Overview
Lezione introduttiva sugli insiemi: definizione, simbologia, operazioni tra insiemi e concetti collegati utili come prerequisiti per la matematica universitaria.
Concetto di Insieme
- Un insieme è una collezione di oggetti, detti elementi.
- Un insieme è definito da una regola univoca che stabilisce se un elemento vi appartiene.
- Esempi: insieme delle consonanti italiane, insieme dei numeri relativi.
Simbologia Fondamentale
- Il simbolo ∈ indica che un elemento appartiene a un insieme (es: x ∈ A).
- Il simbolo ∉ indica che un elemento non appartiene a un insieme.
- Il simbolo ⊆ indica che un insieme è sottoinsieme di un altro.
- Il simbolo ⊂ indica sottoinsieme proprio (A ⊂ B: A contenuto strettamente in B).
Definizioni e Tipi di Insiemi
- Due insiemi sono uguali se contengono gli stessi elementi.
- L’insieme vuoto (∅) è un insieme senza elementi.
- Spesso è necessario specificare l’universo di riferimento (U) per definire un insieme.
Modi di Definire un Insieme
- Per elencazione: elenco esplicito degli elementi.
- Per proprietà caratteristica: si specifica una proprietà che gli elementi devono soddisfare.
Operazioni tra Insiemi
- Intersezione (A ∩ B): insieme degli elementi comuni sia ad A che a B.
- Unione (A ∪ B): insieme degli elementi che appartengono ad A o a B.
- Complementare (Ā): insieme degli elementi dell’universo U che non appartengono ad A.
Quantificatori
- Quantificatore universale (∀): indica “per ogni” elemento dell’insieme.
- Quantificatore esistenziale (∃): indica “esiste almeno un” elemento con una certa proprietà.
Prodotto Cartesiano
- Il prodotto cartesiano A × B è l’insieme delle coppie ordinate (a, b) con a ∈ A e b ∈ B.
- L’ordine nelle coppie è importante: A × B ≠ B × A in generale.
Key Terms & Definitions
- Insieme — Collezione definita di oggetti.
- Elemento — Oggetto appartenente a un insieme.
- Sottoinsieme — Un insieme contenuto in un altro insieme.
- Intersezione — Insieme degli elementi comuni a due insiemi.
- Unione — Insieme degli elementi presenti in almeno uno dei due insiemi.
- Complementare — Insieme degli elementi che non appartengono a un sottoinsieme fissato.
- Universo (U) — Insieme di riferimento dal quale sono presi gli elementi.
- Prodotto cartesiano — Insieme delle coppie ordinate formate da elementi di due insiemi.
- Quantificatore universale (∀) — Indica che una proprietà vale per tutti gli elementi.
- Quantificatore esistenziale (∃) — Indica che una proprietà vale per almeno un elemento.
Action Items / Next Steps
- Ripassare sul manuale le proprietà delle operazioni tra insiemi.
- Allenarsi a riconoscere e utilizzare la simbologia vista in esercizi.
- Prepararsi per la prossima lezione sugli insiemi.