Catatan Kuliah: Transformasi Laplace

Pendahuluan

• Pembahasan tentang Transformasi Laplace
• Digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial ordinari dan parsial
• Aplikasi dalam pengendalian proses

Definisi Transformasi Laplace

• Didefinisikan sebagai:
  [ F(s) = \int_0^{\infty} f(t) e^{-st} dt ]
  • Di mana:
    • ( f(t) ) adalah fungsi waktu nyata
    • ( s ) adalah parameter tetap, bukan fungsi dari ( t )

Proses Integrasi

• Setelah integrasi, ( F(s) ) menjadi fungsi dari ( s )
• Notasi ( L ) untuk menunjukkan transformasi
  • Contoh: ( L{f(t)} = F(s) )

Contoh Transformasi Laplace

• Jika ( f(t) = t ), maka:
  [ L{t} = \int_0^{\infty} t e^{-st} dt = \frac{1}{s^2} ]

Sifat-sifat Transformasi Laplace

1. Sifat Linearitas

   • Jika ( f(t) = c_1 f_1(t) + c_2 f_2(t) )
   • Maka:
     [ L{f(t)} = c_1 L{f_1(t)} + c_2 L{f_2(t)} ]

2. Translasi Kompleks

   • Jika ( f(t) e^{at} )
   • Maka:
     [ L{f(t) e^{at}} = F(s-a) ]

3. Diferensiasi

   • ( L{f'(t)} = sF(s) - f(0) )
   • Untuk diferensiasi kedua:
     [ L{f''(t)} = s^2 F(s) - sf(0) - f'(0) ]

4. Integrasi

   • ( L{\int_0^t f(\tau) d\tau} = \frac{F(s)}{s} )

Tabel Transformasi Laplace

• Penggunaan tabel untuk fungsi umum
  • Contoh: ( L{e^{at}} = \frac{1}{s-a} )
  • ( L{\sin(at)} = \frac{a}{s^2+a^2} )
  • ( L{\cos(at)} = \frac{s}{s^2+a^2} )

Invers Transformasi Laplace

• ( L^{-1}{F(s)} = f(t) )
• Metode untuk menemukan fungsi asli dari transformasi
  • Dapat menggunakan tabel atau metode residu

Contoh Aplikasi: Persamaan Diferensial

• Persamaan: ( y'' - y' - 12y = 0 )
• Kondisi awal: ( y(0) = 5, y'(0) = 6 )
• Dengan transformasi Laplace, diperoleh:
  [ s^2 Y(s) - 5s - 6 - 12Y(s) = 0 ]
• Solusi akhir:
  [ Y(s) = \frac{21}{s^2 - 4s - 12} ]

Kesimpulan

• Transformasi Laplace merupakan alat penting dalam analisis sistem dan pengendalian proses.
• Pemahaman sifat dasar dan aplikasi tabel sangat membantu dalam penyelesaian masalah.
• Penting untuk memahami proses invers transformasi untuk kembali ke fungsi waktu.