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Fonctions Paires et Impaires

[Musique] bonjour dans cette vidéo je te propose de revoir tout le cours sur la notion de fonctions père fonction un père et on traitera de certaines fonctions de référence l'objet de cette séquence est de te rappeler et de t'expliquer les éléments les plus importants de ce chapitre plus précisément on parlera donc de la notion de fonctions paires et impaires et on verra des exemples sur des fonctions de référence tels la fonction car et la fonction cube mais également la fonction inverse et la fonction racine carrée pour préparer un contrôle ou un examen ceci ne suffira évidemment pas il te faudra encore temps traîner sur de nombreux exercices pour le court c'est parti alors commençons par parler de fonctions perd ensuite on poursuivra avec les fonctions 1 perd la notion de fonctions père est assez simple à comprendre lorsqu'on la traite simplement graphiquement il se trouve que ici j'ai représenté une fonction père et comment on la reconnaît tout simplement parce que cette fonction à une courbe qui est symétrique par rapport à laax désordonnée on imagine que si on effectue un pliage le long de l'axé des ordonnées et bien cette partie de courbes se superposerait avec cette partie de coraux c'est ça la définition géométriques la définition graphique d'une fonction père et du coup ça induit une formule algébrique qui est un peu plus complexe à comprendre mais vu qu'on va s'appuyer sur le graphique tu vas voir que c'est pas si compliqué que ça on va prendre deux points enfin plutôt deux apsys symétrique par rapport à l'origine et donc par rapport à l'axé des ordonnées deux absides quelconque je vais donc prendre x et donc son symétrique de l'autre côté qui sera égal à - it's voilà donc l'abscisse x et son symétrique donc si c'est son symétrique forcément il a une valeur opposé donc moins tu es j'avais cherché les images de x et de moins x par notre fonction qu'on va appeler f on va lui donner un nom donc par la fonction donc qui est représenté par cette courbe commençons par f 2 x voilà j'ai donné un petit nom à ma courbe ces deux f comme ça on comprend bien que la fonction avec laquelle on travaille s'appelle f donc ici je cherche l'image de x par la fonction f j'arrive là en f2 x et je vais faire la même chose partant de moins x je pense que tu imagines ce qui va se passer je pars de moins 6 je vous joins la courbe et je trouve donc l'image de moins 6 paref soit f2 - x et comme il y à symétrie par rapport à l'axé des ordonnées et bien on se doute bien que en partant de x ou en partant de - it's on arrive nécessairement sur le même point au niveau de l'axé des ordonnées et qu'est ce que cela entraîne eh bien ça entraîne que f 2 x et f2 - x sont égaux et c'est ça qui va nous permettre de définir une fonction père dire qu'une fonction et perd alors sur un intervalle ou sur son ensemble de définition cela signifie que dès que je prends 1 x est un - x qui appartiennent toutes les deux donc à cet ensemble de définition et bien f2 - x égale f 2 x et quand on aura démontré par calcul qu'une fonction et père eh bien on calculera f2 - x on calculera f 2 x on va le faire tout à l'heure sur un exemple et normalement on doit trouver la même chose si ceci est vrai pour toutes xe et bien cela signifie que notre fonction et perd alors poursuivons avec les fonctions un père j'ai représenté ici donc une fonction un père déjà on remarque qu'elle n'est pas père puisque cette courbe n'est pas symétrique par rapport à l'axé des ordonnées j'ai un morceau courbe ici mais j'ai rien ici par contre si on y regarde d'un peu plus près cette coupe quand même qu'on connaît quand même une autre symétrie mais pas une symétrie axiale c'est en fait une symétrie central qu'il ya pour cette courbe ci ont effectué un demi-tour autour de l'origine de notre repère est bien là les deux morceaux de co se superposent parfaitement et oui une fonction est un père lorsque sa courbe représentative et symétrique par rapport à l'origine du repère et comme tout à l'heure pour les fonctions père on va essayer de comprendre ce que cela induit au niveau des calculs alors on va faire comme tout à l'heure je vais prendre un x quelconque sur l'axé des abscisses et donc sont opposés - x qui est symétrique par rapport à août et on va chercher l'image de x par la fonction f et l'image de moins x par la fonction f en utilisant sa courbe représentative ça donne alors pour x son image est tous là haut soit elle de x pour - x alors cela son image est tout en bas ici soit f de moins qu alors bon on est d'accord que la sève de geeks n'est pas égale à deux - ic ça tombe bien parce que sinon on aurait prouvé qu'elle son père or celles ci on a dit qu'elle est un père par contre il ya quand même quelque chose d'intéressant c'est que la symétrie centrale entraîne que f 2 x et f2 - x sont symétriques par rapport au centre du repère ce qui veut dire que f 2 x et f2 - x sont opposés ils ont la même valeur absolue c'est juste le signe qu'ils changent du coup on a également une définition de la fonction un père allait de f de l'iccn deux mois x on dira qu'une fonction est un père dès qu'on prend un hic c'est un moins x sur son ensemble de définition et qu'on d'un f2 - x égales - f2 x si on arrive à prouver ça pour une expression d'une fonction f eh bien on aura prouvé que notre fonction elle est un père alors voyons maintenant quelques exemples on va regarder ce qu'il en est de la parité des fonctions de référence et on va en profiter pour parler un petit peu de ses fonctions donc ce sont donc la fonction car et la fonction cube la fonction inverse est également la fonction racine carrée on va commencer par la fonction carré alors la fonction carré car comme son nom l'indiqué si elle s'appelle f elle est définit par f 2 x égale x au carré elle nous renvoie donc tous les cars et si je lui donne 3 eh bien elle me renvoie 3 au carré c'est à dire neuf si je lui donne 5 et bien me renvoie 5 au carré c'est à dire 25 et si je lui donne moins de 1 nombre négatif et bien me renvoie attention - 2 au carré c'est à dire moins deux fois moins deux autrement dit en quatre voilà la fonction carré et on peut la représenter cette fonction car et ça donne ceci cette fonction car et elle est représentée par une courbe qui porte un nom qui est très connu qui s'appelle une parabole en plus cette parabole parce qu'on peut avoir des paraboles qui sont fixés un peu n'importe où dans notre père mais cette parabole on voit que elle s'accroche au centre du repère dans à l'origine du rheu à l'origine du repère cette parabole a donc pour sommer et bien l'origine du repaire ceci c'est uniquement pour la fonction carré mais il ya quelque chose qui nous intéresse un peu plus au niveau des symétries on remarque que cette parabole veut qu'elle ait fixé sur l'origine du repère et bien cette parabole connaît une symétrie une symétrie axiale ce qui signifie par rapport à ce qu'on a dit tout à l'heure que la fonction carré est une fonction perd et on peut même le démontrer le démontrer très facile on a dit tout à l'heure qu'une fonction père c'est une fonction qui vérifie f2 - x égale f 2 x alors est ce que ça marche ici pour la fonction carré bien calculons f2 - x et regardons si ça fait l 2 x alors vu que f 2 x égale x au carré f2 - x / remplace donc moins x et je vais ça au carré sera donc les galas - x au carré c'est à dire moi x fois moins x - par - plus autrement dit x au carré et bien x au carré c'est quoi cf 2 x on a donc prouvé que f2 - xc ghallef 2x et on a donc prouvé que la fonction carré est une fonction père passons à la fonction cubes alors la fonction cubes si on l'appelle aussi f on les appelle tout f dans cette séquence est plus simple un sur l'appel aussi f elle est définit par eve 2 x égal et s'appelle cube donc x au cube et qu'est-ce qu'elle fait cette fonction et bien nos calculs des cubes si je lui donne 2 eh bien elle me renvoie de occupe de puissance 3 c'est-à-dire 2 x 2 x 2 c'est à dire 8 si je lui donne 5 eh bien elle ne renvoie 5 au cube c'est à dire 5 x 5 x 5 alors 5 x 5 25 fois 525 voilà que ça monte beaucoup plus vite et si je lui donne moins trois allemands elle me renvoie -3 au cube c'est à dire moins trois fois moins trois fois moins 3 j'ai donc trois facteurs négatifs qui est donc négatif et 3 x 3 x 3 ça donne 27 donc l'image de -3 par la fonction cube c'est moins 27 et quand on regarde notre fonction cube là encore si on s'en réfère à ce qu'on a vu tout à l'heure eh bien on remarque que cette fonction connaît une symétrie ça ressemble un petit peu à la courbe que j'ai tracé tout à l'heure d'ailleurs elle est symétrique par rapport à l'origine du repère ce qui signifie que la fonction qu est une fonction un père et là encore on va le démontrer parce que c'est très rapide tu vas voir tout de suite on va donc démontré que si je calcule f2 - x eh bien je trouve - f2 x alors calculons f2 - x c'est à dire je remplace x poire par - x dans l'expression de la fonction ça me donne moins x au cube autrement dit ça fait alors je le détail ici pour bien comprendre - x x - xx x - x et comme tout à l'heure j'ai un deux trois facteurs - qui me donne - qu'est-ce qui me reste il me reste x x x x x qu'on écrit tout simplement x au cube autrement dit elles deux - x est égal à moins x au cube mais x au cube c'est quoi ces aides de x donc là je peux remplacer x au cube paraît de x et qu'est ce qui me reste il me reste - f2 x et quand il me reste moins de x je viens donc de prouver que f2 - x égales - f2 x et ça c'est exactement ce qu'il nous faut pour justifier que la fonction cube est une fonction un père on poursuit avec une fonction très origine c'est la fonction inverse la fonction inverse c'est donc une fonction qui nous renvoie des inverse elle est définie sur r - 0 donc elle exclut 0 on va voir tout de suite pourquoi par l 2 x égal 1 sur x alors quelques exemples pour comprendre si je donne deux à ma fonction inverse qu'est ce qu'elle me renvoie bien elle me renvoie linverse de 2 c'est-à-dire 1 2 si je lui donne 5 tu as compris qu'elle renvoie un cinquième et si je lui donne trois demis à ma fonction inverse bien l inverse la fonction inverse elle le renvoie deux tiers en fait elle renvoie un sur trois demi si j'applique littéralement l'expression et un sur trois demis 1 / 3/2 ça me donne deux tiers et je peux également lui donner des négatifs si je lui donne moins 3 et bien le renvoi moins un tiers 1 / - 3 alors 1 / - 3 ça fait moins un tiers et si je lui donne zéro à ma fonction inverse qu'est ce qu'elle me renvoie eh bien ils me renvoient normalement linverse de zéro c'est à dire 1 / 0 là j'ai un peu du mal à les écrire pourquoi parce que pourtant convaincre prends ta calculatrice effectué 1 / 0 tu verras qui aura un petit bug on ne peut pas / 0 en mathématiques et donc si on ne peut pas / 0 ça veut dire que la fonction inverse n'accepte pas la valeur zéro elle n'est donc pas défini en zéro et c'est pour cette raison que dans la d'expression de la fonction dans la définition de la fonction on nous dit que l'ensemble de définition ces aires - 0 donc on peut prendre n'importe quelle valeur réelle mais pas et vous et quand on trace la représentation graphique de la fonction inverse on le constate bien ça on remarque que on peut aller chercher des images partout sur notre fonction inverse mais si on va chercher quelque chose en 0 ya un trou la courbe ne traverse un axe désordonnée et bien heureusement puis elle n'est pas défini en zéro et ce qui fait que c'est une représentation originale comme je l'avais annoncé parce que on a là une courbe qui est formé de deux branches et en fait cette courbe la porte également un nom elle s'appelle une hyperbole et on a à gauche et à droite de l'axé des ordonnées chacune des deux branches de notre hyperbole et en plus si on en revient à ce qu'on a dit au départ eh bien il se trouve que on remarque quand même que cette coupe connaît une symétrie une symétrie par rapport à l'origine du repère et donc il se trouve que la fonction inverse est elle aussi une fonction un père alors là on va pas le démontrer je t'invite à le faire c'est extrêmement rapide et extrêmement facile et enfin on va finir avec une petite dernière la fonction racine carrée alors la fonction racine carrée et bien elle nous renvoie les racines carrées de dénombre c'est à dire c'est la fonction réciproque de la fonction carré elle nous renvoie le nombre qu'on a élevée au carré ça donne quoi si je lui demande à la fonction racine carrée de me donner l'image de 4 et bien quel est le nombre qui élevée au carré donne 4 2-2 au carré ça donne 4 l'image de 4 ces deux si je lui demande à la fonction racines qu'un l'image de 16 quel est le nombre qui élevée au carré est égale à 16 bien ces quatre là qu un tocard et donne 16 un petit dernier si je lui demande l'image de 49 quel est le nombre qui est élevée au carré est égale à 49 ses sets mais je peux également lui donner lui demander l'image de 2 à la fonction racine carrée quel est le monde et quel est le nombre qui est élevée au carré est égal à 2 alors là c'est pas un entier sait même pas indécis mal c'est un peu plus embêtant alors comme je ne peux pas écrire sous sa forme de seaman bien le mieux que je puisse faire c'est dire bien ses racines carrées de deux ça c'est un nombre à son carré de 2 on peut éventuellement derrière en donner une valeur approcher si on veut mais c'est pas forcément nécessaire on peut se contenter de l'écriture exact sous cette forme là et si je lui demande l'image de moins 3 fonction racing est bien là elle m'envoie balader tout simplement parce que la fonction racine carrée on le voit est défini sur l'intervalle zéro + l'infini elle n'accepte pas de valeurs négatives pourquoi ça parce que la question est quel est le nombre qui est élevée au carré est égal à -3 et bien ça c'est pas possible on ne peut pas trouver un nombre au carré qui est égal à quelque chose de négatif tout simplement parce que si ce nombre est positif + par plus ça fait plus donc ça marche pas et si ce nombre est négatif moins par mois ça fait plus aussi donc c'est impossible de trouver un quart est négatif donc c'est impossible de trouver l'image de -3 par la fonction racine carrée donc la fonction racine carrée est défini sur zéro + l'infini 0 on accepte un racine carrée 2 0 ça fait zéro mais du coup quand on regarde sa représentation graphique on voit que on ne la trouve que du côté des positif et c'est normal puisque c'est son ensemble de définition qui nous le dit et à partir de là eh bien on peut toujours aller lui chercher une parité il peut pas y en avoir de parité puisque pour qu'il y ait une parité il faut bien qu'ils une symétrie soit par rapport à l'axé des ordonnées donc on va retrouver quelque chose du côté des négatifs soit par rapport à l'origine donc on va aussi trouver quelque chose du côté des négatifs si elle n'est pas défini du côté des négatifs elle n'aura pas de parité donc on dit que la fonction racine carrée n'est ni père ni un père et oui il y en a qui sont hyper ni à faire voilà on a fini pour ce court je t'invite bien évidemment à faire des exercices pour t'entraîner en tout cas cette séquence elle est terminée