कक्षा 12 - अध्याय 5: निरंतरता और अवकलनीयता (Continuity and Differentiability)

परिचय

• निरंतरता का भाग पिछली वीडियो में कवर किया गया था।
• इस वीडियो में अवकलनीयता (Differentiability) को कवर किया जाएगा।

अवकलनीयता (Differentiability)

• अवकलनीयता का अर्थ:
  • किसी फंक्शन को अलग-अलग करके लिखना।
  • डिफरेंशिएशन का मतलब फंक्शन को चेंज या ट्रांसफॉर्म करना।
• महत्वपूर्ण प्रकार:
  • समग्र फंक्शन (Composite Function)
  • निहित फंक्शन (Implicit Function)
  • व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फंक्शन (Inverse Trigonometric Function)
  • प्रदत्त फंक्शन (Exponential Function)
  • लघुगणकीय फंक्शन (Logarithmic Function)
  • पैरामीट्रिक रूप (Parametric Form)
  • दूसरा आदेश अवकलन (Second Order Derivative)

अभ्यास प्रश्न

• अभ्यास 5.2:
  • समग्र फंक्शन पर आधारित है।
• अभ्यास 5.3:
  • निहित और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फंक्शन पर आधारित है।
• अभ्यास 5.4:
  • प्रदत्त फंक्शन आधारित प्रश्न।
• अभ्यास 5.5:
  • लघुगणकीय फंक्शन आधारित प्रश्न।
• अभ्यास 5.6:
  • पैरामीट्रिक रूप और दूसरा आदेश अवकलन पर आधारित है।

महत्वपूर्ण नियम और सूत्र

• चेन रूल (Chain Rule):
  • जब दो या अधिक फंक्शन एक साथ होते हैं, तो पहले वाले को यथावत और दूसरे के अवकलन को जोड़ते हैं।
• उत्पाद रूल (Product Rule):
  • अगर फंक्शन गुणा में है, तो पहला as it is और दूसरे का डेरिवेटिव + दूसरा as it is और पहले का डेरिवेटिव।
• भाग रूल (Quotient Rule):
  • अगर फंक्शन भाग में है, तो नीचे वाला as it is और ऊपर वाले का डेरिवेटिव - ऊपर वाला as it is और नीचे वाले का डेरिवेटिव / नीचे वाले का वर्ग।

त्रिकोणमितीय अवकलन

• साइन:
  • sin का अवकलन cos होता है।
• कोसाइन:
  • cos का अवकलन -sin होता है।
• टेन:
  • tan का अवकलन sec² होता है।

ट्रिग्नोमेट्रिक अवकलन के व्युत्क्रम रूप

• साइन इनवर्स:
  • 1/√(1-x²)
• कोसाइन इनवर्स:
  • -1/√(1-x²)
• टेन इनवर्स:
  • 1/(1+x²)

प्रदत्त और लघुगणकीय फंक्शन

• Exponential Function:
  • e की पावर का अवकलन e की पावर ही होता है।
• Logarithmic Function:
  • log x का अवकलन 1/x होता है।

प्रश्नों पर ध्यान देना

• प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष रूप से फंक्शन को पहचानना और उसके अनुसार नियम लागू करना आवश्यक है।
• अवकलनीयता का अभ्यास विभिन्न प्रकार के प्रश्नों के माध्यम से किया जाता है।

समापन

• सभी प्रकार और अवधारणाओं को एक साथ जोड़कर अभ्यास करना आवश्यक है।
• इस अध्याय की पूरी तैयारी के लिए दिए गए प्रश्नों को हल करना और अवधारणाओं को समझना महत्वपूर्ण है।