Poslední kuželosečkou, která nám zbývá, je hyperbola. My hyperbolu známe z kapitoli funkce, kde jsme hovořili o lineární lomené funkci, již grafem byla hyperbola. Ten úplně základní tvar té funkce byl y rovná se 1 lomeno x, což nám graficky dávalo tuto hyperbolu. Každá hyperbola měla ty dvě větve. Buď to samozřejmě záleží na tom tvaru a na tom posunutí, ale tady byla jedna větev a tady byla druhá větev.
Tohle byl graf té hyperboli, kde tady je samozřejmě osa x a osa y. Ale podobně jako u paraboli, tohle nebude náš přístup pomocí té kvadratické funkce u paraboli nebo tady u té linární lomené, ale budeme chtít k tomu přistupovat planimetricky. Tak nejprve, jak bychom získali hyperbolu jako kuželosečku? Mohli bychom si to představit tak, že dáme nad sebe dva kuželé, tak aby mířili. špičkou k sobě, takže já to zkusím zakreslit.
Ono je to takové trošku těžší. Takže měli bychom takhle jeden kužel, který by vypadal takto. Takhle by byl druhý kužel, který by vypadal zhruba takto.
Samozřejmě tady to pokračuje. A teďka bychom to rozřízli takhle. Znovu rovinou, která je kolmá na tu podstavu a tím bychom jak kdyby tady vyřízli jeden oblouk a tady bychom vyřízli ten druhý oblouk.
Takže když bychom takhle proložili rovinu těma ... kuželema, tak nám to usekne tady kousek jako část paraboly, dá se říct, a tady kousek jako část paraboly, dá se říct, a tím bychom vytvořili tu hyperbolu, kde tady máme samozřejmě ten prostřední bod mezi těmi větvemi. Takže tohle by byla hyperbola z pohledu kuželoseček. No a teďka, co by to znamenalo planimetricky, tedy jak získáme my hyperbolu. Tak já ji nejprve nakreslím a pak se pokusím popsat, jaká je ta vlastnost pro ty body, které leží na té hyperbole.
Tak, my máme dvě možnosti. Já takhle udělám jednu osu, osu x, takhle udělám druhou osu, osu y. No a teďka my budeme mít ty hyperboli na dva způsoby, buď to takto, to je jeden způsob, že budeme mít takhle jednu větev a takhle tu druhou větev, tohle je jedna hyperbola, anebo bychom mohli mít takhle tu jednu větev a takhle tu druhou větev.
Takže já budu vycházet z tohoto tvaru a ty další posuny o nich budeme hovořit, až budeme. hovořit o rovnic té hyperboli, což bude v tom příštím videu. Tak nějaké základní poznatky. My budeme mít pro tu hyperbolu, tak jak je, dvě ohniska.
Tady je jedno ohnisko, řekněme třeba E, a tady bude druhé ohnisko, řekněme třeba F. Takže tohle jsou naše dvě ohniska. Ta vlastnost, kterou musí splňovat ty body, je, že libovolný bod té paraboly, když zvolím, tady je ten libovolný bod X, tak tato vzdálenost... A tato vzdálenost nás bude zajímat. A když vezmeme rozdíl těchto dvou vzdáleností, tak to bude rovno nějaké konstantě.
A jak bychom to zapsali? Tak jedna vzdálenost, ta EX, by byla, já ji zapíšu takto, EX v absolutní hodnotě, to je ta vzdálenost bodu E od bodu X. Pak máme vzdálenost bodu F od bodu X, to by bylo FX.
A my vezmeme rozdíl těchto vzdáleností. No a samozřejmě, kdybych bral tento rozdíl, tak... Tady bych měl tahle vzdálenosti menší a tahle vzdálenosti větší, což by nám dávalo zápornou hodnotu a kdybych měl bod třeba tady, tak by to bylo přesně naopak. Proto, abychom tohle obejšli, dáme znovu to celé do absolutní hodnoty. Takže tohle je jedna vzdálenost, tohle je druhá vzdálenost.
My vezmeme ten rozdíl, to je to, okolik se liší, a to, okolik se liší, bude stále stejná vzdálenost. To je definice. Takže já bych teďka vzal třeba tady ten bod a vzal bych tuhle vzdálenost a tuhle vzdálenost. A vzal bych ten rozdíl. Ten rozdíl bych dal do absolutní hodnoty a to bude stále stejná hodnota.
Takže tohle je definice té hyperboli. To stejné platí i zde. Já tady ještě udělám jeden bod, kdybych vzal tuhle vzdálenost a k tomu bych přidal tuhle vzdálenost a vzal rozdíl těchto dvou vzdáleností, znovu by to musela být stále stejná konstanta. A teď to D musí být konstanta, která je menší než ta vzdálenost EF.
tedy ta vzdálenost těch ohnisek. Protože když by nastala ta situace, že by ta vzdálenost byla stejná jako vzdálenost těch ohnisek, tedy tato vzdálenost, tak když si to uvědomíte, tak pro tuhle chvíli bychom dostávali jenom body, které jsou buď to tady mimo, protože když si zvolím tenhle bod, tak tohle je vzdálenost od F, tohle je vzdálenost od E a ten rozdíl by byl přesně tahle vzdálenost, což je přesně případ té rovnosti. To by platilo proto všechny body na této levé straně.
Tady ty body uvnitř tyto nesplňují, protože když si zvolím třeba tento bod, tak tohle je vzdálenost, mínus tahle vzdálenost, to by dávalo něco menšího než je EF, což my v tuhle chvíli nechceme, my chceme tu rovnost. A ty další body, které to splňují, jsou tyto. Takže my bychom v podstatě dostali, tady je jedno ohnisko, druhé ohnisko. Tady je ta přímka, na které jsou ty ohniska. A ta správná odpověď by byla tahle část a tahle část dohromady.
To by nastalo v případě té rovnosti, což my samozřejmě nechceme. No a ta vzdálenost nemůže být nikdy větší než ta vzdálenost EF. Protože když si to představíme, tak ta extrémní situace je zde, že když bych vzal tento úsek, když mám bod tady, vzal bych ten celý úsek minus tento krátký úsek a mám přesně tu rovnost.
Když bych zvolil tento bod, tak ten rozdíl, když si představíte, že od téhle úsečky bych odsekl tuhle část, takže sem bych píchnul kružítko, tady bych to zakreslil, tak dostanu něco menšího než je EF, což je přesně ta moje podmínka. Nikdy nemůžu dostat nic většího, ten extrémní případ, že bod je tady a mám tu rovnost, ale to větší tohle nikdy nenastane. Nikdy.
Nikdy ten rozdíl vzdáleností, ať si zvolím libovolný bod v rovině, tak nikdy ten rozdíl vzdáleností nemůže být větší, než je vzdálenost těch dvou ohnisek. Takže tahle chvíle také nenastane. A to, co nás ve skutečnosti zajímá, je ta situace, kdy ta vzdálenost je samozřejmě menší než to EF.
Takže tohle jsme si srovnali, už víme, co je to hyperbola z pohledu planimetrie a teďka nějaké pojmy. Tak já s dovolením teďka smažu tyhle čáry, co mám zde, aby to nepletlo v tom obrázku. Takže mi chvilku dejte na to smazání.
Ať to nemusím překleslovat znovu. Takže tohle je ta naše hyperbola. Takhle vypadá.
Tak, máme dvě ohniska. Tak, vzdálenost, asi byste typili, že tady bude střed. Takže já to budu někde psát ty pojmy. S je pro nás střed té paraboli.
Takže budeme mít zase něco jako středovou rovnici a obecnou rovnici té hyperboli. Ne paraboli, ale hyperboli, pardon. Takže S je střed té hyperboli. Ta vzdálenost... toho ohniska od toho středu je pro nás Ečko.
Stejně tak zde, vzdálenost tohoto ohniska od toho středu je pro nás to Ečko. A to Ečko samozřejmě označujeme znovu jako excentricita, neboli výstřednost. Podobně jako u výstřednost.
Podobně jako u elipsy. Pak máme tuhle vzdálenost, protože tady máme dva speciální vody. Já ty body označím jako A a B.
A tyhle body, A a B, jsou takzvané hlavní vrcholy. A a B, hlavní vrcholy. Hlavní vrcholy. A máme dvě osy.
Tohle je ta hlavní osa v tomhle případě. Hlavní osa. To je ta osa, na které leží ty ohniska E a F.
To jsem tady napsal, takže E a F jsou ohniska. To je ta hlavní osa a ta vedlejší osa je ta druhá osa. Takže tohle je vedlejší osa. Ta, na které neleží ty ohniska. No a proč to jsou osy?
Protože znovu, já bych to podle těch os mohl převrátit a dostal bych to stejné. Tedy když si uvědomíte, že máme tu hlavní osu a já bych vzal ten graf, tu křivku, a takhle ji přetočil kolem té hlavní osy, dostanu úplně to stejné. Vy byste nepoznali rozdíl.
A to stejné platí pro tu vedlejší osu. Takže... Ta hyperbola má dvě osy. Jedna osa je ta vedlejší a jedna osa je ta hlavní.
A na té hlavní ose jsou ty ohniska a na té vedlejší ose nejsou ty ohniska. Tak to poznáme. Takže máme střed, máme AB, což jsou ty hlavní vrcholy, žádné vedlejší vrcholy nemáme.
Máme E, což je vzdálenost těch ohnisek od toho středu, tedy excentricita. No a pak máme tuhle krátkou vzdálenost, tak já ten bod připíšu sem. Máme tuhle krátkou vzdálenost, tu označujeme jako A. Ačko samozřejmě bude podobně jako u elipsy, hlavní poloosa.
No a to je vzdálenost toho hlavního vrcholu od toho středu. Takže úplně stejně to Ačko bychom měli tady. Já ho tady nechci kreslit, protože bych to pak zhušťoval, ale úplně stejně jako jsme měli tu vzdálenost A tady, tak bychom ji měli i tady. Pro ty oba vrcholy samozřejmě platí ta stejná vzdálenost, protože je všechno symetrické. podle té vedlejší osy.
Takže tam najdeme A a pak budeme mít i B. A B najdeme takto. Tady bychom udělali kolmici v podstatě v tomhle hlavním vrcholu ve směru té vedlejší osy. No a pak bychom vzali tu excentricitu a tu excentricitu bychom nanesli sem.
Takže bychom jak kdyby zapíchli kružítko do středu a tady zaneseme tu excentricitu. Takže dostaneme tady. To naše E, tohle by měla být stejná vzdálenost, jako je vzdálenost toho ohniska od toho středu.
Tady samozřejmě máme A, takže tohle je vzdálenost A, to je tahle úsečka. A to, co dostaneme tady, to, co se vytvoří zde, tohle je B. A to je délka té vedlejší poloosy.
Takže mám B, což je délka, nebo já tady napíšu jenom vedlejší poloosa. Vedlejší poloosa. Takže to jsou naše pojmy, které si budeme muset pamatovat. No a to poslední, co zmíním v tomhle videu je, že každá hyperbola má své asymptoty. Tak jak vidíme tady, tak tady byla asymptota jedna k osa x a druhá k osa y, když jsme to měli u těch funkcí.
Asymptoty jsou přímky, ke kterým se ten graf přibližuje. Takže třeba osa x je asymptota, protože ten graf se tady přibližoval, tomu se říká tečna v bodě nekonečno, ten graf se přibližuje libovolně blízko, ale nikdy se nedotkne. té jedné asymptoty na obou stranách v tomhle případě a to platí i pro tu osu Y. Takže tady dochází k tomu nekonečnému přibližování. Tady také, tady také a tady také.
To jsou naše asymptoty. A úplně stejně bychom měli asymptoty v tomto grafu. Budou procházet středem vždycky, já to tady smažu, tak jedna asymptota, našli bychom ji tak, že bychom přesně vytvořili tenhle trouhelník. Znovu samozřejmě vidíme, že tohle je pravouhlý trouhelník, takže by platil další známý vztah. ale ne úplně stejný, teďka E je naše přepona, takže tady platí, že E na druhou rovná se A na druhou plus B na druhou, což je Pythagorová věta.
To platí z tohohle pravouhlého trouhelníku. No a když bychom si udělali ten pravouhlý trouhelník zde, tak bychom zjistili, že na něm právě leží ta naše asymptota, která prochází středem. Takže tady by to pokračovalo dál. A úplně stejně, když bych udělal stejný trouhelník zde, tak tady bych měl tu druhou asymptotu, která by šla zhruba takto.
Jaký je přesně předpis těch asymptot? Kvůli tomu také budu muset upravit ten graf, že se nekonečně přibližuje tady, že mi to podle odhadu nesedělo, takže tady dochází k tomu přibližování k těm asymptotám. Jaký je přesně předpis těch asymptot a jaká by byla rovnice té hyperboli, to si ukážeme v tom příštím videu.
Tady nám jde čistě o ty pojmy. Je to trošku náročnější, tohle je náročnější podmínka a náročnější křivka, samozřejmě náročnější kuželosečka. ale já si myslím, že se s tím poperete.
Tohle jsou ty základní pojmy, které budu využívat a v tom příštím videu odvodím rovnici a jak bychom zjistili předpis těch asymptot a podobně. Ta vzdálenost podobně, jako to bylo u těch ostatních kuželoseček, lépe řečeno, jako tomu bylo u té elipsy, tak tahle vzdálenost D je rovna dvojnásobku toho A, tedy vzdálenost toho hlavního vrcholu od toho středu. Takže tomu... je rovna ta naše vzdálenost.
A očividně tahle vzdálenost, což je ta naše definovaná vzdálenost, je očividně menší, než je to EF. Takže ta základní podmínka, kterou chceme, je splněna. Tohle nemůže nastat nikdy a tohle, kdyby nastalo, tak máme pouze tuhle tu část, jenom tuhle část té přímky a to, co je mezi těmi ohnízky, bychom neměli. Což je samozřejmě ta situace, já tady radši dopíšu, že to jsou ohnízka, to je ta samozřejmě situace, kterou nechceme.
Takže tohle je elipsa. Ta definice je, že pro libovolný boté elipsy ten rozdíl těch vzdáleností od těch ohnísek je roven nějaké stále stejné konstantě. To by splňovaly všechny ty vody, které jsou na té elipse.
Máme tam nějaké asymptoty, které procházejí středem té hyperboli. Tak jak vidíme tady, jsou vždycky dvě. Máme hlavní osu, vedlejší osu na hlavní ose leží ohniska, pak máme vrcholy té hyperboli, které leží samozřejmě na průsečíku té hyperboli s tou hlavní osou. To jsou ty vody A a B. No a pak vzdálenosti hlavních vrcholů od středu.
je A, vzdálenost těch ohnisek od středu je E, tedy excentricita, no a tu vedlejší poloosu, tu vzdálenost té vedlejší poloosy máme zde, když bychom využili ten pravouhlý trojhelník. A ten by nám také dopomohl k tomu, abychom zjistili předpisy těch asymptot. Přesně tímto, touto částí prochází ty naše asymptoty.
Takže omlouvám se za ten obrázek, ono to není tak lehké nakreslit od začátku, tak aby to sedělo, takže doufám, že mi to odpustíte a že to jako... demonstrace stačí. Takže tohle byl drobný úvod, nějaké pojmy o té naší hyperbole a v příštím videu si ukážeme, jak by vypadala ta rovnice a jakým způsobem bychom s tou rovnicí pracovali.