In questa lezione analizzeremo il concetto di similitudine, e le sue applicazioni. Cominciamo con il dare la definizione di figure simili. Due figure aventi la stessa forma ma non necessariamente le stesse dimensioni sono dette simili. La trasformazione di una figura F nella sua immagine Fʹ è una trasformazione non isometrica che prende il nome di similitudine. Spieghiamo meglio questo concetto: Tra due poligoni simili è sempre possibile istituire una corrispondenza biunivoca tale che sia costante il rapporto tra segmenti corrispondenti. Se ad esempio prendiamo queste due figure simili F e F’ ottengo i seguenti rapporti A’B’/AB = B’C’/BC e via, fra di loro uguali ad una costante k chiamata rapporto di similitudine e talvolta, nelle applicazioni, scala di rappresentazione. Inoltre, gli angoli corrispondenti delle due figure sono tutti congruenti. La trasformazione di una figura F nella sua immagine Fʹ sarà: Se k > 1 un ingrandimento ; se k = 1 figure congruenti; se k < 1 una riduzione Vediamo alcuni esempi: In questa figura si nota che a partire dalla figura F, la figura F2 è simile di rapporto k=2 (c’è stato un ingrandimento), invece la figura F1 è simile di rapporto k=1/2 (c’è stata una riduzione). Passiamo ora ad analizzare un caso particolare: i triangoli Sapendo che due triangoli simili hanno i tre angoli ordinatamente congruenti e i lati corrispondenti con rapporto costante possiamo enunciare i 3 criteri di similitudine Due triangoli sono simili Se hanno due angoli congruenti se hanno due lati proporzionali e l’angolo compreso congruente se hanno ordinatamente proporzionali i tre lati. Vi faccio notare che il triangolo è l’unico poligono per il quale è possibile ottenere un criterio di similitudine che prenda in considerazione solamente i lati. Per esempio se prendo questo quadrato e lo deformo si nota che i lati rimangono congruenti ma le due figure non sono simili. Torniamo ai triangoli ed enunciamo alcune proprietà dei triangoli simili: I perimetri di due triangoli simili hanno lo stesso rapporto di similitudine che c’è fra i lati corrispondenti. il rapporto fra i due perimetri è uguale a k. invece le aree hanno un rapporto pari a k^2. Queste proprietà sono utili nei test, vediamo un esempio. Il rapporto di similitudine tra due triangoli simili è di 3/4. Qual è il rapporto tra le aree dei due triangoli? Per la proprietà enunciata poco fa possiamo rispondere che il rapporto tra le aree è 9/16, Un’altra importante applicazione della similitudine si trova nei teoremi di Euclide. Ma prima di enunciare i teoremi occorre ripassare la terminologia che verrà utilizzata. Se consideriamo un triangolo rettangolo e disegniamo l'altezza relativa all'ipotenusa chiamandola CH, l'ipotenusa si divide in AH e HB. AH sarà la proiezioni di AC, mentre HB la proiezione di CB. Si definisce proporzione: un’uguaglianza tra due rapporti. a su b = c su d E si scrive: a : b = c : d (a sta a b come c sta a d) dove è sempre verificata la relazione a*d=b*c (il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi). Inoltre si dice che un numero b è medio proporzionale tra i numeri a e c se sussiste la proporzione: a : b = b : c (a sta a b come b sta a c ) ovvero a*c = b^2 Se consideriamo il triangolo rettangolo ABC, l’altezza CH relativa all’ipotenusa AB divide il triangolo ABC in due triangoli rettangoli più piccoli, ma simili ad ABC perché hanno un angolo acuto in comune con esso e un angolo retto (per il primo criterio visto i triangoli sono simili). Sfruttando queste similitudini possiamo enunciare i teoremi di Euclide. Il Primo teorema di Euclide dice che: In un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa. Utilizzando le proporzioni: l’ipotenusa AB : cateto AC = AC : alla sua proiezione sull’ipotenusa AH ovvero AB *AH = AC^2 possiamo rappresentare questo teorema segnando le aree dei triangoli Q = AC^2 ed R = AB*AH. Possiamo procedere allo stesso modo per il secondo cateto. Vi faccio notare che combinando l’applicazione del primo teorema di Euclide ad entrambi i cateti si ritrova il famoso teorema di Pitagora: AB^2 (che è uguale a R + S)=AC^2+CB^2 Passiamo al secondo teorema di Euclide. In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa Utilizzando le proporzioni: La proiezione del cateto CA sull’ipotenusa detta AH : altezza HC= HC : proiezione del cateto CB sull’ipotenusa detta BH ovvero HC^2 =AH*BH possiamo rappresentare questo teorema segnando le aree dei triangoli Q = HC^2 ed R = AH*BH. Questi teoremi sono molto importanti e occorre usarli molto spesso per la risoluzione dei test. Passiamo ora ad analizzare il rapporto aureo e le sue applicazioni. Il rapporto aureo è un rapporto tra segmenti che svolge un ruolo particolare sia nella geometria sia nell’arte per l’armonia delle forme a cui dà origine. Se abbiamo un segmento AB e lo dividiamo in due parti segnando un punto C, si dice sezione aurea di un segmento AB quella parte AC che risulta media proporzionale tra l’intero segmento e la restante parte CB. Ovvero AB : AC = AC: CB Matematicamente, questo rapporto è approssimativamente uguale a 1,618. Questo numero, denotato dalla lettera greca phi, è noto anche come numero aureo. Il rettangolo aureo, noto anche come rettangolo dorato, è un tipo speciale di rettangolo che ha il rapporto aureo tra la lunghezza e la larghezza dei suoi lati. A conclusione della lezione possiamo trovare esempi tratti dal mondo dell’arte in cui è stato usato il rapporto aureo Nella pittura, possiamo ricordare l’Uomo Vitruviano, creato dall’artista rinascimentale Leonardo da Vinci. oppure l’opera di Piet Mondrian del 1918 “Composizione con grigio ed ocra”, nella quale è ben visibile l'impostazione artistica che basa l'intero dipinto sull'accostamento di quadrati e rettangoli aurei. Nell’architettura la sezione aurea è stata utilizzata per la costruzione del Partenone nel V secolo a.C.