Benvenuti a questo Precorso di Matematica. Io sono Isabella Fascitiello e sarò la vostra docente per queste lezioni. Andremo ad affrontare quei concetti della matematica che sono necessari, fondamentali come prerequisiti per poi affrontare tutta la parte della matematica che rientra nel vostro programma al fine del superamento del test. Il primo capitolo che andremo ad affrontare è il capitolo degli insiemi. Un insieme in matematica, così come il concetto di elemento, è un concetto primitivo, nel senso che non può essere definito tramite dei concetti più semplici.
Per questo motivo, per definire un insieme, abbiamo bisogno di utilizzare dei sinonimi come una collezione di oggetti o un raggruppamento di oggetti. In matematica un insieme risulta definito quando esiste una regola univoca quindi una frase che ci permette di stabilire se un qualunque elemento x appartiene o non appartiene all'insieme considerato. Esempi di insiemi possono essere l'insieme delle consonanti dell'alfabeto italiano o anche l'insieme dei numeri relativi.
Vedremo un po' di simbologie che poi ci accompagneranno in tutto questo percorso e in generale nella matematica. Quando vedete una E che sembra un po' il simbolo dell'euro, questo in matematica significa appartiene, cioè stiamo dicendo che l'elemento X appartiene all'insieme A. Se volessimo rappresentare simbolicamente l'appartenenza di un elemento ad un insieme, potremmo utilizzare un cosiddetto diagramma, chiamato diagramma di Euler-Rowen, in cui l'ovale rappresenta l'insieme A e x rappresenta un elemento che appartiene all'insieme A.
Al contrario, quando la E è barrata, Quindi con questo simbolo andremo ad indicare che x non appartiene all'insieme A. Quindi sempre nell'esempio dovremmo togliere la x dall'insieme. Infine potremo incontrare un altro simbolo che collega tra loro due insiemi ed è il simbolo di contenuto o sottoinsieme, che è questa c che può essere seguita o non seguita da una barretta sottostante.
Quando vedete una C con la barretta sottostante stiamo ad indicare che l'insieme A è contenuto nell'insieme B, o meglio che l'insieme A è un sotto insieme dell'insieme B. Stiamo dicendo che l'insieme A è un insieme costituito da alcuni degli elementi che appartengono anche a B e solo alcuni degli elementi che appartengono a B, non è formato da elementi che non stanno in B. Invece, quando non vedete la lineetta sotto l'insieme, vuol dire che A è contenuto propriamente in B. Cioè, che cosa stiamo dicendo? Stiamo dicendo che sicuramente A è più piccolo di B ed è contenuto strettamente in B.
Cioè, esisterà almeno un altro elemento dell'insieme B che appartiene a B ma non appartiene ad A. Un po' come, se volete, siete più abituati con questa simbologia, il minore è il minore uguale. Diamo un po' di definizioni, alcune anche molto semplici e intuitive. Due insiemi A e B si dicono uguali quando contengono gli stessi elementi. In matematica abbiamo bisogno anche di definire l'insieme vuoto, ovvero un insieme completamente privo di elementi, e l'insieme verrà indicato con una sorta di zero spaccato.
Inoltre può capitare che la definizione di un insieme non sia completa ed esaustiva, se non andiamo ad identificare l'universo dal quale poi noi prendiamo gli elementi per mettere in quell'insieme. Ve lo faccio vedere con un esempio, così forse è più chiaro. Consideriamo l'insieme A formato da tutti gli elementi x, dove x è un numero compreso tra 1 e 5 e estremi esclusi.
Questa è un'altra simbologia per indicare alcuni insiemi, che si chiama una simbologia per proprietà caratteristica o per proprietà esaustiva. Questo significa che noi attraverso un'unica formula andiamo ad indicare tutti gli elementi che appartengono a quell'insieme. Ora, qual è il punto?
Il punto è che io non so x che numero è. Se x fosse un numero intero o positivo, è chiaro che questo insieme contiene soltanto gli elementi 2, 3 e 4, perché sono gli unici contenuti strettamente tra 1 e 5. Ma se x non è un numero necessariamente solo intero, ma può essere anche un numero decimale, è chiaro che questo insieme contiene infiniti elementi. c'è 1,01 così come π, così come 2,3 eccetera eccetera.
Quindi abbiamo bisogno spesso di identificare un ambiente nel quale stiamo lavorando e l'ambiente viene chiamato anche universo in genere e si indica con la lettera U. Un rapido esempio di quello che abbiamo appena detto può essere l'universo dell'alfabeto italiano e all'interno dell'universo dell'alfabeto italiano noi consideriamo l'insieme formato dalle vocali dell'alfabeto italiano, come vedete qui in figura. Come per i numeri si possono fare delle operazioni tra gli insiemi.
Le operazioni che andremo a vedere ora sono l'operazione di intersezione tra insieme, di unione tra insieme e di complementare di un insieme. L'intersezione tra due insiemi A e B è ancora un insieme costituito da tutti quegli elementi che appartengono contemporaneamente ad A e a B. In simboli l'intersezione si indica con una U capovolta e potremmo dire che A intersecato B è l'insieme di tutti quegli elementi X che appartengono sia ad A che a B.
Se volessimo rappresentarlo mediante un diagramma di Euler-Rowen, quelli che abbiamo già utilizzato nella prima slide, dovremmo disegnare i due ovali A e B che si intersegano in qualche modo e la parte in comune di questa intersezione costituisce proprio l'intersezione tra due insiemi. Quindi, ad esempio, se l'insieme A è costituito dai numeri 0, 3, 8 e l'insieme B dai numeri 0, 3, 22, 70, è chiaro che l'insieme A intersecato B è costituito solo dai numeri 0 e 3, che sono gli unici numeri che hanno in comune. Quindi qui all'interno dell'intersezione dovremo inserire i numeri 0 e 3, inoltre A contiene anche l'elemento 8 e B contiene anche... gli elementi 22 e 70. L'unione tra due insiemi A e B, invece, è ancora un insieme costituito da tutti quegli elementi che appartengono ad A oppure a B.
Cioè stiamo dicendo che un elemento può appartenere ad uno dei due insiemi e non necessariamente ad entrambi per appartenere alla loro unione. In simboli A unito B l'unione si indica con una U, è dato da tutti quegli elementi x che appartengono ad A o a B. Con i diagrammi di Euler-Rowen chiaramente l'insieme unione è costituito proprio da tutti e due gli insiemi. Vi faccio notare che gli elementi che appartengono all'intersezione nell'unione vengono contati una sola volta.
Infine, il complementare di un insieme A è un'operazione che si applica soltanto all'insieme A, non è un'operazione che va a comporre due insiemi distinti. Il complementare di un insieme A è l'insieme di tutti quegli elementi dell'universo, dal quale stiamo prendendo i nostri dati, che non appartengono ad A. Il complementare quindi è una sorta di negazione, tutto quello che non sta in A e con i simboli si indica con una barretta sopra all'insieme.
Quindi se A è l'insieme costituito dagli elementi 0, 3, 8 e invece il nostro insieme universo sarà 0, 3, 8, 22 e 70, è chiaro che il complementare di A sono gli elementi 22 e 70. Questa tabella riporta le principali proprietà delle operazioni tra insiemi. Non andremo ad approfondirle in questa sede, sappiate soltanto che sono delle proprietà che possono esservi utili nella risoluzione dei test e che quindi è bene andare a ripassare anche all'interno del vostro manuale, dove le troverete chiaramente. Altre simbologie che si utilizzano spesso in matematica per utilizzare e per indicare La totalità o una parte degli elementi di un insieme sono i cosiddetti quantificatori.
Si definiscono due quantificatori, rispettivamente il primo viene chiamato quantificatore universale e il secondo esistenziale. Perché universale? Perché l'universale indica la totalità degli elementi di quell'insieme che state considerando.
si indica con una A maiuscola capovolta verso il basso e quando questa A va a anticipare una cosa di questo tipo per ogni x appartenente ad R Stiamo indicando tutti gli elementi x che stanno in R e che rispettano quello che andrete a scrivere successivamente. Allo stesso modo il quantificatore esistenziale, che è una E maiuscola capovolta ma verso sinistra, indica l'esistenza di alcuni elementi degli insiemi che verificano una certa proprietà. Quindi esiste x appartenente ad A, tale che accade qualcosa, stiamo dicendo che in A esisterà almeno un elemento che verifica quella proprietà che stiamo scrivendo successivamente. Un'altra operazione che si può fare tra due insiemi A e B è il cosiddetto prodotto cartesiano. Il prodotto cartesiano tra due insiemi A e B è un insieme formato da tutte coppie ordinate AB Dove il primo elemento appartiene al primo insieme considerato e il secondo elemento al secondo insieme considerato.
State attenti che nel prodotto cartesiano l'ordine col quale prendete gli elementi all'interno degli insiemi A e B è molto importante. Se io sto scrivendo A per B, indico che il primo elemento della coppia deve essere in A e il secondo deve essere in B. Al contrario, se io scrivessi B per A, dovrei invertire tutti gli elementi che si trovano nelle coppie, quindi dovrei invertire la coppia AB nella coppia BA.
È chiaro che questa inversione mi crea delle coppie distinte, e quindi in generale il prodotto cartesiano non è commutativo. Cioè A per B è diverso da B per A. Per farvi un esempio, forse in un ambiente dove siete abituati a ragionare, nel piano cartesiano il punto 1,3 è chiaramente un punto distinto rispetto al punto 3,1.
E qui è lo stesso identico procedimento. Vediamo un esempio semplice. Se A è costituito dagli elementi ABC e B è costituito dagli elementi XY, è chiaro che l'insieme A per B sarà costituito da sei coppie, perché il numero delle coppie è dato dal prodotto tra il numero degli elementi di A e il numero degli elementi di B.
E queste sei coppie chi saranno? Sarà AX, AY, BX, BY, CX, CY. Potete vedere il prodotto cartesiano anche graficamente attraverso una sorta di diagramma cartesiano in cui sull'asse orizzontale mettete gli elementi che appartengono ad A, sull'asse verticale riportate gli elementi di B e le vostre coppie ordinate saranno proprio i nodi che congiungono gli elementi uno a uno, ovviamente considerando sempre prima l'orizzontale e poi il verticale.
Con questo argomento abbiamo concluso, vi auguro un buono studio e ci vediamo alla prossima lezione.