan küçüktür farkından da büyüktür geldik Bizim bu sorumuza şimdi burada arkadaşlar ne geniş demiş Ne dar demiş bazı Safiş arkadaşlarımız diyor ki x üy farkı ne y küç toplamı ne 17 değil işte değil işte nasıl değil Arkadaşlar bu bir ikizkenar üçgen ikizkenar üçgenin taban açıları % 10000 dar açıdır o zaman burası dar Bunu çok iyi biliyorum şurası dar darın Ne olur arkadaşlar geniş olur evet demek Burası bir geniş açı o zaman geniş açı İsa arkadaşlar 90 olsaydı 51 şurası 13 olurdu o zaman geniş açı olduğu için ne diyeceksiniz 13'ten büyük diyeceksiniz olay Anlaşıldı mı arkadaşlar Bazen de böyle hissedeceksiniz arkadaşlar ikizkenar olsa taban açıları dar açı olur Çünkü 90 90 olsa 180 olur zaten üçgen iç açıları toplamını geçer ondan dolayı bunlar % 10000 dar açıdır darın geniş açıdır o zaman geniş açı İsa Eğer 90 olsaydı 5 12 13 olurdu e geniş olduğu için 13'ten büyük süper 13'ten büyük E toplamlarından da küçük x > 13 < 17 13 ile 17 arasında bütün tam sayı değerlerini alır geldik Bizim bu sorumuza şimdi İsot tadında bir sorudur süper bir sorudur izle izle izle izle izle 90'dan a şurası % 10000 dar açıdır Burası % 10000 dar açı Çünkü 90'dan bir kesit içeriye alırsanız % 10000 dar açı o zaman dar açı İsa şurası 90 olsaydı arkadaşlar şurası olsaydı 6 8 10 olurdu e dar açı olduğu için bu ifade 10dan küçüktür diyeceksiniz olay Anlaşıldı mı E hocam Tamam 10dan küçük hocam farkından da işte farkı ne 2 2'den de büyüktür değil işte değil Değil arkadaşlar dikin dibindeki açılarda % 10000 dardır o zaman Burası da % 10000 dar o zaman burası darsa normalde 8 kares küç x kar + 6 karesidir Hani Burası dik olsa idi 8in karesi eş xin kares + 6 karesi olurdu ama küçüklükler de biz ne yapıyorduk arkadaşlar küçüktür diyordunuz Evet küçüktür dedim e 8in karesi 64 6 karesi 36 karşıya attık 28 mi oldu Evet x k > 28'den x > kö28 olur he demek Burası neymiş Arkadaşlar burası √ 28 miş o zaman √ 28 arkadaşlar 5,5 gibi bir şey e alacağı tam sayı değerler 6 olur 7 olur 8 olur 9 olur olay Anlaşıldı mı 4 değer alır haberiniz olsun Şimdi hızlı bir şekilde ne yaptım şuranın dar açı olduğunu çok iyi biliyorum çünkü 90 tamamı 90 bir kesit içeriden alındığı için % 10000 dar açı dar açı Eğer Burası dik olsa idi 6 8 10 olurdu ki dar açı olduğu için 10'dan küçüktür dedim Öğrenci hemen diyor ki hocam farkından da büyüktür 2'den de büyüktür değil işte dikin dibindeki taban açılar arkadaşlar % 10000 dar açıdır % 100 dar açı yani geniş olamaz hocam 91 olsa 180'i geçtik güzel dar açı dar açı İsa Burası dar açıdır Tamam Burası dar açı İsa Eğer 90 olsa idi 8in karesi eş 6 kares + xin karesine ama dar açı olduğu için 8in karesi küçüktür bitti o zaman x kare 28'den büyük x √ 28'den büyüktür o zaman √ 28 ile 10 arası diyeceğiz soru bitmiştir Hadi bakalım ıvır zıvır birkaç tane küçük yerim var Onları da size göstereyim sorularımıza devam edelim Haydi Evet arkadaşlar birkaç tane ıvır zıvır özellik demiştim birincisi Bu arkadaşlar abc bir üçgen olsun üçgenin içerisinde bir tane nokta p noktasını alalım işte b ve C'ye doğru parçaları çizelim şimdi BP + PC pb + PC'nin toplamı A'dan büyüktür şu iki kenarın toplamından da küçüktür Arkadaşlar biraz da mantıklı düşüneceksiniz ucunu tutalım aşağıda olsa idi Eğer şu iki kenarın toplamı A'ya eşit olurdu ama biraz içeriden aldığım için A'dan büyüktür Hocam bu ucu ta a noktasına getirsem e b + C'ye eşit olur e içeride alındığı için bu ifade B + C'nin toplamından da küçüktür olay Anlaşıldı mı Şimdi bir p noktası aldık yine ABC üçgeni içerisinden işte köşelere bir tane doğru parçaları çizdik üç doğru parçası şu şu ve şu şu üçünün toplamı çevreden küçüktür çevre B 2'den de büyüktür haberin olsun buyurun arkadaşlar geldik sorumuza şu x + y dedik ki 8'den büyüktür ikisinin toplamı 13'ten de küçüktür bitti bu kadar geldik buraya ha kaç tane tam sayı değer alır 9u 10 11 12 Hocam şu ünün toplamı dedik ya çevreden küçüktür çevre B 2'den de büyüktür Güzel o zaman çevresi kaçtır 30 30'dan küçüktür çev b 2 15'ten de büyüktür kaç tane tam sayı değer alır 16 olur 17 olur 18 olur nokta nokta nokta nokta en fazla 29 olur e burada kaç tane terim vardır son terimden ilk terimi çıkar bölü artış miktarı + 1 bitti bu kadar geldik buraya yine arkadaşlar yine bir özellik ıır zıvır özelliklerimizden bir tanesi dedik ki abc bir çeşit kenar bakın Buna dikkat edelim çeşitkenar ikizkenar veya eşkenar değil çeşitkenar üçgeni ise Arkadaşlar her zaman h' yükseklik diyeceğiz neye açıortay diyeceğiz veya de kenarortay diyeceğiz Arkadaşlar bu yükseklik her zaman açıortaydan küçüktür yani açıortay yükseklikten büyüktür kenarortayı da hepsinden büyüktür haberin olsun çeşit kenar üçgeni ise bu ama aynı köşeden bunları çizdiğiniz zaman bu özellik geçerlidir hocam ikiz kenar olsa ikiz kenarda indirdiğiniz dikme zaten ha na va Bunlar arkadaşlar hem yüksekliğ hem açıortay hem de Kayım hepsi birbirine eşit olur ama bu bir çeşit kenar olabilmesi için arkadaşlar hemen kenarı biraz uzatalım o zaman arkadaşlar diklik zaten değişmez Doğru değil mi E bunun kenarortayı ve açıortayı sağa doğru kayacağı ondan dolayı zaten bu özellik ortaya çıkıyor olay Anlaşıldı mı dik zaten hiçbir zaman değişmez çeşit kenarlarda O zaman dik değişmiyorsa kenarı biraz çeş kenara çevirdiğiniz gibi hocam hem açıortay mız sağa doğru kayacak hem kenarortay mız sağa doğru kayacak Oradan da aklımızda kalabilir Demek ki arkadaşlar çeşitkenar üçgenlerde dik yani yüksekliğ imiz bizim en küçük doğru parçamız dır sonra bizim açıortay mız gelir en büyük doğru parçamız da arkadaşlar kenarortaydan ha hocam bu da en son artık son diyelim bundan sonra Arkadaşlar artık sorularımıza giriş yapalım muhteşem sorularım var sorularımız daan devam edeyim Şimdi ABC bizim bir üçgenim olsun çeşit kenar üçgen arkadaşlar tam belli a açısı en büyük açımız sonra B açısı sonra da C açısı geliyorsa Arkadaşlar bu yükseklik açıortay kenarortay her zaman açıların büyüklüğüyle ters orantılıdır hocam Nasıl yani şu a açısı en büyük a açısından çizdiğimiz yükseklik arkadaşlar ya da indirdiğimiz dikme arkadaşlar karşısında Aki kenara o en küçük olur hangi açı en büyükse oradan çizdiğiniz dikme en büyüktür hangi açı en büyükse oradan çizdiğiniz dikme en küçüktür burada bir ters orantı vardır hepsinde bu ters orantı geçerlidir haberiniz olsun ha basit bir özelliktir buyun arkadaşlar AB = AC ise Arkadaşlar biz buna ikizkenar üçgen diyoruz iki kenarı eşit olan üçgenlere ikizkenar üçgen denir ikizkenar üçgende BC bizim taban ız oluyor ikizkenarın dibindeki bu kenar bizim tabanımız olur alfalar da bizim taban açılarım mdır haberiniz olsun taban açıları her zaman birbirine eşittir ve taban açıları hiçbir zaman 90'dan büyük olamaz 90 dahi olamaz 0'la 90 arasındadır haberiniz olsun Hadi bakalım yolumuza devam Şimdi bir ikizkenar çizdik arkadaşlar açıortay kenarortay ve yükseklik Bunların hepsi birbirine eşittir olay anlaşılı mi ikiz kenarlarda indirdiğin dikme hem açıortaydan ortay dır ikiz kenarlarda Tabana tabanımız BC oluyor ha Tabana indirdiğin kenarortay hem açıortay Hem yüksekliktir şunu demek istiyorum bakın izleyin yaki Yakıyorsun Yakıyorsun Yakıyorsun hele Mavi Boncuk böyle bir şarkı vardı Hatırladığım kadarıyla yaki yükseklik açıortay kenarortay ikiz kenar ikisi varsa Diğer ikisini yapıştır arkadaşlar bunlardan ikisini görseniz Diğer ikisini yaptırıyorsunuz Nasıl yani bakın yükseklik kenarortay kenarortay mız yükseklik varsa Diğer ikisini yapıştır Yani hem bu ikiz kenarda hops Diğer ikisini yapıştırdım geldik buraya açıortay yükseklik gördünüz mü ikisi var ya in ikisi varsa Diğer ikisini yapıştırın Diğer ikisi nedir Arkadaşlar kenarortay Bir de Arkadaşlar bu bir ikiz Kardır haberiniz olsun Demek ki bu dörtlüden ikisini görürseniz Ama tabii aynı doğru parçası üzerinde olacak yani şunun üzerinde olacak açıortayı Burada kenarortayı burada çizmişiz değil tabii ki indirdiğiniz o Tabana indirdiğiniz açıortay kenarortay yükseklik Bunlardan ikisi varsa unutmayın arkadaşlar bu % y00 ikizkenarda Bir de arkadaşlar diğer üçüncüsü de kesim vardır haberiniz olsun güzel bir mantık bunu bu şekilde geçiyorum Buyurun arkadaşlar Tabandan diğer iki ikiz kenara eşit kenarlara çizdirdiği çizdiğiniz yükseklikler Aa toplamı bakın toplamı ikiz kenara çizilen Yani herhangi bu olur Bu da olur sıkıntı değildir Eee yüksekliğe eşittir Bunu unutmayın arkadaşlar pb + pe = HB a ya da arkadaşlar Buna da HC diyelim eş HC olay Anlaşıldı mı mantık bu olay bu o halde Bak bu da önemlidir e ikiz kenarların diklikler birbirine eşittir e açıortaylar birbirine eşittir kenarortayları birbirine eşittir diyeceğiz haberiniz olsun Şu eşit kenarlara çizdiğiniz yani daha doğrusu taban açılarından O daha mantıklı olur bu bizim taban açımızı bu bizim taban açımızı taban açılardan çizdiğiniz yükseklikler birbirine eşittir çizdiğiniz açıortaylar birbirine eşittir çizdiğiniz kenarortaylar birbirine eşittir Bunu da arkadaşlar yabana atmayalım Buyurun arkadaşlar geldik ik tane soruyla bu ifadeyi pekiştirelim hemen hızlı bir şekilde devam edelim buun arkadaşlar ikizkenar şöyle bir tane dikmeyi indirdim arkadaşlar ikiz kenarda dikmeyi indirirseniz Diğer ikisi de geçerli Yani bu bir kenarortaydan Ona gerek yok zaten 90 60 şurası Ne oldu 30 açılarına göre özel üçgenleri hatırladık mı 90'ın karşısındaki 4 ise 30'un karşısındaki 2'dir şu uzunluk Ne oldu arkadaşlar 5 birim oldu o zaman şurası da 5'tir adam benden neyi istiyordu Burası bizim D olsun DC istiyordu arkadaşlar DC neye eşittir 2 5 daha cevap 7'dir şıklardan 7'yi bulursun ve işaretlerseniz yüksekliklerin toplamı taban açısından çizdiğiniz yüksekliğe eşittir O zaman bu 7 ise şurası Ne oldu 7 birim oldu 90 30 şurası Ne oldu arkadaşlar 60 oldu Tamam sen benden ne istiyorsun AB istiyorsun AB istiyorsanız 30'un karşısındaki 7 ise 90'ın karşısındaki 14'tür şıklardan 14'ü bulursun ve işaretlerseniz devam Evet arkadaşlar sim sıra geldi eşkenar üçgenim ie eşkenar üçgenler tüm kenarları eşit olan üçgene eşkenar üçgen denir ve eşkenar üçgenin her bir açısı arkadaşlar 60 60 60'tır Çünkü kenarlar eşitse açılar da eşittir 180'i 3'e böl 60 60 60 Evet Eee çevresi 3A ile gösterilir alanı bunu alanları da size bir daha anlatacağım a k √ 3/4 Bunu unutmayın olay Anlaşıldı mı arkadaşlar devam edelim ikiz kenarda Ben Ne yapıyordum arkadaşlar Tabana indirdiğin dikme hem açıortay hem de kenarortaydan üçgende bütün kenarlar için bu kurallar geçerlidir ikiz kenarda hatırlayalım bir ikiz kenarın Eee taban açısından indirdiğin dikme üç özelliği gösteriyordu burada arkadaşlar hepsi için o kural geçerlidir ve bütün yardımcı elemanların hepsi birbirine eşittir yani A'dan B'den c'den indirdiğiniz dikmeler birbirine eşittir O da eşittir açıortaylar Zaten hepsi aynı zamanda bir açıortay ve hepsi aynı zamanda bir kenarortaydan cı elemanların hepsi birbirine eşittir diyoruz haberiniz olsun Şimdi eşkenar üçgende arkadaşlar önce bir ikiz kenarı hatırlayalım ikiz kenarda hatırlayalım bir Tabandan fış dikme fış dikme Evet bu iki dikin toplamı bir tane dike eşitti Hatırladınız mı e burada Ona gerek yok yani şöyle bir şey E bu Kural eşkenarda da geçerli zaten Onda bir sıkıntımız yok ama burada içeriden de bir nokta alabilirsiniz o noktadan kenarlara fış fış fış indirdiğiniz diklerin toplamı bir tane yüksekliğ eşittir haberiniz olsun hangi yükseklik zaten bütün yüksekliklerin hepsi birbirine eşitti ya sıkıntı yok Olay Anlaşıldı mı ha Aynı Kural Mesela bu eşkenar üçgen için de geçerlidir Mesela diyelim ki şuradan bir tane dikme indirdik şurası x olsun Şuraya bir tane dikme indirdik Burası y olsun o da eş x + Y'ye haberiniz olsun basit ve net olay anlaşılmıştır Umarım geldik Bizim bu sorumuza yine eşkenar üçgende içeriden bir tane nokta aldık arkadaşlar diğer kenarlara paraleller diğer kenara paraleller diğer kenarlara paraleller çizdiğiniz zaman mesela bu kenar buraya paralel bu kenar buraya paralel bu kenar da alttaki kenara paralel paraleller çizdiğiniz zaman paralellerin toplamı bir tane kenara eşittir haberiniz olsun Aynı şey ikizkenar için de geçerlidir Aa bir tane ikizkenar çizelim alt tane ya da eşkenar üçgen de olabilir aynı şey buradan bu kenara bir tane paralel hops çizdik şuradan da şu kenara paralel bir tane hops çizdik Onu da maviyle göstereyim a a o zaman ben buraya x ben buraya y dersem x + y neye eşittir A'ya şuraya a deseniz olay bitmiştir Umarım olay anlaşmıştır arkadaşlar mantık bu olay bu ama eşkenar üçgende içeriden çizebilir Ken ikizkenarda içeriden çizmi musunuz bu da bir eşkenar olursa yine sıkıntı değil yani ikiz kenardaki Bütün özellikler eşkenar için de geçerlidir haberiniz olsun olay Anlaşıldı mı mantık bu olay bu 3 paralelin toplamı bir kenara eşittir 3 dikin toplamı bir tane dike değiştir diyebilirsiniz alttan Tabandan da bir tane dikme çizebilirsiniz sıkıntı yoktur yine ik dikin toplamı yine bir dike eşittir haberiniz olsun Şimdiki konumuz üçgende alan ne oluyor Arkadaşlar bu üçgende alan konuya girmeden önce YouTube kanalına abone değilseniz abone olmayı unutmayın arkadaşlar videoyu beğenip yorum da atarsanız beni mutlu edersiniz Buyurun üçgende alan ne demektir arkadaşlar ABC gibi bir üçgenim olsun üçgende alan Yani bir üçgen alanı şöyle bulunuyor taban çarpı 10A ait yükseklik bö 2 taban tabanımız a a x Tabana ait yükseklik ha bö 2 ik dik kenarın çarpımı böl 2'dir O da diğerinden esinlenerek Ben bunu söylüyorum ABC üçgen alanı mı istiyor şuraya a diyelim şuraya C diyelim şuranın alanı is Eğer Bunlar birbirine dikse zaten bu taban yüksekliği C oluyor a x c / 2'dir haberiniz olsun Eğer dik üçgensel hemen iki kenar iki dikin çarpımı böl 2'dir şimdi hocam açımız geniş açılı ise Şimdi burası bizim geniş açımız arkadaşlar geniş açıda A'ya ait çizeceğiniz dikme yani a tabanına ait çizeceğimiz dikme arkadaşlar üçgen içerisinde olmaz üçgenin dışında oluyor işte geniş açılarda böyle bir sıkıntı var şimdi A'ya ait hemen dikmeyi çizemiyorum dışarıya taşıtım hemen doğrunun uzunluğunu hops aşağı doğru indirdik yüksekliğ imizi çizdik diyorsunuz ki taban a Tabana ait yükseklik üçgenin dışında çizildi ha / 2'dir Umarım olay Anlaşıldı arkadaşlar mantık bu olay bu ama dar açılarda Tabana ait yükseklik her zaman üçgenin içinde çizilirken geniş açılarda arkadaşlar E tabii ki Tabana ait yükseklik ha bu acyi taban Kabul ederseniz tabii ki üçgen içerisinde çizilir Ama onun dışındakiler arkadaşlar hiçbirisi üçgen içerisinde çizilmez haberiniz olsun devam edeyim geldik Bizim bu sorumuza şimdi ABC'nin alanı isteniyor şimdi ABC'nin arkadaşlar tabanı belli 6 Şimdi benim bu Tabana ait yüksekliği bulmam lazım hops şöyle bir tane dikme indirsem 90 45 şurası da 45 olur 90'ın karşısındaki 5 K2 ise dik ler 5'e 5'tir H şurası 5 şurası 5 ama gerek yok benden şuranın alanını istiyorlar Tamam taban 6 yükseklik 5 alan 6 x 5/2 cevap 15 olur şıklardan 15'i bulursun ve işaretlersek bu sorumuza Arkadaşlar biraz çarpanlar ayım bileceğiz nasıl biraz çarpanlar ayım bileceğiz şuraya a desem şuraya B desem Eğer bunun çevresi 22 ise A + B 12 olur a + B'yi 12 buldum Güzel hocam a + B'yi 12 bulduk tamam bunda bir sıkıntımız yok Şimdi bir de Pisagor bağıntısını kullanalım Pisagor bantı arkadaşlar neydi a k + b k = 10un karesi yani 100'e şimdi Arkadaşlar benden alanı istiyor a x b b 2'yi istiyor ik dik kenarın çarpımı bö 2 onu da hemen altına yazalım a x B2 eş soru işareti Aa Şimdi arkadaşlar a k + b kare belli a + b belli a x b / 2 istiyor çarpanlara ayırma a kare + bunun da hemen altına yazalım a k + b k = 100 diyelim Evet 100 şimdi a k + b k neye eşitti çarpanlar aymadan biliyorum A + B'nin karesi - 2 ab a k + b kareyi zaten bize 100 olarak vermiş a + BM neydi 12'yi 12 karesi 144 100'ü bu tarafa attım 44 -2 ab'yi bu tarafa attım 2ab 44 ab'yi 22 bulduk soruda bizden a x B2 istiyordu cevap 11'dir şıklardan 11'i bulursun ve işaretlerseniz çarpanlara ayırmayı bilirseniz Arkadaşlar bu sorunun canını okursunuz geldik buraya alanlardan Arkadaşlar şu x'i bulabilirim ben sana nasıl bulabilirim izleyin beni şu üçgene odaklanalım ş b alanı bulun desem taban Tabana ait yüksek b 2 Doğu mu arkadaşlar tabanımız 4 yani şuraya Ben a diyim B diim C diim alan ABC 4 x 12/2 4 x 12/2 arkadaşlar tanı x kabul etseniz yüksekliğ 3 değ x 3/2 3 böldüm 4 x 16 oldu şıklardan 16'yı bulursun ve işaretlerseniz 12 He şurası 12 güzel şimdi AE 8' miş şu yüksekliği 8 Yani bu ABC üçgeninin Eğer BC yi taban kabul edersem ona ait yükseklik 8M miş o zaman benden şunu istiyor alan a d c Evet yani şuradan alanını istiyor O zaman ben bu büyük alandan alan a c'den şu minik alanı çıkartırsam soru biter alan a BC - alan bdc Tamam alan ABC hemen bulayım taban 12 yüksekliğ imiz 8 12 x 88/2 ek alan BD cyi de bulurum ben sana taban aynı taban 12 yüksekliğ imiz DF 3 demiş 12 x 3/2 ne çıkarsa cevap buur Umarım olay Anlaşıldı arkadaşlar mantık bu olay bu süper bir sorudur hocam çarpanlara yine çarpanlar Arkadaşlar bir noktadan sonra kullanacağım şöyle kullanacağım Şimdi arkadaşlar normalde adam benden ne istiyor alan ABC'yi istiyor ya Yani şunu istiyor şu iki kenarın çarpımı bö 2 yani x k + 3x B 2'yi Bizden istiyor Onu bir kenara bir defa bir yazalım Şimdi burada Pisagor bağısı kullanalım mı x kar + şunun karesini alalım x k 6x + 9 = 25 25'i bu tarafa atalım -1 şey -16 olur 2x K herkesi 2'ye bölelim x k + 3x Hatta şöyle yapalım 99'u direkt karşıya atalım eş 16'yı 2'ye böldük ya eş 8 oldu bak bir daha anlatıyorum şu 2x K şu 6x eş 16'ya herkesi 2'ye böldüm x kare + 3x = 8'e Bazı arkadaşlarımız burada x'i bulmaya çalışıyorlar ne yapmaya çalışıyorsun Ne yapmaya çalışıyorsun Zaten bulduğun şey zaten adam senden istiyor adam x k + 3x / 2 istiyor sen de bana x k + 3x 8 buldun neyine x'i bulmaya çalışıyorsun ki Bazı arkadaşlarımız burada x'i bulmaya çalışıyorlar diskriminantı kullanıyorlar çarpan arayı kullanıyorlar gerek yok zaten istenen şeyle bulduğun şey aynı şey böl 2 deyin Hani x kare + 3x 8 ise 2'ye bölünce cevap Ne oldu Cevap 4 oldu şıklarda 4'ü bulursun ve işaret dersin Haydi yolumuza devam Evet arkadaşlar yükseklikleri aynı olan üçgenlerin alanları oranı tabanları oranına eşittir biraz burada oran orantıyı kullanacağız Daha doğrusu doğru orantıyı biraz kullanacağız izleyin İzleyin İzleyin ABC üçgeni arkadaşlar Evet ABC üçgenini 2ye böldük Tam da şuradan Arkadaşlar şöyle bir ikiye bölelim eşit miktarda bölmüyor yanlış anlamayın Bir doğru parçasıyla böldük şimdi bu üçgen alanıyla bu üçgen alanı biz nasıl bulacağız hocam yükseklikleri aynı şimdi bu üçgenin de alanı bulunurken taban çarpı yükseklik bö 2 şu üçgende alanı bulunurken a şu üçgen alanda bulunurken taban çarpı yükseklik bö 2 yükseklikler eşit yükseklikler arkadaşlar aynıysa alanlar oranı alan ABC B alan aşe ABD B alan ADC alan ABD B alan ADC n / n' eşittir haberiniz olsun tabanlar oranı alan alanlar oranı tabanlar oranına eşittir tabanlar oranı da alanlar oranına eşittir Buyurun mesela 2'ye 8 tabanları verilmiş aynı üçgenden bahsediyoruz daha doğru Aynı yükseklikte sahip 2 üçgenden bahsediyoruz 3 katı 3 katı şurası 24 olur ya da ya da ya da ya da ya da ya da 4 katı görüyor musunuz 4 katı 24 olur olay Anlaşıldı mı oran orantı doğru orantıyı kullanacaksınız Tamam geldik buraya Şimdi Demiş ki al 2 tane lcy eşitmiş ben bu LC 1 desem ya da 1K desem al 2K olur şurası 2K olur şimdi Bazı arkadaşlarımız diyor ki hocam K 4 ise 2K 8 olur tamam da burada üçgen yok ki A hemen üçgenim ii oluşturduk şimdi yükseklikler eşit zaten görüyorsunuz Tamam şu iki üçgenden bahsediyorum Ak C'nin içerisindeki şu iki üçgenden bahsediyorum arkadaşlar tabanlar oranları alanlar oranına eşittir ya da doğru orantı K 2K 2 katı 4 şurası da 8 oldu şimdi geldik büyük üçgene ABC üçgenine a tabanlar eşit o zaman alanlar da eşittir 12 ise şurası 12 olur olay Anlaşıldı mı arkadaşlar şurası 12 ise o zaman şurası da 12 olur Çünkü tabanlar birbirine eşitse alanlar da eşittir haberiniz olsun geldik bu sorumuza şimdi ede K diyelim Nerede bu edemiz Ed k a AE 2K oldu şurası 2K güzel Devam edelim bde bde neresi oluyor şurası oluyor Ben Buray Mustafa'nın m desem DC 3 m Evet şimdi Arkadaşlar bu büyük üçgene odaklanalım büyük üçgende Eğer m a ise 3M şurası 3A olur doğru mudur toplamı 4A 72 ise 4A 72 ise A buradan kaç oldu arkadaşlar hu hu hu 72'ye 4'e böleceğiz 72/4 1 k 4 4 32 18 mi çıktı Evet a'mi 18 buldum O zaman 3A Ne oldu arkadaşlar 3 a' mız 54 oldu Evet 54 E bu da k'ya 2 kaydı He bak bak bak bak bak bak bak bak bak toplamı 3K Evet toplamı 3K zaten süper Eğer k'ya 2K ise tamamında 3A İsa O zaman ben bunu A'ya 2A diye dağıtabilirim evet soruda benden ne istiyor alan e a e a 2a'yı istiyor arkadaşlar 2 a' da 36 olur a a Çünkü ben a'yı 18 bulmuştum soru bitmiştir Arkadaşlar bir daha anlatıyorum m'ye 3M oranla altta gördüm A'ya 3A olur Bu da k'ya 2K olduğu için A'ya 2A oldu soru bitmiştir toplam kaç A oldu 4A 72'den a'yı 18 buldum Benden 2a'yı istiyor 2 adı arkadaşlar 36'dır şıklardan 36'yı bulurum ve işaretlerim Buyurun geldik Bizim bu sorumuza şimdi ad K dersek ad şuraya K dedim DC 3K mı oldu Evet şimdi Tamam da bu k'ya 3K E tamam da bu üçgen değil ki H süper Şimdi bana şuranın alanını bulabilir misiniz Tabii ki bulabiliriz hocam Hatta ve hatta K Eğer a İsa 3K 3A olur toplamı 4A olur eş taban Ç yükseklik b 2 6 x 88/2 güzel a buradan 6 çıktı sonra benden ne istiyor alan d d e c 3 aı istiyor 3 K 6 cevap 18'dir arkadaşlar hops üçgeni oluşturdum şimdi k'ya 3K İsa A'ya 3 a'dır dedim toplamı 4A 6 x 88/2 4E 4E böldüm 2 2 2'yi götürdü A 6 çıktı adam benden 3A istiyor 3 a'yı da bu şekilde bulmuş olduk A'ya 3E geldik alt tarafa ben buraya B desem ben Şuraya da C desem bir sıkıntı olur mu Hayır şu üçgende Evet evet alanlar oranı tabanlar oranın eşit alanımız ne a + b bö alanımız ne a + c eş tabanlar oran e tabanlar oranına eşittir yani 88/6 eşittir burada bir sıkıntımız arkadaşlar var mı Hayır devam ederim Bir de şu ABC'nin tabanlarını alttaki doğru parçaları kabul edelim tam alanlar oranı yani a + c / a + b güzel a + c / a + b a + c / a + b 9 / x eş soru bitmiştir Bence Bak bunu ters çevirelim aynı şey oluştu a + c / a + b a + b / a + c bunu ters çevir aynısı oldu yani 8/6 eş x / 90 İçler dışlar çarpm x'i bulursun soru bitmiştir ne yaptım Arkadaşlar şu ABC üçgeninin önce tabanları 8E 6 kabul ettim Tamam alanlar oranı şunun arkadaşlar gördüğü alan a + b'dir şu tabanın gördüğü alan a + c'dir a + b / a + c = 88/6 sonra ABC üçgende baktım alttaki tabanları bu sefer taban kabul ediyorum gördüğü alan a + C'ye a + b a + C'ye + B 9/2 eştir alttakini ters çevirdim aynı şey çıktı birbirine eşit İçler dışlar çarpım yap x'i bulursun soru bitmiştir Haydi yolumuza devam Evet arkadaşlar sinüs alan formülü sinüs alan formülü nedir dediniz ki hocam iki tane kenar Bir de aradaki açı bize verildiği zaman sinüsten de ben sana bunun alanını bulurum b x c / 2 x sinüs Alfa Şimdi arkadaşlar şurası 90 olduğu zaman biz b x c / 2 demiyor muyduk Evet işte sinüs 90'ın 1 olduğunu zaten bildiğimiz için sinüs 90'ı kullanmıyorsunuz Demek ki neymiş aradaki açı 90'dan farklı bir açı ise diyorsunuz ki b x c / 2 x sinüs Alfa Evet sinüs xi zaten biliyorsunuz dik açılarda arkadaşlar karşı bölü hipotenüs yani m b n Evet bu sana Sinüs x yani o açının sinüsünü verir haberiniz olsun karşı bölü hipotenüsü soru şey sinüsün formülü de bu şekilde oluşuyor şimdi sinüsler -1 ile 1 arası aralığındadır Biz bunu zaten trigonometri size adam akıllı göstermiştik sinüsün alacağı en büyük değer 1'dir 1den büyük olamaz sinüs 90 zaten 1'dir bunu zaten biliyoruz adam bana böyle bir ifade verdi Dedi ki maksimum ABC'nin alanı nedir dedi şimdi arkadaşlar şuraya Alfa deseniz alan 6 x 10/2 x sinüs Alfa değil mi E benden bunun alanı en büyük isteniyorsa E sinüsün alacağı en büyük değer Neydi 1'di A 1den büyük olamaz ki cevap 6 x 10/2 den soru bitmiştir demek ki alanın en büyük değeri istendiği zaman aradaki açıyı 90 alın Çünkü sinüs 90 en büyük değerini alır 1 değerini alır soru bitmiştir buyurun Ulu formül alan formülü Şimdi arkadaşlar çevre verildiği zaman Yani bütün kenarlar bize verildiği zaman biz u formülünden u ne demektir arkadaşlar çevre b 2 Demek ki neymiş tüm kenarlar bize verildiği zaman biz çevreden yola çıkarak alanı da bulabiliriz önce arkadaşlar çevre B 2ye Biz u diyeceğiz süper şimdi alan abc eş kök içerisinde çevre b 2 u x u - a u - b u - c'dir haberiniz olsun Şimdi 6 7 5 dedi benden alan ABC'yi istedi kolay önce bir uzu bulalım çevre hepsini toplayın 18/2 a Hocam 9 çıktı tamam alan eş kök içinde 9 x u x e 99'dan 6'yı çıkar 99'dan 7'yi çıkar 99'dan 5i çıkar hepsini birbiriyle çarp 9'dan 6 çıktı 3 99'dan 7 çıktı 2 bmi 366 6 k6 şıklarda bulursun ve işaret şimdi ben sana ekstra bir soru soracağım Şimdi arkadaşlar Her kenar belliye uan alan bulunur diye bir şey yok bunun garantisi yok şimdi ben bu 6 7 5 sildim Evet şimdi başka değerler yazalım arkadaşlar hangi değeri yazıyorum şuraya 2 K3 diyelim şuraya √1 diyelim Şuraya da 5 diyelim a Şimdi adam benden bunun alanını istedi bütün kenarlar belli bana burada uyu kullanamazsın ki Çünkü arkadaşlar uun Y uun bulunabilmesi için Çevreli Yani bütün kenarların toplanabilir olması lazım Allah aşkına 2 K3 √1 toplanır mı o zaman bir defa bu u formülü gitti yani u'dan alan bulmayı bir defa o bir hikaye oldu Geç o işleri Şimdi arkadaşlar Ben diyorum ki kendi kendime şurası 90 olsa idi yani Burası 90 mı değil mi Onu bir deneyeceğim Pisagor bandını kullanın a Pisagor çıktı 2 K3 karesi 12 √ 13'ün karesi 13 topladım 25 eş 5 kares 25 o süper demek Şuradaki açı arkadaşlar kaç dereceymiş 90 dereceymiş şimdi alan ABC mi istiyor alan eş 2 K3 x ö1 / 2'den soru bitmiştir demek ki şu üçgen arkadaşlar Eee iki kenarı dik olan bir üçgen oluyor anlatabiliyor bir açısı 90 D olan bir üçgen oluyor Ondan dolayı zaten 90 olduğunu tespit ettim şurası olmasaydı dedim belki Burası 90'dır diye tahmin ediyordum ya da burası belki 90'dır bilmiyorum üst tarafı denedik kareler toplamı dedim kökü yok edeyim bak tuttu a arkadaşlar tuttuysa Pisagor bını uygulayabilir isse şurası % 10000 diktir diye düşündü yani diktir zaten düşünmemek gerekiyor ve alanı bulduk Buyurun arkadaşlar geldik Bizim bu sorumuza ha Bunun cevabı ne çıkıyor 2 2'yi götürdü cevap √ 39'dan bulursun ve işaretlerseniz buna oynak nokta diyoruz şöyle bir şey D1 d2e paralel tabanlar Tabii ki birbirine eşit olacak Arkadaşlar şu noktayı şuraya çeksem şunun alanı ile yani A B C'nin alanı ile AC C üsü B'nin alanı aynıdır haberiniz olsun Ben bunu biraz Daha uzatayım bunu biraz Daha uzatayım Tabii bunlar birbirine paralel Ha şu C'yi uzattım şuraya getirdim getirebilirsin sıkıntı değil Ah noktamızı buraya getirdik C 2 üstü olsun a bütün alanların hepsi birbirine eşittir olay Anlaşıldı mı niçin taban aynı e D1 d2e paralel o zaman yükseklikler de aynı taban aynı yükseklik aynı o zaman alanlar da aynıdır haberiniz olsun geldik bu soruya şu doğru şu doğruya paral vermiş benden şu tarf alanı istiyor Ben de dedim ki bakın izleyin İzleyin İzleyin İzleyin Aa şu bizim oynak noktamız olsun Şu noktayı kenara kaydırırım şunu tutup a şuraya kaydırmak istiyorum Nasıl bir şey oluştu biliyor musunuz bakın izleyin İzleyin İzleyin şunu tuttum şuraya Kaydır hops şöyle bir şey oluştu O zaman ben buraya a desem şurası da a olay Anlaşıldı mı sadece şu noktayı tuttum hop C noktasın üstne getirdim C noktasın üstüne getirdiyse şöyle bir alan oluştu süper e tabanımız 3 Burası geniş açı Çünkü yüksekliği dışarıda Vermiş Tam ğim kaç birmiş 4 birmiş Tamam buranın alanını bulalım alan eş tabanımız 3 bu Tabana ait yükseklik 4 birim 3 x 4/2 cevap 6 olur şıklardan 6'yı bulurum ve işaretlerim ne yaptım arkadaşlar hızlı bir şekilde Özet geçiyorum D1 d2e paralel şu aradaki alanı istiyor F noktasını tuttum oynak noktalardan Ben bunu biliyorum tuttum cin üst getirdim hops şöyle bir ifadem oluştu E bu A İsa şu da a'dır tamam alan eşittir tabanımız 3 bu Tabana ait yükseklik geniş açı olduğu için yüksekliği dışarıda bize vermiş yüksekliğ imiz de 4 3 x 4/2 soru bitmiştir Hai yolumuza devam üçgende açıortay ne oluyor bu üçgende açıortay arkadaşlar AC bizim bir açıortay olsun açıortay üzerinden aldığınız herhangi bir nok nanın Mesela bu C noktasını alalım arkadaşlar kollara çizdiğiniz dikme uzunlukları birbirine eşittir açıortay üzerinde herhangi bir noktasından kollara dikmeler eşit uzunluktadır haberiniz olsun ha dikmeleri çizdiniz Ya şu ad eş ABD aynı zamanda haberiniz olsun olay Anlaşıldı mı yani şu doğru parçaları da birbirine eşittir şimdi alan ABC şuranın alanıyla şuranın alanları da birbirine eşittir Arkadaşlar bu aynı zamanda bir simetri ekseni oluyor haberiniz olsun yani sanki açıortay mız tam böyle komple alanı ne yaptı fırt ikiye böldü tam ortadan ikiye böldü haberiniz olsun eş şekillerden dolayı şurası yla şurası arkadaşlar eş şekillerimiz oluyor haberiniz olsun devam edelim Hadi bakalım Bu sorudan başlayalım şimdi alan abd'yi Bizden istiyor Süper bu bir açıortay mı Sağdaki kol bir dikme çizilmiş soldaki kola da bir dikme çizersen dikmeyi biraz eğri çizdim ama olsun arkadaşlar şunlar birbirine eşittir açıortaydan dolayı 4 oldu mu adam benden alanı mı istiyor 6 x 4/2 dirir olay Anlaşıldı mı arkadaşlar taban çarpı yükseklik böl 2 E hadi alttaki sorumuza bakalım Hocam bu bir açıortay A bu bir açıortay ise şu dikme ile şu dikme uzunluklar birbirine eşit mi 4 4 O zaman şu ad uzunluğuyla şu a Bilmem Şuraya da H diyelim Ah uzunluklar da birbirine eşit midir Evet bakın burada gösterdim ya O zaman şu doğru Parçalar da birbirine eşitlikleri uzunsa 6 İsa şuraya 6 kaldı şuraya Ne kaldı 3 kaldı 3 4 5 oldu soru bizden Neyi istesin cb'ye istesin CB eş soru işaretidir ve cb'ye de bu şekilde bulmuş oldum geldik Bizim bu sorumuza bizden x'i istiyor bak bak bak bak bak bir açıortay şu dikme ile şu dikme uzunluklar birbirine eşit mi Evet o zaman 90 45 şurası Ne oldu 45 oldu Aa 90 45 45 90'ın karşısındaki 45'likler kök katıydı e √2 katı eğer 3 k6 İsa demek şurası 3 K3 şurası 3 K3 Evet e burası da burasına eşitti o zaman Burası da 3 K3 süper e soru bitti 60'ın karşısındaki 3 K3 ise 90'ın karşısındaki 6'dır Hani 60'ın karşısındaki 90'ın karşısındakinin yarısının √3 katıydı soru bitti geldik alttakine benden x'i istiyor açıortay mı dikme çizilmiş mi Bir tane de dikme kendim çizeyim şurası 5 ise şurası da 5 midir hocam buraya a diyelim Tamam diyelim ha ab a ise ab a dedim AC ne oldu a + 12 oldu Ha şu dikmeler birbirine eşitse şu doğru parçaları da birbirine eşitti hops a İsa Burası da A oldu tamamı da a + 12 ise alt tarafa Ne kaldı 12 kaldı a 5 12 konuşma 13'ü işaretle ve hızlı bir şekilde diğer soruma geçin Şimdi arkadaşlar Şimdi burası 8 Bakın bu bir açıortay açıortaydan sol tarafa bir tane dikme çizilmiş Arkadaşlar şu CB koluna dikme çizemezsin içeriden çizemezsin daha doğrusu niçin 8 uzunluğu var uzunluk 8 birim e burası 5 birim He evet o zaman Burası da 3 birim oldu ki burası burasına eşit olsun süper o zaman Burası da burasına eşit oldu 4E 4 oldu 3 4 Burası 5 oldu buraya Alfa desem şuraya Alfa desem şurası da şurasına eşit oldu mu bakın 5 5 Alf İsa Alfa a z kuralım iç ters açılar Burası Alfa Z kuralından iç ters açı da eğer varsa o zaman şu doğru parçası şu doğru parçasına paraleldir o zaman paralel 90 İsa şurası 90'dır 4 5 benden AC istiyor soru bitmiştir AC x diyelim şurası 4 şurası 5 A şurası da 90 arkadaşlar Pisagor bısı uygular mısınız Pisagor bısı der ki x kare 4ün kar + 5 kares 5 kares 25 4ün karesi 16 toplayın 41 maşallah 41 kere maşallah x buradan ö 41 olur şıklardan ö 41 bulup işaretlerseniz ne yaptım 8 açıortaydan dolayı AB koluna dikme mi inmişim o zaman benim AC dikme indiremiyorum Çünkü 8 Birimden dolayı 8 birimlik olması lazım ki dikmeyi indireyim o zaman dikmeyi indirdim Burası burasına eşit 8 ise 3 olur 3 4 5 Alfa Alfa 5'e 5 eşitliği gördüm Burası da Alfa baktı iç ters açılar oluştu o zaman Bunlar birine paralel 90 İsa 90 soru bitti haydi yolumuza devam Evet arkadaşlar şimdi geldik 2ci özelliğimiz açıortay şu çizdiğiniz açıortay indiği kenarı kolları oranla böler Nasıl yani arkadaşlar c / b = m / n olay Anlaşıldı mı Ya da açıortayı çizdiğiniz zaman İçler dışlar çarpım yapabilirsiniz yani n x c m x B'ye eşittir bakın İçler dışlar çarpım yapınca aynı özellik çıkıyor haberin olsun geldik buraya 2 ise şurası 2K 5 ise şurası 5K İçler dışlar çarpımı yapın 10K = 10K doğru 4E 3 ise 4K ya 3K dır kollar oranı kenarlar oranına eşittir bakın açıortay kollar oranı kenarlar oranına eşittir haberiniz olsun Buyur geldik Bizim bu sorumuza şimdi şimdi şimdi şimdi ben buraya x desem İçler dışlar çarpım yapalım hadi bakalım 4x = 6 x 6 36'dan x'i ne buldum 9 buldum E tamam da çevreyi istiyor 6 9 10'u toplayın Ne Çıkarsa soru bitmiştir geldik alttakine evet evet evet evet ab ab DC eşit x'e x diyelim mi İçler dışlar çarpım yapalım açıortay ya Hadi bakalım x k eş çarpalım 12 36 mı etti Evet 3 K 4 12 √3 √ 3'ün çarpımı da 3 36 x buradan ne çıktı 6 çıktı Soru benden zaten a 6'yı istiyor şıklardan 6'yı bulursun ve işaretlerseniz Buyurun geldik Bizim bu sorumuza benden şu x'i istiyor He ben dedim ki 3 ise 3K 5 ise tamamı 5K bak bak bak bak bak açıortay dikmeler birbirine eşitti Hatta şu uzunlukla şu uzunluk da bir eşittir 3K İsa 3K o zaman alt tarafa Ne kaldı 2K soru benden ne istiyor soru Bizden xi istiyor Tamam hemen bulalım 3 4 özel üçgenden dolayı 3K 5K şurası da 4K 3 4 5i biliyorum değil mi 3K 3K 4K 5K k2d 4K 8E k'yı 2 buldum tamam K2 ise şurası Ne oldu arkadaşlar 6 oldu 3 6 xim Ne oldu 35 haberiniz olsun K 36 3 K 9 45 35 güzel ya da ik dik kenar bir birinin yarısı ise ya da 2 katıysa küçük olanın √5 katıdır hipotenüs her zaman bunu unutma güzel geldik Bizim bu sorumuza Evet ABD üçgeni ABD üçgeni ad üzerinde şunu Arkadaşlar şöyle bir katlama yapıyoruz hops katladık 4 şurası 4 şurada bir açıortay oluş arkadaşlar bütün katlama sorularında her zaman aç ortay oluşur haberiniz olsun güzel 4 ise 4K 6 ise 6k Hani kollar oranı bacaklar oranına eşittir Bunu unutmayın güzel katlandığı için 4K İsa 4K şunlar da bir eşittir şunlar da g eştir süper o zaman alt tarafa Ne kaldı 2K soru bizden ne istiyor AE / AC AE AC yani 4K / 2K + de de' miz de 4'tü klar birbirini götürdü cevap 6'dır şıklardan 6'yı bulursun ve işaretlerseniz [Müzik] 4 olur 4K İsa 4K olur 4K ile 6 k'yı nasıl bulduk açıortaydan dolayı kollar oranı bacaklar oranına eşittir haberin olsun geldik Bizim bu sorumuza A yükseklik kenarortay o zaman Arkadaşlar bu bir ikiz Kardır ve şurası da bir açıortay güzel açıortayı büyük üçgende düşünürseniz 4 4K 5 ise 5K kollar oranı bacaklar oranına eşittir güzel e 4K İsa bu bir ikiz kenarda şurası da 4K alt tarafa K kaldı soru bizden ad / dcy istiyor ad / DC yani 4 şıklardan 4'ü bulursun ve var süper AE bunun altında gözükmeyen birimiz var AE 2 ise 2K diyelim edk Evet açıortayı gördük mü e kollar oranı bacaklar oran eşitti Burası x ise şurası 2x k'ya 2K ise x'e 2x x'e 2x ise büyük üçgeni düşünelim açıortaydan dolayı yy 2y BC x + y eş 12 imiş soruda kendisi bize vermiş çevreyi istiyor çevrenin toplamı arkadaşlar 3x + 3yd x + y 12 ise 3x + 3y neye eşittir arkadaşlar 3x + 3y 36'dır şıklardan 36'yı bulursun ve işaretlersek k e açıortay şu ABD üçgeninde bacaklar oranı kollar oranına eşittir dedim Güzel o zaman 2x x k'ya 2 k İsa x'e 2x x'e 2x Y'ye 2y uzunluk 12'yi soru bitmiştir demek ki arkadaşlar Demek ki arkadaşlar açıortay verildiği zaman açıortayda kollar oranı bacaklar oranına eşittir yani c b b eş n olay Anlaşıldı mı Ya da içler dışardan dolayı hemen açı ortay gördüğün zaman direkt İçler dışlar çarpım yapabilirsiniz NC eş NB Haydi yolumuza devam Evet arkadaşlar geldik son özelliğimiz bu sefer de dış açıortaydan biraz size bahsedeyim arkadaşlar a d bizim ana üçgenim bakın ana üçgenim şu a b d dış açıdan bir tane açıortay çizdim ama yeni bir üçgen oluşturmak zorunda bakın yeni bir üçgen oluşturmuş Nasıl yani arkadaşlar bakın şöyle bir tane üçgenim var bu bizim Dış açı bir tane açıortay oluşturdum ama dış açıortay üçgen oluşturmuyor ki üçgen oluşturmuyor Arkadaşlar bu Kural geçerli değildir yeni bir üçgen oluşturacak oluşturacaksınız aah C nok başlayalım c'den ilk kenara kadar c / c + a eş b b d olay Anlaşıldı mı arkadaşlar dış açıortayın o kenara değdiği noktadan başlıyorsunuz C'nin C + A'ya oranı B'nin D'ye oranı bitti bu kadar Hadi bakalım geldik buraya dış açıortay Bu Değil mi arkadaşlar hop o Zan diyorsunuz ki X'in x + Y'ye oranı x / x + y = m'nin nye oran bitti bu kadar o Anlaşıldı geldik buraya a dış açıortay gördünüz mü Dış açı ortay İsa X'in a burasının 5 olduğunu biliyorum ha dik üçgenden biliyorum X'in x + 3'e oranı eşittir 5'in şe 4'ün 5'e oranı olay Anlaşıldı mı sağdan başladıysanız sağdan gidin sağdan başladıysanız sağdan gidin soldan başladıysanız soldan gidin olay Anlaşıldı mı mantık bu ha Bundan sonrası kolaydır İçler dışlar çarpım yaparsın x'i bulursun geldik bu sorumuza Evet hocam bu bir dış açıortay a c noktasından başlayalım şuraya x diyelim şuraya y diyelim X'in x + Y'ye oranı x x + y 3ün 4E oranı olay anlaşı İçler dışlar çarpımı 4x 3x karşıya attım x 3y xiz neymiş Arkadaşlar 3y benden ne istiyorsun alan ABD a şur alanı 24m dur 24 mü e y 24 ise 3y AB de istiyor değil mi AB pardon pardon ben ne yapıyorum ya Bir saniye neresi 24' müş ya ADC ADC Pardon Burası 24' müş Tamam burası 24 Şurayı istiyor Ah arkadaşlar alanlar oranı kenarlar oranın eşit değil miydi ya da 3ye y 3'e bölünmüş o zaman Burası ne olur arkadaşlar 24'ü 3'e bölün cevap 8'dir olay bitmiştir geldik Bizim bu sorumuza bazen de arkadaşlar dış açıortaylar gizlidir Sen kendin bulacaksın Bak izle bunu böyle Bir uzatayım 30 75 şurası 75 değil mi Evet çünkü toplamları 180'e vermesi lazım a Ana üçgenim bu bak bak bak bak bak bak bak bu bizim ana üçgenim O zaman bu bir Dış açı ortay oldu Evet dış açıortay C noktasından başlayalım adam benen ne istiyor alan ABD Ben sana buranın alanını bulurum abdnin alanını bulurum benden ABC tamamının alanı istiyor alan AB d = 6 x 4 b 2 x sin30 sinüs formülü sinüs alan formülü sin3 1/2 6 çıktı şuranın alanı ne çıktı arkadaşlar 6 çıktı E hadi burasına m şurasına n m / m + m / m + n 4/6 eşittir İçler dışlar çarpma 6m 4M bu tarafa attım 2m = 4n yani M = 2E ben bu m'yi silip yerine 2n yazabilir miyim a 2 katı 6 İsa 12 olur adam alan a BC tamamını istiyor cevap 18'dir şıklardan 18'i bulurum ve işaretlerim ne yaptım arkadaşlar iki kenarı belli aradaki açının sinüsü belliye Ben bunu alan formülünden çok rahat sinüs alan formülünden buranın alanını 6 bulduk süper şimdi 30 75 şurası 75 a Dış açı ortay o zaman buraya M dedim buraya n dedim m'nin M + n'ye oranı eşittir 4'ün 6'ya oranı İçler dışlar çarpım yaptım m'yi 2n olarak buldum T da n'nin gördüğü 6 İsa 2 n'nin gördüğü 12'dir toplamı da 18'dir şıklardan 18'i buldum ve işaretledim hocam a 80 ise şurası da 80'dir bu bir dış açıortay oldu Ana üçgenim Bu arkadaşlar ana üçgenim buysa Bu bir Dış açı ortaya X'in x + Y'ye oranı eş 4ün 6'ya oranı sonra zaten bizden x b yi istiyor tamam İçler dışlar çarpımı yapın 6x 2x = 4y yani x = 2y adam x / yi istiyor cevap 2'dir şıklardan 2'yi bulursun ve işaretlerseniz bu sorumuza şimdi şimdi şimdi şimdi şimdi şimdi bu bir dış açıortay ana üçgenim Bu arkadaşlar açıortay bu şuradan başlayalım 8in 8 + x' oranı eş 6 9A oranı sonra da bizden x'i istiyor Gerisi sana ait geldik buraya hem iç açıortayın var hem dış açıortayın var H 3E 4E 3K ya 4k'da kollar oranı bacaklara oran eşitti hatırlayalım artık benim bu iç açı ortayla hiçbir işim kalmadı izleyin beni tamamının da 7 olduğunu biliyorum a tamamı da 7 Şimdi dış açıortaydan Yolumuza devam edelim X'in x 7 oranı eş evet 3ün 4E oranı arkadaşlar bana buradan x'i bulamaz mısın hem de X'in kralını bulursun izleyin ne yaptım iç açıortaydan şurası 3'e 4ü 3K 4K iç açıortay formülünden Kara oranı bacaklara oranı eşittir sonra dış açıdan bu bizim ana üçgenim dış açıortay ilk kenara kadar bölü tamamı yani x / x + 7 = 3/4 soru bitti Şimdiki konumuz üçgende kenarortayı ne oluyor bu üçgende kenarortay konuya geçmeden önce YouTube kanalına abone değilseniz abone olmayı unutmayın videoyu beğenip Bir de yorum atarsanız beni mutlu edersiniz Buyurun arkadaşlar dedik ki BD = DC biz buna kenarortayı diyoruz kenarortay arkadaşlar kenarı Ortan 2ye bölen doğru parçasıdır bitti bu kadar ha en güzel özelliği ve en etkili özelliği kenarortayların hepsi Arkadaşlar bir noktada kesişirler hops ve biz buna ağırlık merkezi diyoruz Şimdi arkadaşlar ÖSYM e ağırlık merkezin kullanmaz kenarortayların kesişim noktası der kenarortayların kesişim noktasına Biz ağırlık merkezi diyoruz ha ağırlık merkezi Arkadaşlar bu bizim ağırlık merkezimiz ise kenarortayı arkadaşlar kenara olan uzaklığına ağırlık merkezinden kenara olan uzak X1 dersek köşeye olan uzaklığı 2x oluyor anlatabiliyor mu kenar x köşe 2x kenara kadar olan uzaklığına y 2y z 2z haberiniz olsun ha ik tane kenarortay çizdik Aa bu da bir kenarortay olsun süper yine Burası bir ağırlık merkezdir ide üçünün kesişim noktasına biz demiyoruz ha zaten ik tane kenarortayın varsa 3üü de % 10000 oradan geçecektir haberiniz olsun yine biz buna ne diyeceğiz arkadaşlar ağırlık merkezi diyeceğiz olay bu kadar basit ve net Demek ki x'e 2x modeli vardır ağırlık merkezinden kenara olan uzaklık x ise köşeye olan uzaklık 2x haberiniz olsun buyurun geldik diğer özelliğimiz arkadaşlar bu bir kenarortay olsun ama bu sefer dikliği vermiş muhteşem üçlü muhteşem 4lü Hatırladınız mı 990 iki kenar eşit 3 kenarda diğer iki kenara eşittir haberiniz olsun ha buradan Tamam ben bunu zaten önceden biliyorum Burada nerede ne olarak kullanacağım Arkadaşlar bu bir kenarortay olsun bu ağırlık merkezimiz is x'e 2x ise şurası 3x şurası 3x ir olay bitmiştir hocam g bir ağırlık merkeziydi g ağırlık merkezi ise g bir kenarortaydan saylar kenarı Ortan ikiye böler hops hops o zaman Bunlar birbirine eşittir yani 2x - 1 = x + 2'den x'i ne buldum 3 buldum x'e 3 yazdım şur 5 şurası 5'tir benden acyi mi istiyordu Evet AC de 10'dur şıklardan 10u bulursun ve işaretlerseniz ise BC istiyor A yine bir tane dik vermiş O zaman uzatalım tıkık kenarortay ya Yani ağırlık merkezi olduğu için bu bir kenarortay süper 88'e yarısı 4'tür 12 oldu muhteşem 4 diyi hatırlayalım 12'ye 12 benden BC istiyor BC de 24 Şan 24'ü bulursun ve işaretlerseniz x yz toplamını istiyor Bazı arkadaşlarımız x'e x / 2 diyor kesirlerle uğraşıyor gerek yok bakın izleyin İzleyin İzleyin buraya a diyelim şurası 2A olsun buraya B diyelim şurası 2B olsun şuraya C diyelim Şuraya da 2C diyelim adam benden ne istiyor 2A 2B 2C toplamını istiyor doğru mudur Sen neyi biliyorsun ad ce Nerede bu ce ve BF BF yani 3A + 3B + 3C sana 48 demiş E tamam da a + b + c 16 oldu E adam 2B 2C 2 B 2A 2B 2 C'nin toplamını istediği için cevap 32'dir şıklardan 32y bulursun ve arkadaşlar geldik Bizim bu sorumuza Aa hocam bunlar kenarortay Bunlar kenarortay İsa şurası bir ağırlık merkezidir o zaman şuradan geçen doğru parçası da tık tık tık tık tık tık tık tık tık tık tık uzatırsam AB kenarına doğru arkadaşlar O da bir [Müzik] kenarortaydan 8 3 ise Hani ağırlık merkezi ya ağırlık merkezden kenara kadar olan uzaklığa x dersem köşeye olan 2x o zaman şurası da 6 6 8 şurası 10 oldu o zaman 5'e 5 şurada bir dikliği var E 90'dan indirdiğiniz kenarortay üç kenarda yüne eşittir o zaman şurası da 5 oldu şurası 5 ise ağırlık merkezinden kenara kadar uzaklığa x dersem diğer uzunluk 2x 5 xim Ne oldu xim 10 oldu şıklardan 10u bulursun ve işlersin ne yaptım arkadaşlar hızlı bir şekilde Özet geçiyorum dedim ki ik kenarortayın kesiştikleri nokta bir ağırlık merkezdir Tamam ağırlık merkezi şu nokta nokta nokta olan yer Eğer x ise diğer tarafı da uzattım Eğer yani uzattık yani şimdi ağırlık merkezi ya kenar 4 o ağırlık Merkez köşe kadar 2 katı 8 burası 6 6 8 10 kenarortay olduğunu biliyorum 5'e 5 A muhteşem 4ü e eşit eşit eşittir Burası da 5 oldu arkadaşlar üç kenar ve diklik gördüğünüz bütün sorularda bu Kural geçerlidir 3ü varsa 4'üncüsü de vardır haberiniz olsun 92 tane kenar birbirine eşitse Bu bir kenarortaydan da diğer iki kenara eşittir Burası 5 ise ağırlık merkezinden dolayı x de 10 olur bitmiştir Haydi yolumuza devam Evet arkadaşlar şimdi sıra kenar kayın alanlarla ilişkisi arkadaşlar hızlı bir şekilde bakalım bir kenarortay kenarortay kenarortay kenarortaylar üçgenin alanını 6 eşit parçaya böler Bunu unutmayın arkadaşlar s s s s s s s Hocam şu ağırlık merkezimiz zaten biliyoruz Evet bu Alt tarafı sileyim Alt tarafı kısa kenarları sileyim kısa kenarları sileyim Burası ne oldu 2s 2s 2s gördünüz mü ya da ya da ya da ya da ya da şu uzun kenarları sileyim uzun kenarları sileyim uzun kenarları sileyim Ne oldu arkadaşlar 2s 2s 2s Gördünüz mü yani Şunu demek istiyorum Kısa kenarı da silseniz uzun kenarları da silseniz ağırlık merkezinden kenarlara ya da köşelere doğru Evet bunları da sileyim Evet yani Şunu demek istiyorum kısacası Burası a ise a a yani eş 3 alana Böler ya da a ise a a eş 3 alana böler haberiniz olsun olay Anlaşıldı mı demek ki kenarortay üçgenin alanını 6 eşit parçaya böler Bunu unutmayın ha ağırlık merkezinden köşelere doğru olan doğru parçalarını sil ü alan oluştu üçü birbirine eşittir ağırlık merkezinden kenarlara olan o e doğru parçalarını silin yine üç alan oluşur haberiniz olsun buyurun geldik Bizim bu sorumuza Hocam 8 177 şurası 15 g bir ağırlık merkezi ise tık tık tıkık tıkık tık ya da düz çizgimizi çizelim Ben öyle nokta nokta nokta yaptım ki A O zaman ben deim kendi kendime SS Stir Burası benden ne istiyorsun alan AB gel bir tanesi istiyor E ben senen büyük alanı bulurum 3 tane sim 8 x 15/2 Evet şurası Ne oldu arkadaşlar 60 mı oldu 3'e böldüm s oldu şıklardan 20'yi bulursun ve işaretlersek bu sorumuza şimdi bu bir ağırlık merkeziydi ama kimin ağırlık merkezi ABC'nin mi ad C'nin mi Bak bak bak bak bak bak bak ad C'nin ağırlık merkeziyiz He yani şunun ağırlık merkezi ona dikkat edelim şimdi buradan bir fış diye doğru parçası çizsem O zaman ben dedim ki kendi kendime şurası s ş s Hani eş 3 parçaya böler diye hatırlayalım bir 12 16 şurası 20'dir o zaman buraya 15 kaldı e arkadaşlar alan alanlar oranı kenarlara oranına mı eşitti Evet 15e 5e 1 ise Burası 3S şurası da Stir 4s'i buldum 4 S 12 16/2 gorsuz Burası arkadaşlar dik olarak verilmiş iki dik kenarın çarpımı böl 2 bana alanı verdi 4 sim Eğer buysa kolay bundan sonra s Zen Bizden s'i istiyor s de ortaya çıktı 4E böldüm 4E böldüm 4 2'yi 2'ye böldüm 6 s buradan 24 çıktı şıklardan 24'ü bulursun ve işaretlersek arkadaşlar ağırlık Merkez dedim o zaman köşeye diğer köşeyi de kendim çizdim s SS Sonra dedim ki bu büyük üçgene göre hesap yapalım alanlar oranı yüksekler eşitse ki yüksekler eşit zaten alanlar oranı kenarları oranına eşittir Tamam kenarları oranı 1 3S s soru bitti geldik Bizim bu sorumuza Evet T soru kolay bir soru Arkadaşlar şu eğer 6ya 6 88'e 8 ise o zaman arkadaşlar bizim bu noktamız ağırlık merkezi o zaman tane kenarortay varsa üncüsü de bir kenarortay a a tamam s s s s s s 6 eşit parçaya böler ya kenarortaylar 6s eş 12 x Çünkü diklik vardı burada hatırlayın 12 x 16/2 buradan bana s'i bulursun ki s ortaya çıktı 6'yı 6ya böldüm 2 2'yi 2'ye böldüm 8 s'i 16 bulduk soru Bizden 2si istiyor cevap 32'dir şıklardan 32i bulursun ve iş Ersin geldik Bizim bu sorumuza Hım g ağırlık merkeziydi dur dur dur dur dur g ağırlık merkezi ise hops hops hops alanı 3'e böldük Burası zaten dikti Tamam Burası s s şurası da s 3S neye eşittir 3S = 6 x 8/2 3'e böldüm 3'e böldüm 2 2'yi 2'ye böldüm 4 s'i ne bulduk 8 bulduk o zaman şurası 8 ise dur dur dur 6 8 Evet şu kenarımın uzunluğu da 10 oldu E tamam da bu s şuranın alanını Zaten ben biliyorum 8M x x 10/2 = 8'den bana buradan x'i bulamaz mısın x buradan 16/10 o da 8/5 bitti bu kadar arkadaşlar ağırlık merkezi köşelere doğru parçaları çizdik alanı 3 eşit parçaya böldü güzel 3 eşit parçaya böldü isse E ben sana büyük üçgen alanı bulurum 6 x 8/2 büyük üçgen alanı arkadaşlar 24 çıkmıştı Pardon s'i 8 bulduk büyük üçgen alanı 24 oldu zaten ben de onu istemiyor şu S'in şu yüksekliğini istiyor Yani şu b g c üçgeninin şu yüksekliğini istiyor E taban 10 dik üçgenden dolayı biliyorum 6 8 10 10 x x 2 8 ise x'i buradan buluruz şimi konumuz eşlik ve benzerlik ne oluyor bu eşlik ne oluyor benzerlik birlikte böyle bir değinelim bütün iç açıları eşit Bak bütün iç açıları eşit ve kenar uzunlukları orantılı olan üçgenlere benzer üçgenler denir arkadaşlar benzer üçgenlerin her zaman iç açıları eşittir Bu unutmayın ha kenarlar da orantılıdır Yani şöyle bir şey düşelim hani biz Bilgisayar ortamında üçgenim Eğer şöyle bir şeyse biraz büyütüyor Uz ya açılar değişmiyor sadece kenarların oranları değişiyor oranı bazen 2 katına çıkartırsınız 3 katına çıkartırsınız Anlaşıldı mı kenar uzunlukları da eşit olursa Yani hem açıları eşit hem kenarları eşitse Biz bunu arkadaşlar eş üçgenler diyeceğiz haberiniz olsun Şimdi bu ABC üçgenim bu DF üçgenim demişim ki ABC benzerdir bunu unutmayalım Arkadaşlar D fy ise o zaman a açısı ile D açılar birbirine eşit yani şurasına Alfa dersek şurası da alfadır B açısıyla e açıları birbirine eşittir şurası Beta ise şurası badır e c açısı da F açısına eşittir şurası teta ise şurası da tadır olay Anlaşıldı mı ha açıların gördüğü kenarlar da orantılıdır mesela a açısının gördüğü kenar ne a böl bu alfanın gördüğü kenar ne d a / d eş Arkadaşlar üsttekiler hep aynı üçgene aittir alttakiler hep aynı üçgene aittir yani şimdi burada ilk başta ABC üçgenini D F'ye oranlık ya bir sonrakinde bunu buna oranlamak hep bu üçgeni bu üçgene oranlayıcı üçgene ait alttakiler aynı üçgene ait unutmayalım Tamam B'nin karşısında ne var B kenarı var burada betanın karşısında ne var E kenarı var eş böe Bitti e tanın karşısında C var tanın karşısında F var o da eşittir C / F'ye O da eşittir k'ya k'ya arkadaşlar benzerlik sabiti denir bunu unutmayalım Ha eğer buradaki K 1 olursa Bu arkadaşlar eş üçgen oluyor çünkü kenarların oranları 1 ise Bunlar birbirine eşittir e kenar uzunlukları birbirine eşit olursa Biz bunlara Ne diyecektik eş üçgenler diyecektik benzerlik Arkadaşlar bu s harfi yan yatmış s harfine benzer ha eşikte ise Bir de altında bir eşitlik görürsünüz haberiniz olsun umarım olay Anlaşıldı arkadaşlar mantık bu olay bu demek ki benzer üçgenlerde açılar eşit kenarlar orantılıdır ha eş üçgenlerde hem açılar eşit hem de kenarlar eşit olay Anlaşıldı mı Hadi bakalım yolumuza devam diyor ki ABC = def F'ye diyor ki ise Alfa nedir benden buradaki alfayı istiyor ABC = D F'ye a açısı D açısına eşit B açısı e açısına eşit C açısı F açısına eşit Ama bakın izleyin a açısı D açısına eşitse a açısı 90 İsa D açı hangi D açısı arkadaşlar DF üçgenindeki D açısı ona dikkat edelim def ef üçgenindeki D açısı yani 90 İsa şurası 90'dır güzel burası Ne oldu arkadaşlar hemen hızlı bir şekilde bulabiliriz Burası ne oldu 50 oldu mesela şurası Ne oldu 80 oldu Tamam şimdi geldik yolumuza devam etmeye B açısı B açısı nedir burada 40 def e'deki e açısına eşittir He şurası da 40 olay Anlaşıldı mı Tamam soru bitti şurası da arkadaşlar ne oldu 30 oldu tamam 180 ya 80 şurası 100 oldu soru bitmiştir doğrusal açı toplamları 180'dir almızrak sorumuza olay Anlaşıldı mı arkadaşlar ABC D F'ye benzermiş o zaman a açısı D açısına eşittir a açısı D açısına eşittir b açısı e açısına eşit ama burada e açısı 3 tane def e'deki e açısından bahsediyorum O da 40'tır C de F'ye eşittir cm 50 ise demek ki F açısı da 50'dir benim burada aslında bir işim yoktu hı Burası ne oldu arkadaşlar 80 şurası Ne oldu 50 90 60 daha Burası ne olur 30 olur burası 100 oldu e doğrusal açıdan soru bitti geldik buraya ABC üçgeni cda c c d üçgenine benzermiş o zaman a A'ya B B'ye şey B A pardon AC C'ye B A'ya C de D'ye arkadaşlar eşittir açılar olarak şimdi bir defa 5 12'den Burası ne oldu burası 13 oldu güzel şimdi a açısı ama ab'deki a açısı yani şunun tamamı C açısına eşitmiş Yani bu a d cdek a şu açıya eşitmiş süper O zaman şu açının karşısındaki kenar ne x x b şu açının karşısındaki kenar ne 12 eşittir devam edelim b b açısı noktalı açı diyelim abcdek B açısı a açısına eşitmiş ad cdek a açısı a şuraya eşitmiş süper o zaman üsttekiler büyük üçgene aitti o zaman önce büyük üçgene bakalım noktanın karşısında ne var 13 böl noktanın karşısında ne var 5 soru bitmiştir Hadi bakalım Buradan x çıkmaz mı arkadaşlar x'i çok rahatlıkla bulursunuz a açısı C açısına B açısı a açısına C açısı D açısına eşittir ama ab'deki a açısı C A'daki C açısına eşittir dedim buradan yola çıktık benzerlikten soruyu bitirdim geldik Bizim bu sorumuza şimdi a b c a b c d e c süper Bunlar birbirine benzermiş o zaman a E'ye B D'ye C de C'ye eşitmiş ama hangi c hangi C'ye eşittir herhalde anladınız a açısı demiş ki e açısına a b açısı ab'deki B açısı noktalı açı diyelim D açısına noktalı açı C açısı abcdek C açısı a çizgili açımız ol olsun Ed cdek C açısına eşitmiş süper Sen benden ne istiyorsun Dur Dur Dur Dur Dur Dur Dur şu küçük üçgeni büyük üçgeni ya da üsttekini alttakini oranlı üstte iki çizginin karşısında ne var 9 bölü altta iki çizginin karşısında ne var 6 eştir üste benden AB / D istiyor çizginin karşısında ne var AB bölü altta çizginin karşısında ne var de zaten benden bunu istemiyor muydu AB / de'yi istiyordu O da 3/2 dirir şıklardan 3/2 yi bulursun ve işaretlersek arkadaşlar Şimdi sıra bu sorud dayız ABC d e C'ye eş üçgenler demiş o zaman eş üçgenlere hem açıları eşittir hem de arkadaşlar kenarları eşittir hatırladık mı E hadi bakalım açılar eşitse a açısı D açısına eşitmiş a açısı D açısına eşitmiş B açısı e açısına eşitmiş ama ab'deki B açısı de e'deki e açısına eşitmiş o zaman B açısı e açısına eşittir zaten C C'ye eşittir Doğrudur x açısından 90'dır bunla bir sıkıntımız yok şimdi hem açıları eş hem kenarları eş olacak izle izle tek çizginin karşısında ne var 5 O zaman tek çizginin karşısındaki ne olacak 5 olacak toplamı 12 ise buraya ne kaldı 7 kaldı noktalı çizginin karşısındaki 7 ise noktalı çizginin karşısındaki 7 olacak x ne olur hemen hızlı bir şekilde 7'yi basıyorum Tabii ki 2 olacak çünkü noktalı açının karşısındaki kenar AC kenarı Alt tarafı 5 verdiği için üst tarafa 2 kalır zaten x'i istiyordu soru bitmiştir Haydi yolumuza devam Evet arkadaşlar biraz önce üçgenlerin benzer olduğunu bize veriyordu bu sefer kendimiz üçgenlerin benzer olduğunu bulacağız açı açı açı benzerliği kenar açı kenar benzerliği bir de arkadaşlar kenar kenar kenar benzerliği buradan başlayalım açı açı benzerliği ne oluyor arkadaşlar ikişer açıları eşit olan üçgenlere açı açı benzerliğine göre benzerdir demişim hocam ikişer açıs eşitse o zaman otomatikman 3üncü açılar da eşittir He iki açısı eşit ya üçüncüsü otomatikman eşit buraya da teta diyelim Şuraya da teta diyelim bana demeyin hocam 3üncü açıları niçin vermem açı açı açı değil miydi Hayır arkadaşlar zaten açı açı açı açı açı aynı şey zaten dedim ki A açısı a ve D açıları birine eşit E zaten bu eşitlikleri kendisi bize vermiş Bunlar açı eşitlikler imiz ABC eşittir şey benzerdir de F'ye ve 3ün açılar da otomatikman birbirine eşittir Arkadaşlar bu e açıların karşısındaki kenarlar oranları birbirine eşittir a açısının karşısında a kenarı olsun e d açısının karşısındaki D kenarı olsun a / d = b / e o da eş C / fy soru bitmiştir Hadi bakalım geldik Bizim buraya diyor ki X nedir Dur Dur Dur Dur Dur Dur Dur Dur Dur ben şuraya Alfa desem ben şuraya Beta desem Alfa + Beta 90 mı e 90 Beta şuraya Ne kaldı Alfa kaldı Alfa 90 Burası ne oldu Beta oldu A 3 açısı 3 açısı birbine eşit soru bitmiştir betanın karşısında ne var x böl betanın karşısında ne var 3 eşittir Evet devam edelim alfanın karşısında ne var 6 bö alfanın karşısında ne var 2 İçler dışlar çarpım yap x'i bulursunuz Hadi bakalım geldik buraya kenar açı kenar belirti şey benzerliği ikişer kenarları orantılı arkadaşlar kenarların eşit olmasına gerek yok orantılı olması yeterlidir ve aralarındaki açılar eşit olan üçgenlere kak üçgeni denir dörtgen olsaydı kaka olacaktı Tövbe rabim tövbe ya üçgen olduğu için kak benzerliğine göre benzerdir diyoruz haberiniz olsun ikişer kenarı orantılı olacak ve aradaki açı eşit olacak buna dikkat edelim arkadaşlar açılar arasında orantılı olmaz açılar her zaman eşittir Bunu unutmayalım arkadaşlar Evet c / f = b / e kenarlar orantılı ve aradaki açılar da eşit ise biz ABC benzerdir DF diyeceğiz haberiniz olsun ve otomatikman açıların karşısındaki kenarlarda orantılıdır eş a b'dir haberiniz olsun Şimdi geldik Bizim bu sorumuza bak bak bak bak bak bak bak Alfa dedim Alfa dedim açılar eş şu üçgen şu üçgen bakalım bir kenarlarda orantılı mı izleyin İzleyin İzleyin İzleyin kenarları küçükten büyüğe doğru giderim bu kak özelliğini kullanalım önce kenar 4 araya açıyı yerleştirdim sonra bir daha kenar 6ta geçtim yani sağdakine geçtim Hatta 8 de en sona yazalım bir sıkıntı değildir 8 de arkadaşlar en sondaki bizim kenarım ya küçükten büyüğe doğru sıralıyoruz geldik buraya 6'yı yazdım Evet 6'yı yazdık aradaki açıyı Yazdım 99'u yazdım en sona da x'i bastım şimdi bakın izleyin beni bunlar orant bakalım bir orantılı mı 4/6 eşit midir 6/9 2/3 2/3 o zaman 3i orantılıdır Bu da 2/3 eştir İçler dışlar çarpım yapın soru bitmiştir olay Anlaşıldı mı arkadaşlar Bakın bir daha anlatıyorum açıları Alfa dedim Baktım açılar eşit adam sana bu kolları boşuna vermiyor demek kenarlar da orantılıdır ama Kimi Kimi oranlı yazacaksınız bakın izleyin Sağdaki üçgenden başladım sağd başl nedir 4 Alf 6 8 4 Alf 6 8 soldakine geçtim 6 Alf 9x 6 Alf 9x oranım baktım ki kenarların orantı kenarların oranları birbirine eşit açılar daan birbirine eşit işte kenar açı kenar bağıntısı ortaya çıktı o zaman dedim ki otomatikman açıların karşısındaki / x de bunlara eşittir dedim ve dışlar çarpımından x'i buldum geldik en sağdakine kenar kenar kenar benzerliği arkadaşlar kenar kenar kenar benzerliğinde senden kenarı istemez zaten benzerlik var ya açıyı genelde ister E hadi adam demiş ki bütün kenarlara orantı üçgenlere kenar kenar kenar benzerliğine göre benzerdir diyoruz a / d a / d c f o da eş B ise eğer bütün kenarlar birbiriyle orantılı ise ABC benzerdir def F diyeceğiz ve otomatikman açılara birbirine eşit oluyor H yani A'nın karşısındaki Alfa ise D'nin karşısındaki de alfadır B'nin karşısındaki Beta ise E'nin karşısındaki de badır evet C'nin karşısındaki teta ise fninternbasvuru soru bitti geldik Bizim bu sorumuza şimdi şimdi ben buraya C ben buraya C desem bir sıkıntı olur mu olmaz bu küçük üçgen acaba büyük üçgene benzer mi ona bakalım bir arkadaşlar önce bir küçük üçgene bakalım Bizden alfayı istiyor haberiniz olsun küçük üçgende 4 6 C 4 6 C doğru mu arkadaşlar bak 4 6 C küçükten büyüğe doğru sıralı kafamıza göre sıralama yapmıyoruz büyük üçgene geçtik arkadaşlar 8 12 2C olur mu 8 12 2C oranla 2 oranla y 1/2 1/2 1/2 kenar kenar kenar benzerliği var olay Anlaşıldı mı arkadaşlar bakın C'ye C dedim küçükten büyüğe doğru Sadık 4 6 C 4 6 C 8 12 2C or anladım Hepsi de eşit oldu süper o zaman ben diyorum ki ben diyorum küçük üçgen üsttekiler Küçükler alttakiler de büyüklerde küçük üçgende burada 80 belli ya 6'ın karşısındakiyle 6 ve 12'ler eş ya bak gördünüz mü o zaman 6'nın karşısında 80 varsa 12'nin karşısında da 80 olması lazım açıları eşit olacak o zaman şuraya Ne kaldı arkadaşlar şuraya 60 kaldı Çünkü toplamı 80 olacak ya 12'nin karşısındaki 80 olacak şimdi şimdi şimdi şimdi şimdi şimdi 4 karşısında 60 mı var 4'ün E takım Arkadaşı Kim 8 küçük üçgende 4'ün karşısındaki 60 İsa Büyük üçgende de 8'in karşısındaki 60 olacak güzel E tamam soru bitti 60 80 60 daha 140 şuraya 40 kalır soru bitmiştir ha 2 C'nin karşısındaki 40 İsa C'nin karşısındaki de a a 40'tır ha olsun olay Anlaşıldı mı arkadaşlar mantık bu olay bu E hadi yolumuza devam Evet arkadaşlar temel benzerlikten Yolumuza devam edelim Şimdi de ile BC birbirine paralel ise Ade benzerdir abc'ye niçin arkadaşlar paralellikte biliyorsunuz şu açılar birbirine eşittir yöndeş açılar şurası bet İsa şurası Beta ortak açımız da teta arkadaşlar açı açı açı benzerliği olay Anlaşıldı mı betanın Karşısında ne var ad betanın karşısında ne var AB ad / AB eş alfanın karşısında ne var AE alfanın karşısında büyük üçgende ne var AC O da eşittir tanın karşısında de ve büyük üçgende de BC bitti bu kadar demek açı açı benzerliğinden temel benzerlik aynı şeymiş haberiniz olsun devam edelim bir de ekstradan Tamam bu doğru bu bizi temel benzerlik oranımız şimdi diyor ki ad / DB ad / DB eş bu bölü buna Ama bu bölü bu değildir yanlış anlamayın tamamını küçük üçgeni büyük üçgene oranlı Diyoruz ki Arkadaşlar İki doğru birbirine paralel verildiği zaman kolları eşit oranda Keser şunun şuna oranı şunun şunun oranına eşittir haberiniz olsun Hadi Yolumuza devam edelim şimdi bir notumuz devam ediyoruz e orta noktalara hops hops Bunlar arkadaşlar bizim orta noktalarımız mış Tamam orta noktalara XE 2x modeli vardır zaten temel benzerlikten Biliyorum şu bölü şu şu bölü şu Tamam Bunlar birbirine eşitse şurası 1 Burası 1 olsun 1/2 = a Şuraya da y Diyelim x / Y'ye E tamam X'in karşısında ne var 1 A Burası K İsa y'nin karşısında ne var 2 A şurası da 2kd Demek ki Arkadaşlar iki paralel dahu araya çizdiğimiz doğru parçası diğer Tabana arkadaşlar paralel ki paralel kolları Eğer eşit noktada kesiyorsa hem Sağdaki kolu hem de soldaki kolu arkadaşlar Kaya 2 2K modeli vardır Bunu unutmayın tamam bilmezseniz de olur sade küçük bir not zaten buradan hepsi ortaya çıkıyor ağırlık merkezi ağırlık merkezini hatırlıyorum ağırlık merkezinden şu köşeye çizdiğiniz Arkadaşlar doğru parçası 2K ise alt Tabana çizdiğiniz doğru parçası da K oluyordu hatırlayalım ve arkadaşlar ağırlık merkezi tabanı ortadan 2'ye böler kenarortaydan 2 Y'ye y modeli vardır 2 x'e x modeli vardır olay Anlaşıldı mı Şimdi 2/3 modeli var ya o zaman şurasına ben 2m dersem şurası da 3 m'dir haberiniz olsun ha m'ye M diye ayrılır onlar da işin teferruatı dır olay Bu kadar basit ve net Demek ki ağırlık merkezi verildiği zaman ağırlık merkezi Tabii ki alttakine paralel olacak şekilde arkadaşlar alttaki doğrumu paralel doğru parçamı paralel Eee Hani sivri olan köşe 2 birim is tabanı olan uzaklık arkadaşlar 1 birimde o zaman Y'ye 2y x'e 2x bunu unutmayalım geldik buraya not 3'ümüz arkadaşlar Hım a / b a / b = cö d' olay Anlaşıldı mı Tabii ki bunların hepsi birbirine paralel olacak paralellikler de arkadaşlar Bunu unutmayın sağ kol ve sol kol eşit oranlarda bölünür haberiniz olsun ha hocam ben bu a / b c / dyi ha isterseniz a / a + b c / c + d de diyebilirsiniz sıkıntı yok onda bir sıkıntımız yok Şimdi ben dedim ki a / b = c / d o da eşittir ben bu x y Z'ye uyarlamak istiyorum A / b = c bö O da eştir arkadaşlar Şunların farkı bölü Şunların farkı Tabii ki büyükten küçüğü çıkartalım y - x / z - yir haberiniz olsun paralel çizgiler kenarları aynı oranda böler bunu unutmayalım hadi hızlı bir şekilde e Bunlar sonra basit bir soru da yazayım şurası 3x ise şurası 2x olsun tamam Şu x'i sildim 4 dedim şurasına 8 dedim benden a Şuradaki xi istesin Hadi x demeyelim Buna da çünkü x'i kullanmıştım buraya da Mustafa'nın m'si diyelim süper Şimdi arkadaşlar Hani bu oranı biliyoruz değil mi 3/2 modeli Ha isterseniz bunu formülden de yapabilirsiniz şöyle formülden yapabilirsin Bir de sana bunun kestirme yolunu da Göstereceğim 3x / 2x = x birbirini götürdü 8-4 m-k dışar çarpım yap bana burad m'yi bulamaz mısın ağasını bulursunuz Şimdi geldik Daha kestirme bir yola ikisinin farkı ne 4 E hadi 3xe 2x demişiz Keşke daha düzgün bir şey deseydim daha güzel olurdu dur buradan zateni bulursunuz bunda bir sıkıntımız yok 3'ün Bir katı olan bir değer yazalım hocam şurası ne olsun 10 olsun Benden buradaki m'yi istiyor tamam aradaki fark ne 6 bakın kaç katı 2 katı O zaman şu aradaki farkla bunun 2 katı nedir 4 4 ekleyin cevap Ne oldu 14 oldu bu soruyu bu şekilde de çözebilirsiniz haberiniz olsun farkını al farkını al kaç katı kaç katı oran orantıdan soruyu çözüyorum ne bulduk arkadaşlar 14 bulduk ha orijinalini çözelim 3/2 = 10'dan 4 çıktı 6 bö M -1 evet hadi 3'e 3'e böldüm burada Ne Kaldı 2 kaldı içler dışlar çarpım yaptım 4 = m - 10'dan arkadaşlar M ne çıktı 14 çıktı aynı mantıktır olayı çözüldü geldik buraya a temel benzerlik var hocam Tamam 6/6 + x eş 4/6 İçler dışlar çarpım yapıp soruyu çözemez misin alasını çözersiniz geldik alttakine H ağırlık merkezi arkadaşlar paralellik de vermiş süper Ben sana demedim mi 2'e x 2ye y hatırladık mı Tamam AB 12 ymiş e AB 12 ise 3x 12'den x Ne oldu 4 He demek Burası 4 Demek ki Burası da 8 e toplamı 3y 9 ise y de 3 olur ha 3'e şurası da 6 BC 15' mii BC 15 öyle diyor Değil mi arkadaşlar Evet BC 15 güzel Yanlış olmasın benden ne istiyorsun a d E'nin çevresini istiyor güzel ha dersiniz ki hocam 8 ya da 2/3 zaten 8/12 2/3 2/3 = de bö 15 3'e 3'e böldüm 5 2 kere 5 10 5e 5 Yani ben D uzunluğunun 10 olduğunu gördüm Tamam çevresini mi istiyorsun 10 6 8 toplayın soru bitmiştir olay Anlaşıldı mı arkadaşlar mantık bu olay bu ağırlık merkezini gördüm hocam paralellik de var o zaman paralellik varsa sağ kollan sol kol arkadaşlar eşit oranda bölünür 2 x'e x 2 Y'ye y X ve Y yani bunları buldum bu uzunlukları bulduktan sonra isterseniz 8/12 de diyebilirsiniz 2/3 de diyebilirsiniz Hani 2 x'e x demiştik ya 2/3 = de / BC E hadi yolumuza devam Evet arkadaşlar kelebek benzerliğinden yolumuza devam ediyoruz dedik ki AB CD'ye paralel tamam süper paralel is Şu üstteki üçgenle alttaki üçgen birbirine benzerdir açı açı açı benzerliğinden dolayı Nasıl yani hocam alfaya Alfa iç ters açının özelliklerinden dolayı şurası betaya paralellik dolayı şurası Beta şu ortak açılarım da teta olsun açılar açı açı açı benzerliğinden iki üçgen bine benzer oldu alfanın karşısında ne var AB alfanın karşısında ne var Ed bakın AE = edye tanın karşısında ne var AB tanın karşısında ne var CD görüyor musunuz zaten Diğerleri de betanın karşısındaki de betanın karşısındakine eşittir dediniz ve soruyu bitirdiniz Kısacası arkadaşlar üst taban + alt taban işte üst taban böl alt taban AE / ed / CD hepsi birbirine eşittir haberiniz olsun E hadi geldik buraya Şimdi ben dedim ki şuraya Mustafa'nın m'si diyelim Şuraya da n diyelim 3/5 eş m / n e Tamam M 3K n de 5kd hatta klar kullanmış ya x kullanalım M 3x n de 5x e toplamı bdm 24' müş BD 24 ise 8x 24'ten X3 çıktı tamam Sen benden ne istiyorsun pb istiyor 3 kere 5 cevap 15'tir şıklardan 15'i bulursun ve işaretlerseniz buna kelebek benzerliği diyoruz kelebek kanatlarına benzediği için ama üst taban yani üst tabanla alt tabanın birbirine paralel olması lazım Hadi bakalım yolumuza devam dedik ki bu da arkadaşlar bir not olarak yazdım ha bunu bilmeseniz de olur bu formülü arkadaşlar görüyor musunuz burada bir kelebek benzerliğimiz var bakın kelebek benzerliğimiz hops hops hops iki tane temel benzerliğimiz var Hangisi Arkadaşlar biri şu Evet birisi de Arkadaşlar şu görüyor musunuz süper demeki iki tane temel benzerlik Bir tane de kelebeği görürseniz Zaten ikisinden yola çıkarak bana bu soruyu çözebilirsiniz formüle gerek yok ama illa de Hocam ben formülü bilmek istiyorum diyorsanız 1/1 a + 1/6 + 1/3 bana buradan x'i çok rahatlıkla bulursunuz Arkadaşlar bu 90'ları vermiş ya diklik kullanmıyoruz ha yanlış anlamayın Bunların birbirine paralel olduğunu bize söylüyor He Bunlar birbirine paralel demiş Tamam Bunlar birbirine paralel Tamam bu formülü kullandık bizim bunda bir sıkıntımız yok Hadi bu formülü Farz edelim bilmiyoruz önce kelebekten yola çıkarak bakın 3'e 6 ise şurası k'ya şurası 2K Doğru değil mi arkadaşlar şurada bir kelebeğim var evet kelebekten 3/6 1E 2 modeli k'ya 2K ya da m'ye 2m Olur Sıkıntı değildir şimdi geldik Bizim bu üçgenim ie 2nin 3'e oranı eş X'in 3'e oranı Hadi bakalım x buradan 2 çıktı haberiniz olsun ha Bir öncekinde de x zaten 2 çıkardı geldik Bizim bu sorumuza hocam alfaya Alfa diyelim e Bunlar birbirine paralel e z harfinin özelliğinden dolayı şurası da Alfa oldu eşit çıktı şurası şurasına eşit o zaman Burası 4 oldu temel benzerlikten 6'ın 10'a oranı eşittir Hadi bakalım alttaki sorumuz hocam kelebeği gördüm hop hop 3'ün 5'e oranı 3 m'nin 5 m'ye oranı bitti E hadi fış bö fış temel Benz ellikten fış böl fış soru bitmiştir x'i istiyoruz ha Hadi 9/9 + x dur dur dur dur dur 9/9 + x = 3/5 x istiyor gersi sana ait geldik buraya [Müzik] H şu üçgene bakalım Ha şurası şurasına eşitmiş onu zaten kendisi bize vermiş biz buraya m diyelim şurası da M olsun karışmasın şimdiden Tamam şimdi ben burada arkadaşlar bir tane temel benzerliği gördüm nasıl hocam Bunlar birbirine paralel değil mi 8'in 12'ye oranı eş 6'ın m'ye oranı soru bitmiştir hocam 4E böldüm 2 4E böldüm 3 18 2 m'den m 9 çıktı he Burası 9 şurası 9 Şimdi geldik diğer üçgenim ie def F üçgenine arkadaşlar bana buradan temel benzerliği uygul sana 8/8 + x = 4/9 hocam 2 katı 2 katı 18 olur x 10 olur haberiniz olsun oran ya da İçler dışlar çarpım y soru bitmiştir arkadaşlar mym dedim önce ABC üçgenden temel benzerliği uyguladım 8/12 6/1 m'yi 9 bulduk bu m ile bu M aynı mler birbirine eşitliği kendisi bize vermişti yine bu kırmızıyla çizdiğim üçgende de temel benzerliği uygulayın / köşeden ilk derler ilk paralele kadar bölü tamamı yani 8/8 + x = 4/9 danan soru çıktı geldik alttakine üst tabanla alt taban birbirine paralel burada bir kelebek benzerliği var arkadaşlar görüyor musunuz şimdi şurası şurasına şurası şurasına eşitmiş alt Tabandan üst taban birbirine paralel demiş yani alt kenarla üst kenar birbirine paralel demiş E tamam ikinin 1E oranı ya da 1in 2'ye oranı 5'in 2 katı 10 orayla işimiz bitti Şimdi geldik arkadaşlar Şurayı görmeye Evet üst kenarla alt kenar yine birbirine paralel Ama burada da Arkadaşlar şu şuna oranı bak bak bak bak bak şunun şuna oranı yani 1E 2 10A 20 Doğru değil mi maviyle çizdiğim kelebeğe Bakın arkadaşlar 1E 2 10'a 20 E 5 ise x' imiz Ne oldu arkadaşlar xiz 15 oldu şıklardan 15'i bulursun ve işaretlersek benzerliği arkadaşlar Anlaşıldı mı mantık bu olay bu E hadi yolumuza devam Evet arkadaşlar şimdi geldik artık son noktamıza alanlarla ilişkisine benzerlik katsayısının Şimdi arkadaşlar A B C D E F'ye benzer olsun dedim e a / d zaten biliyorsunuz arkadaşlar eşit açıların karşısındaki kenarlar oranları birbirine eşittir a açısının karşısındaki kenar ad D karşıs açısının karşısındaki kenar D olsun a / d eş işte buraya b dersem buraya E dersem b b e o da eşittir şurası C olsun şurası F olsun o da eşittir C / F'ye dedik O ayrı ben sadece birini aldım zaten birine eşit zaten biliyorsunuz aynı zamanda yardımcı elemanların oranlar da birbirine eşittir mesela a açısından çıkan yükseklik ile D açısından çıkan yükseklikler oranları da birbirine eşittir O da eşittir açıortaylar oranları da eşittir O da eşittir kenarortaylar oranlara eşittir O da eşittir çevreler oranları AB c ile dfn çevreler oranları birbirine eşittir O da eşittir iç teğet çemberin yarıçapları oranına O da eşittir dış çevrel çemberin işte yarıçapları oranlarına da eşittir Bunların hepsi arkadaşlar birbirine eşittir diyoruz ve hepsi de benzerlik katsayısını veriyor hocam burada niçin alanı katmadıkları niçin katmadı biliyor musunuz alanlar tek bir yardımcı elemandan oluşmaz alan taban çarpı yükseklik iki tane yardımcı elemana ihtiyacımız var Ondan dolayı sanki yani şöyle bir şey diyelim arkadaşlar a / d işte a / d o da eş h / h deydi ya E bunları çarpmamı Çünkü biliyorsunuz kenar çarpı yükseklik bö 2 kenar çarpı yükseklik bö 2 ondan dolayı 2 tane K'nın çarpımı ne olur K kare olur yani Şunu demek istiyorum arkadaşlar Tamam kenarlar oranı yüksekler oranı işte açıortaylar oranı çevreler oranı içte çemberin yarıçaplar oranı çevrel Ç in yarıçaplar oranı hepsi arkadaşlar benzerlik katsayısını bana verir bunda bir sıkıntımız yok ama alanlar çok farklı alanlar ise arkadaşlar benzerlik biliyorsunuz katsayısının karesine eşittir Bunu unutmayın karesi O çok farklı bir şeydir o farklı bir kulvarda yarışır haberiniz olsun E hadi geldik Bizim bu sorumuza ABC D F'ye ABC D F'ye benzermiş Tamam buradan B'den yükseklik e'den a zaten B'den e arkadaşlar eş açılardır süper o zaman eş açıların yardımcı elemanları hepsi birbirine eşittir oranları Tabii ki oranları birbirine eşittir ve hepsi de benzerlik katsayısını verir süper o zaman bizim benzeri katsayım 5/3 tür Çünkü yükseklik çizilmiş sıkıntı yok kenar ortay da verilebilir açıortay da verilebilir çevreler de verilebilir hepsi birbirine eşittir güzel Eee a kenarortaylar oranları isteniyor e sıkıntı değil ki Eee a ile D eş mi eş e süper o da 5/3 Eee çevre ABC DF Evet onlar da eşittir Hani çevreler oranlar da birine eşitti ya geldik buraya DF a adam ABC B DF demiş yani ABC DF eşittir Bu da sağdan sola gitmiş tersten gitmiş E süper alanlara oranı benzerliğimiz normalde 5/3 ama ABC'nin de'ye benzerliği bu n demiş tam tersini vermiş O da 3/5 ama karesini alacaksınız benzerlik oranını benzerlik sayısının karesidir haberiniz olsun E hadi O da 9/25 ir bitmiştir a NC B NF C şuranın açısı F diğerinin açısı süper o zaman bu da arkadaşlar 3/5 haberiniz olsun bakın önemli bir kural dedik ki benzerlik katsayısı zaten bellidir A B C D E F'ye zaten kendisi benzer demiş demese bile biz onu zaten görürüz mesela Burada gördüğünüz gibi Arkadaşlar bir birbine paralel birbirine paralel Bunlar birbirine benzerdir zaten anlatabiliyor muyum Demek ki benzerlik katsayısı eşittir işte kenarlara oranı işte açıortaylar oranı çevreler oranı iç teğet çember dış teğet çemberin yarıçaplar oranı hepsi birbirine eşitken alan karesidir Bunu unutmayın özellikle vurgu yapıyorum devam edelim geldik buraya şimdi şimdi şimdi şimdi şimdi şimdi önce bir benzerlik katsayısını bulalım benzerlik katsayısı arkadaşlar a d abc'ye benzerdir şu şu paralellik dolayı paralellik dolayı arkadaşlar Bunlar birbirine benzer niçin açılar eşit görüyor musunuz yöndeş hı H Beta Beta şurası da teta olsun açı açı açı benzerliği a d abc'ye benzerdir o zaman Benzerlik katsayım ne olur arkadaşlar çevresi verilmiş Ade ABC a 20/3 5'tir e bölme yaptığınız zaman olay biter zaten e 5'e 5'e böl 4/7 mi çıktı arkadaşlar Evet bu bizim benzerlik katsayım E benden ne istiyorsun s istiyorsun he alanı istiyor arkadaşlar alanlar oranı benzerlik katsayısının karesi o zaman s s + 33 SS + 33 karesini al karesini al o da 16/9 süper S1 işte belli S1 olsa 16 16 3 49 bitti geldik alttakine H Şimdi arkadaşlar Evet birbirine paralel demiş he Bunlar birbirine paralel demiş Bunlar birbirine paralel is arkadaşlar ad D ile acb birbirine benzerdir o zaman benzerse benzerlik katsayısı Belli zaten 5/8 dirir 5/8 Arkadaşlar bu A'dan çizdiğiniz doğru parçasını önemli değildir yeri hiç önemi yoktur Ortan sağdan soldan çizin benzerlik katsayı buradaki benzerlik katsayısıyla buradaki benzerlik katsayıları aynı katsayılı haberiniz olsun Eee 5/8 oldu tamam Eee o zaman alanları benden Sen ne istiyorsun dur dur dur dur dur şuranın alanına S1 diyelim şuranın alanına S2 diyelim adam S1 / s2i istiyor tamam S1 / S2 eştir soru işareti Tamam da S1 / S1 + S2 S1 b S1 + S2 eş alanlar oranı benzer üçgenlerin alanlar oranı benzerlik katsayısının karesi yani 5/8 karesi ne olur 25/4 İçler dışlar çarpım yapalım hadi bakalım 64 S1 = 25 S1 + 25 S2 güzel 25 S1 bu tarafa atalım kaç oldu arkadaşlar 39 mu oldu evet S1 252 adam S1 S2 istiyordu 25/9 hata olmasın 39'a 25 ekleyin 44 Evet 64 güzel mantık Bu arkadaşlar