Lezione sulla Similitudine e le sue Applicazioni

Definizione di Figure Simili

• Figure Simili: Due figure con la stessa forma ma dimensioni diverse.
• Similitudine: Trasformazione non isometrica che mantiene il rapporto costante tra segmenti corrispondenti.

Trasformazioni Simili

• Rapporto di Similitudine (k):
  • Se k > 1: Ingrandimento
  • Se k = 1: Figure congruenti
  • Se k < 1: Riduzione

Esempi di Similitudine

• F2 simile a F con rapporto k=2 (ingrandimento).
• F1 simile a F con rapporto k=1/2 (riduzione).

Triangoli Simili

• Criteri di Similitudine:
  1. Due angoli congruenti.
  2. Due lati proporzionali e un angolo compreso congruente.
  3. Tre lati proporzionali.
• Proprietà:
  • Perimetri in rapporto k.
  • Aree in rapporto k^2.

Esempio di Calcolo

• Se il rapporto di similitudine è 3/4, il rapporto tra le aree è 9/16.

Teoremi di Euclide

• Terminologia: Triangolo rettangolo, altezza relativa, proiezioni.
• Proporzione: Uguaglianza tra due rapporti.
  • Medio proporzionale: a : b = b : c → a*c = b^2
• Primo Teorema di Euclide:
  • Un cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione sull’ipotenusa.
  • Formula: AB * AH = AC^2
• Secondo Teorema di Euclide:
  • L’altezza è medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti.
  • Formula: HC^2 = AH * BH*

Rapporto Aureo e Applicazioni

• Definizione: Sezione aurea, rapporto tra segmenti.
• Matematicamente: ≈ 1.618, noto come phi.
• Rettangolo aureo: Rettangolo con il rapporto aureo tra lunghezza e larghezza.
• Esempi nell'Arte e Architettura:
  • Uomo Vitruviano di Leonardo da Vinci.
  • "Composizione con grigio ed ocra" di Piet Mondrian.
  • Partenone.