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अवकलनीयता और उसके नियम

क्लास 12 चैप्टर नंबर 5 जिसका नाम है continuity and differentiability जिसमें से continuity वाला पार्ट तो मैंने last वीडियो में आपको दिखा दिया था पूरा सारी के सारी चीजें इसमें मैंने करवाई थी और इसपर continuously views आए जा रहे हैं रहे हैं बहुत अच्छी बातें मतलब बच्चे सीख रहे हैं इसी का डिफरेंशिया बिलिटी रह गया था तो आज की इस वीडियो में सिर्फ और सिर्फ आपकी डिमांड पर मैं लेकर आया हूँ डिफरेंशिया बिलिटी जी हाँ आज की इस वीडियो में हम सिखेंगे ड इसके important types, exercise wise important questions भी हम solve करने वाले हैं आज की इस वीडियो में और फिर उसके बाद आपका ये पूरा chapter यानि continuity and differentiability complete हो जाएगा तो आईए फटा से बिना देरी के शुरू करते हैं differentiability के concept के साथ because आप सब जानते हैं कि concept is power स्वागत है आप सभी का आपके favorite channel DSM तो आइए इसके नाम से कौन सेब चीज़ते हैं इसका नाम है differentiation ये बना है differentiate से तो अगर आप Google पे जाकर differentiate के meaning ढूनना शुरू करेंगे तो आपको यहाँ पर इसके बहुत सारे meaning देखने को मिल जाएंगे जैसे कि यहाँ पर आपका हो गया डिफरेंट ठीक है डिस्ट्रिंगेश करना सेट अपार्ट अलग-अलग कर देना सेपरेट कर देना कनवर्ड कर देना चेंज कर देना ट्रांसफॉर्म कर देना तो समझ में आ रही है बात तो डिफरेंशिएशन का मतलब क्या है कि इसको तुकड़े करके लि� लिखना अलग-अलग करके लिखना तो इसका मतलब जो भी हमें सवाल दिए जाएंगे या जो फंक्शन दिए जाएंगे उसका अगर हम डिफरेंसिएशन करेंगे तो बेसिकली हम उस फंक्शन को क्या कर रहे होंगे हम उसको चेंज कर रहे होंगे कनवर्ट जी हां इंटीग्रेशन वर्ड बना है इंटीग्रेशन से इंटीग्रेशन का मतलब होता है जोड़कर लिखना इट मींस डिफरेंशियेशन में हम फंक्शन को तोड़कर फैलाकर खोलकर लिखेंगे और इंटीग्रेशन में हम बड़े फंक्शन को समेट कर उसको इंटीग्र ऊपर आपको differentiation लगाना है, इसके साथ खेलना है, कौन-कौन से वो type है, जान लो आपके फायदे की जिसे लिख भी लेना, ये वो 7 type है जो मैंने आपके लिए यहाँ पर लिख दी है, पहले type के function है composite function, इसके ऊपर आपके इन functions के ऊपर आपको differentiation इनका करना पड़ेगा, फिर आ� फिर आएंगे log वाले जिसका नाम है logarithmic function और फिर आएगी बारी function in parametric form की और उसके बाद last में second order derivative की तो इन सभी types के functions आपको differentiation में देखने को मिलेंगे कौन से function कौन सी exercise में है ये भी जान लो तो 5.1 पूरी आपकी continuity की थी तो यहाँ से आपका शुरू होगा 5.2 ठीक है जी ये आपका आएगा 5.2 में मतलब 5.2 पूरी composite function के उपर based है और उसके बाद जो आपकी 5.3 होगी उसमें आपको ये दोनों type के function देखने को मिलेंगे कौन-कौन से आपको implicit function और inverse trigonometric function 5.3 पूरी की पूरी इसके उपर है फिर आपकी आ जाएगी 5.4 exercise जिसके अंदर आपको exponential function वाले सवाल देखने को मिलेंगे उसके बाद आपकी आ जाएगी 5.5 जिसके अंदर आपको logarithmic यानि log वाले function देखने को मिलेंगे और ये है आपकी 5.5 पॉइंट 6 एक्सरसाइज जिसक पेरामेट्रिक फॉर्म के अंदर फंक्शन जो है वो दिये जाएंगे और यह आपके चैप्टर की लही रहेगी लास्ट एक्सरसाइज जिसके अंदर आपको सेकंड ओर्डर डेरिवेटिव देखने को मिलेगा इस तरीके से पूरा ये चैप्टर आपका डिफरेंसिशन का ज कुछ concept आपको सिखना पड़ेगा, मालिजिए 5.2 start करनी है, तो composite function के related आपको differentiation की चीज़े सिखनी पड़ेगी, इसके कुछ formula हैं, कुछ इसके formula हैं, इसके अलग formula हैं, इसका तरीका अलग है, इसका तरीका अलग है, इसलिए हर exercise ते पहले कुछ concept होंगे, अब अगर मैं सारे ही concept शुरू में ही बता दू, कि आपका भाईया क्या चैप्टर है बाबाल इतने सारे फॉर्मुले पहले याद करूं एक सवाल सॉल्व करने से पहले तो मैं ऐसा नहीं कर रहा मैं क्या करूंगा मैं आपको एक्सरसाइज वाइज लेकर चलूंगा अब हम पहले कॉमपोजिट कांशन के मतलब यह देने के लिए करने के लिए हमें किन-किन फॉर्मूलों की या किन-किन चीजों को पढ़ने समझने की जरूरत है पहले हम सिर्फ वह जानेंगे थोड़े बहुत चीजें फिर उससे रिलेक्टिडम क्वेश्चन करेंगे फिर अगली एक्सरसाइज आएगी तो उससे उसके कुछ सवाल फिर अगले का concept अगले के सवाल फिर उससे अगले का concept उससे अगले के सवाल तो ऐसे आपका एक sequence में तैयारी होगी आप sequence में सीखते हुए चलेंगे तो chapter आपको बहुत आसान लगने वाला है तो ये मैंने पूरी आपको strategy बता दी कि मैं क्या कैसे इस वीडियो के अंदर करने वाला हूँ और अब हम शुरू करते हैं composite number का concept सीखना जो कि हमारा यहां से होगा number के function का ठीक है तो सबसे पहले हम इसको सीखते हैं अब आईए copy pen लेके बिलकुल तैयार हो जाएगे ठंडे द और सीखने के लिए, तो कुछ example लेके आपको समझाना शुरू करता हूँ, सबसे पहले मैंने एक example लेया, let's suppose कोई function है, function for x, और function है x का cube, ठीक है, यह एक function हो गया, बहुत basic सा, ऐसे ही कोई और function हो सकता है, let's suppose मैंने एक function ले लिया, cos x, ठीक है जी, यह function हो गया, अब इसमें, differentiation में आपको function जो मिलेंगे, के y is equal to x का cube, यहाँ कोई trigonometric function हो, तो y is equal to cos x या फिर sin x या फिर कुछ भी हो सकता है y is equal to ऐसे आपको इसको लिखा आपको मिलेगा अब जब आप इसका differentiation करेंगे तो आप कुछ इस प्रकार इसको लिखेंगे कैसे आप लिखेंगे dy by dx जी हाँ is equal to dy by dx क्या मतलब है इसका मतलब समझो इसका मतल with respect to x, के x के संथर्व में हम y function का differentiation कर रहे हैं, तो इसको लिखा आएगा divide by dx, इस तरीके से, इसका एक तरीका ओरे लिखने का, आप इसको इस तरीके से y dash से भी denote कर सकते हैं, अगर आप लिखा हो आए y dash, तो इसका मतलब भी यही है, कि differentiation of y with respect to x, तो इस function को अगर हमें differentiate करना है, तो इस तरीके से हम इसको लिख सकते हैं, इसका मतलब, differentiation of y with respect to x के संदर्भ में y का differentiation होना या करना अब कैसे करेंगे अब आपको फॉर्मुला बता देता हूँ बहुत ही सिंपल सा बहुत ही बेसिक सा इसका एक फॉर्मुला है बता देता हूँ किसका डिफरेंसियेशन आपका करने का तो मैं यहाँ पर लिख रहा हूँ डिफरेंसियेशन तो अगर आपको इसका डि� जैसे कि यहाँ पर function ता हमारा x की power थे रही है, तो कुछ भी हो सकता है, तो मैं यहाँ पर मान लेता हूँ x की power n, अगर यह हमारे पास कोई function है, अब n power मतलब कितनी भी power हो सकती है, 5, 10, 15, कुछ भी power हो सकती है, तो अगर ऐसा कोई function है, तो इसको differentiation करने का formula simple है, यह जो power आप कि nx की power n-1, ऐसे आपका बन गया, तो अगर आपको इसका निकालना है, अब यहाँ पर आ जाओ, जैसे कि आपको अगर इसका differentiation करना है, x का cube का, तो आप क्या करेंगे, आप लिखेंगे differentiation of function y with respect to x, तो dy by dx, या फिर y dash भी आप लिख सकते हैं, किसका आप निकाल रहे हैं, आप power n minus 1, इसका मतलब जो power है वो मैं पहले लिखूंगा, तो 3 power है यहाँ पर यह रही, तो 3 मैंने पहले लिखा, x लिखा और फिर 3 minus 1 कर दिया या फिर 3 x square, तो यह जो निकल के आया, यह आ गया differentiation किसका differentiation है यह यह differentiation है x के cube का इतनी बात समझ में आ गई यह है आपका इस टाइप का differentiation निखालने का formula आए पहले कुछ और example solve कर लेने और हर इन example के अंदर कुछ चीज़े छपी हुई हैं जो मैं आपको बताना चाह रहा हूँ इसलिए मैंने ये लिये हैं ऐसा नहीं कि वीडियो की length लंबी करनी है तो मैंने ले लिये नहीं समझो यहाँ पर आपको जल्द बाजी बिलकुल नहीं करनी अराम से time दो इस chapter के लिए differentiation की लिखन कि ये important chapter है काफी सवाल इसमें से exam में आते हैं आएंगे और जल्दी बाजी मचाओगे हवडा दबली करोग सवाल में अटकोगे, फजोगे, गलत करके आओगे, तो पिलीज ऐसा ना करें, आराम से, तसलनी से टाइम दो यहाँ पर, देखिए, पहला एक्जामपल लेते हैं तो अगर आपको direct बता रहा हूँ कि कहीं पर भी आपको x का direct differentiation निकालना हो इसकी value 1 आती है तो आप direct ही 1 लिख सकते हैं कोई दिक्कत की बात नहीं है जी हाँ ध्यान लगना हमेशा कहीं भी किसी भी सवाल में अब ये कैसे आ रही है जान लो, तो अगर आपको इसका करना है, तो क्या करेंगे आप, dy by dx, मतलब differentiation of function y, with respect to x, तो dy by dx आपका आ जाएगा, किसका करना है, आपको x का करना है, formula क्या है, formula आपको याद हो गया होगा, छोड़ रहा हूँ, तो यह तो formula था अभी मैंने आपको बताया था यहाँ पर लिख भी देता हूँ अलग color से highlight करके तो n x की power n minus 1 यह आपका formula होता है differentiation इसका करने का अब देखिए इसके according अगर आप solve करेंगे तो x की power यहाँ पर कुछ भी नहीं दिख रही तो हम 1 consider करते हैं अब power पहले लिखी जाती है तो आ जाएगा इंटू में x की power 1 minus 1 यह कुछ इंटू में x की power 1 minus 1 क्या होगा होता है 0 होता है यह लिख दिया और किसी भी number की power 0 का मतलब क्या होता है 1 होता है तो यह हो जाएगा 1 into 1 तो basically एक हम एक तो इस तरीके से आपका यह जो है x का जो differentiation है वो 1 आ गया है तो आप direct भी इसको लिख सकते हैं यह बात clear हो गई चलो हमेशा याद रखना अगले example पर आ डायरेक्ट आप याद रख लीजिए कि बार-बार आप निकालेंगे तो आपका टाइम वेस्ट होगा तो वन बाइट टू रूट एक्स अगर आगे सवालों फिर आप डायरेक्ट इसको करेंगे तो डी वाइ बाइडी एक्स किसका कर रहे हैं आप रूट एक्स का कर root x का मतलब क्या है root x का मतलब है x की power 1 बटा 2 यानि x की power half x की power आधी यह मतलब होता है root का हमने कहा है वह यह formula के according power पहले लिखो तो यह जो power है 1 by 2 यह power पहले आएगी यह आगई x की power पहले आएगी यह हमने minus कर दिया ठीक है इसी सवाल को अगे बढ़ाओंगो तो यह हो जाएगा आपका 1 by 2 इंटू अब आधे में से यहाँ पर देखिया आधे में से 1 minus होगा होगा मतलब minus का 1 बड़ा है अब minus के 1 में से आधा गया तो आधा बचेगा minus का बचेगा क्योंकि minus का 1 बड़ा है इसलिए तो यहाँ पर बचेगा minus का 1 बटा 2 अब यह minus की power है इसको positive power बनाने के लिए हम क्या करना पड़ेगा हमें इस x की power 1 बटा 2 को नीचे भेजना पड़ेगा तो जब यह नीचे जब यह यहाँ पर इस तरीके से नीचे आ जाएगा तो यह जो है power क्या हो जाएगी है positive power हो गई x की power 1 बटा 2 और x x की power 1 पटा 2 का मतलब क्या होता है, under root होता है, अभी तो मैंने आपको बताया, तो इस 1 पटा 2 की जगह, हम नीचे क्या लिख सकते हैं, हम नीचे लिख सकते हैं, 1 upon under root x, और यह multiply में है, तो इसका मतलब इसको एक साथ समेट के लिख दो, 1 by 2 root x, तो कई पर भी root x देखो, differentiation निकालना है, direct 1 by 2 root x कर देना, अब अगली बात यहाँ पर समझो, यहाँ पर भी देखें एक नई चीज़ आप सिखेंगे, यहाँ पर आपको इसका differentiation निकालना है, तो देखिए, क्या यहाँ पर आपको ध्यान देखना, यहाँ पर एक तो 25 है, ठीक है जी, और into में है x की power 5, अब यह मत सोचना कि आपको सिर होंगी जो भी कॉन्स्टेंट टर्म होगा या कॉन्स्टेंट नंबर वगैरह आएंगे अलग से लिखे हुए उनका डिफरेंसिएशन हमेशा क्या आएगा जीरो आएगा तो यहां पर ऐसा मत सोचना लेकिन अभी क्योंकि अभी यह 25 इसके साथ में है 25 एजिट लिखेंगे आप सिर्फ अभी इसका करेंगे एक्स की पावर फाइव का और आपको अब पता चल गया होगा कैसे होगा जाएगी कर लेंगे 25 पंजे कितना हो जाएगा आपका 125 हो जाएगा और एक्स की पावर फॉर हो जाएगी तो यह इसका डिफरेंसिएशन आ गया है तो तीनों एक्सांपल में तीन नई बातें हमने सीख ली हैं इनको आप चाहो तो नोट कर सकते हो अपने डायरी में पर नो� देख रहे हैं, chain rule के लिखे दिखा हुआ है तो इसके अकोर्डिंग कुछ चीजें हैं वह आप जान लो फिर हम फटाफट से 5.2 एक्सरसाइज की स्टार्टिंग करें तो चार टाइप के रूल है वह समझ लो फिर बहुत आसान चीजें हो जाएंगे चेन रूल के अंदर जो शामिल है नंबर वन ज बताना चाहूंगा जैसे कि आपको मान लीजिए किसी फंक्शन का क्या करना है आपको किसी फंक्शन का डिफरेंसिएशन निकालना फंक्शन कुछ किस तरह से लिखा हुआ है फंक्शन इस तरीके से लिखे हैं उसके अंदर दो टर्म है और वह प्लस-होकर उनका एक साथ आपको differentiate करना है, दो function है, एक को मैंने you बोल दिया, एक को मैंने we बोल दिया, एक आपका first function हो सकता है, दूसरा आपका second function आप बोल सकते हैं, तो first function या second function बोल दो, या you और we से भी आप इसको denote कर सकते हो, आपकी मरजी है, जैसा आपको आसान लगे, तो अगर दो function एक साथ लिखे हुए हैं, plus या minus में, तो आप उनका differentiation इस तरह से भी कर सकते हो, कि आप you, फंक्शन का अलग से differentiation कर लो और V function का अलग से differentiation कर लो और अगर जो उनको plus है तो plus कर दो minus है तो minus कर दो मतलब एक साथ अगर दो function लिखे हैं plus या minus में उनका differentiation है तो आप उसको ऐसे भी कर सकते हो कि उनका अलग differentiation करके बाद में उनका plus या minus कर सकते हो पहला rule आपका यह हो ग जैसे कि यहाँ पर लिखा हुआ है U into V एक साथ लिखे हुए हैं तो इसका differentiation जो है आपको करना है तो आप इसका इस तरीके से भी कर सकते हो तो आप इसको इस तरीके से भी कर सकते हो कि पहला as it is और multiply में दूसरे का differentiation ठीक है जी ऐसे कर सकते हो और फिर plus करके क्या करोगे दूसरा as it is और फिर पहले वाले का differentiation जी हाँ आपको अगर ऐसे multiply में दो function हैं उनसका एक साथ differentiation करना है तो आप उसको इस तरीके से लिखोगे कि पहला as it is दूसरे का differentiation फिर plus में दूसरा as it is और पहले का differentiation ये multiply में ये multiply में बीच में आपका plus लगेगा ये बात आपको धियान लगनी है तो यहाँ पर plus और minus के दोनों के हो गया है यह multiply में आ गया अब तीसरा जो है वो आपका कौन सा है कि अगर आपको differentiation करना है दो function का और वो किस तरीके से है वो divide में है मानलो इस तरीके से कुछ है you divided by v और आपको इसका differentiation करना है तो इसका तरीका भी मैं आपको बता देता हूँ तो आप इसको लिखेंगे दूसरा function as it is और पहले का differentiation और फिर minus में पहला as it is into में दूसरे का differentiation और upon में में दूसरे function का square यह है divide का rule ध्यान रखना है आपको ठीक है जी पहले और दूसरे में confuse मत हो जाना, बहुत ध्यान से ये चीज़े रखनी है, आपको U और V बना के रखो, या first और second बना के रखो, या आपको इस तरीके से कर लेना है, अब example के लिए, जैसे कि यहाँ पर मान लेते हैं, दो function कुछ ऐसे हो सकते हैं, let's suppose एक function होता, मतलब एक function हो differentiation करते फिर plus लगाते फिर दूसरा as it is लिखते और पहले वाले का क्या करते हम differentiation करते इसका इस तरीके से मतलब इसमें dy by dx करते हैं इसमें dy by dx करते हैं, ऐसे इसको solve करते हैं, ऐसे ही अगर हमारे पास 2 होते हैं, ऐसे ही x upon sin x होता है, ठीक है जी, example के लिए ले लिया मैंने इस तरीके से होता है, तो भाईया वो ही, नीचे वाला आपका पहले क्या आता है, as it is आता है, और into में उपर वाले का आपका differentiation होता है, आता फिर आप इसको solve करते हैं इनका differentiation खोल के फिर आप answer लेके आते हैं ये बात समझ में आगे न इतनी बात है तो ऐसे आपको चीजे करनी पड़ेंगी तो I think अब मैंने आपको इतनी चीजे बता दी हैं कि हम अपनी जो exercise है आपकी उसकी starting कर सकते हैं क्योंकि अगर आप exercise पे exercise 5.2 तो 5.2 के पहले 8 सवालों में आपको क्या करना है आपको करना है differentiate the functions functions को differentiate करना है with respect to x x के संदर्ब में या x के respect में आए पहला सवाल आपको करके दिखाता हूँ बहुत आसान आपको लगेंगे चीज़े आप क्योंकि मुझसे रुशीक रहे हैं कि जो function आपको दे रखा होगा आप उसको y के equal लिखेंगे तो मैंने यहाँ पर लिख दिया y equal to 2 sin x square plus 5 ये इसका angle हो गया अगर यहाँ पा इसको थीटा consider करें तो ये कही न कही sin थीटा जैसा हमें दिखेगा अब क्या करना है आगे चलिए जी अब इसका differentiation करना है कर देते हैं तो आपको तरीका मैंने बताई देखा दिया क्या है जी, dy by dx, इसका क्या मतलब है, इसका मतलब है कि differentiation कर रहे हैं function y का, तो differentiation कर रहे हैं हम किसका, function y का, तो इस y की जगा तो अपना ये function लिखेंगे न, हम लिखेंगे इसको y के equal रहे हैं, रखा था तो y बराबर यह है तो इस y की जगह अब हम यह पूरा का पूरा function रख देंगे ठीक है यह मैंने यहाँ पर इसको put कर दिया है और upon में इसके x चल ही रहा है क्योंकि x के respect में हम इसका differentiation करना है अब इसको समझो यह है sin theta ऐसे इसको आप देखो तो it means आपको sin theta का differentiation करना important formulas from the chapter जो की होंगे sign cos 10 cot sec cos 1 के जी हाँ तो आईए फटा फट से इसको आप यहाँ पर note कर लिजिये अपनी diary में यह मैंने यहाँ पर इसका notes बना लिया था आपके लिए और यह note मैं यहाँ पर आपके लिए यहाँ पर sign जो है और cos 10 कोट, सेक, कोसेक, मैंने छेके यहाँ पर differentiation लिख दिया है, ठीक है यह ब्रेकेट में उपर कोमा लगा रखा है, मतलब इनका differentiation, तो यहाँ से आप देख सकते हैं कि sin x का differentiation क्या होगा, cos x होगा, यह पर ध्यान रखना, हमेशा के लिए, इसको अपनी diary में note भी कर ले cosec square x ये ध्यान रखना ऐसी sec x का हो जाएगा sec x into 10x और फिर last में cosec x का हो जाएगा minus का cosec x into cortex तो ये इनके 6 differentiation मैंने आपको बता दिया हूँ ये कैसे आए हैं इनकी एक अलग explanation है अगर मैं अब उसमें जाओंगा तो ये मैं आपको किसी short वीडियो में आपको जरूरत है क्योंकि देखिए पहले सवाल में इसी का use होगा अब हमें यहाँ पर sin theta का differentiation करना है आपको पता लिया sin theta मतलब उसका differentiation आएगा cos theta तो it means यहाँ पर हम लिखेंगे cos क्या लिखेंगे यहाँ पर हम लिखेंगे cos और theta या x की ज़्याँ क्या चल रहा है हमारा x square plus का 5 चल रहा है तो यह इसका differentiation हो गया अब क्या करना है अब आपको इस angle का अलग से differentiation करना है angle का भी अलग से differentiation करना पड़ेगा, तो ये तो इस function का हो गया, अब इसके angle का मैं करूँगा, तो इसके angle के लिए मैं क्या करूँगा, इसके angle को यहाँ पर मैं put करूँगा, इस तरीके से x square plus का 5, तो अब इसके angle का differentiation होगा, आगे बढ़ जाते हैं अगली step, ये तो हो चुका, इसको तो अब हम as it is लिख देंगे, ये हमने लिख दिया, अब angle का करना है, अब देखिए, x square का करना है, power पहले और power मेंसे 1 minus, आपका 2x हो जाएगा और 2 में से 1 जाएगा तो 1 बचेगा, 1 लिखने की जरूरत नहीं है, तो x square का integration कह रहा हूँ, x square का differentiation आ गया आपका 2x, और जो constant term होती है, उसका मैंने आपको बताये रखा है, basic जब आपको concept सिखाये था कि उसका हमेशा 0 होगा, तो यहाँ पर 5 का जो है, आगे यह 2x जो बाद में लिखा हुआ है इसको पहले लिख दो तो 2x into cos x square plus का 5 यह आपका हो गया इसका आनसर तो ऐसे आपको इन सवालों में differentiation इनका करना है with respect to x तो फटाफर से दूसरे सवाल पे नजर मार लो क्योंकि एक में करवा दूँगा एक पे आपकी नजर पढ़वा दूँगा तो आपकी practice हो जाएगे क्योंकि बहुत सारे सवाल करने है तो आपका भी time बचे और मेरा भी time बचे देखिए दूसरा सवाल था आपका cos और sin x इसका angle था बेसिकली cos x या cos theta इसको आप देखेंगे तो हमें अपने function को y के equal रखना है हमने रख दिया differentiation करना है तो dy by dx कर दिया dy की जगा ये पूरा का पूरा हमारा cos और bracket में sin x इसका angle आ गया है और dx नीचे आ गया अब क्या करना है वही अब cos x इसको ऐसे देखो कि ये cos का angle है न ये तो पूरा तो ये cos theta या फिर cos x है अब cos x का differentiation क्या होता है formula याद कर लेना लिख लेना cos x का क्या होता है minus का sin x यहाँ पे आप देख सकते हैं ये रहा minus का sin x तो इसलिए इसका differentiation हो जाएगा minus sine और x, x क्योंकि इसका angle है, तो angle sine x तो हमने sin x ही रख दिया, तो minus sin, sin x, क्योंकि यही इसका angle है, अब फिर क्या बताया मैंने कि angle का भी differentiation करना पड़ेगा, तो अब हमने अलग से d by dx करा, किसका angle का, जो की था sin x, तो यह वाली चीज़ as it is आ गई, अब sin x का differentiation cos x होता है, अब इसके angle का करेंगे x का, तो x का तो 1 होता है, अब direct t, cos x जो है, वो पहले आ जाएगा, minus का minus रखाया, cos x पहले आ गया, कि इनके सम multiply में, तो आगे पिछल करके लिख सकते हैं, और sin sin x आपका as it is आ गया, ये इसका answer है, तो ये पहला सवाल हो गया, ये दूसरा सवाल हो गया, ये चे formula हो गया, एकी page पर सब कुछ आ गया, बाकी सवाल करवाता हूँ, question number 3 गया है, कि भाईया जो function है, उसको y के equal रखना है, तो sin ax plus b ये मैंने रख दिया, अब क्या करना है, differentiation करना है, कर डालो, dy by dx अब यहाँ पर हमारे पास y क्या है यह पूरा है तो इसके साथ यह पूरा है as it is हम लिख देंगे sin a x plus का b यह मैंने लिख दिया और इसके upon में dx चल ही रहा है क्योंकि x के respect में हमको यह चीज़े करनी है अब फटा से यह sin है यह इसका पूरा angle है theta है तो sin theta या sin x का क्या होता है cos x होता है, आपको याद हो गया, अच्छी बात है, तो यहाँ पर यह cos हो जाएगा, और यह पूरा angle इसके साथ आ जाएगा, अब मैंने क्या बताये था, उसके बाद into में, जो angle है, उसका भी differentiation करना बड़ेगा, तो कर डालो ना, तो यहाँ पर d upon dx किसका हो जाएगा, ax plus k b का, इसका differentiation देखेंगे, देखिए, A जो है, यहाँ पर X के साथ है, मैंने एक example ऐसा कराया था concept में, X का differentiation 1 होता है, आपको पता है, और यह A multiply में है, तो A एकम A, मतलब A और 1 की जब multiply होगी, तो वो A ही रहे जाएगा, यह इसका differentiation AX का आ गया, A, और अलग से जो constant term है B, बिल्कुल तो भाई आप plus में 0 लिखो या मत लिखो मरजी आपकी है कोई फरक नहीं पड़ता अब ये जो a बाद में multiply में है इसको मैं शुरू में लिख देता हूँ थोड़ा सा अच्छे सा लिख दिखाने के लिए answer तो ये आपका आ गया ax plus b और यही आपका answer है आपको आगे और कुछ भी नहीं करना blue box के अंदर बन करता हुआ चलूंगा ये हो गया question number 3 फड़ा वर से question number 4 दिखा देता हूँ चीजे आपको समझने आने लगी होंगी question number 4 यहाँ पर फटापट से देख लो एक मिनिट के अंदर सबसे पहले हमने function को y के equal रखा differentiation करना है तो dy by dx और dy y के जगा पूरा function आ गया नीचे upon में dx आ गया अब देखिए यह है कुछ sec और यह है इसका पूरा angle तो sec theta या sec x तो sec x का याद कर लेना उसे के according मैंने खोला है तो sec x का जो differentiation होता है वो होता है sec x into 10x ठीक है इस तरह से आप याद रख सकते हैं तो sec x into 10x x की जगापर यहाँ पे अंदर भी क्या है 10x है यह रहा है इस पूरे का इसलिए हमने क्या करा sec into मतलब यह angle की जगा यह था तो sec 10 root x into 10 10 root x आ गया अब बाद में angle का भी differentiation होता है तो हमने यह जो इसका angle था 10 root x, इसका भी फिर अलग से differentiation करा, कि d by dx किसका, 10 root x का, तो ये वाला part as it is आ गया, अब 10 root x मतलब कि 10 x, 10 theta, तो 10 theta क्या होता है, sec square theta होता है, तो इसलिए यहाँ पर आ गया sec square theta, और theta के ज़्याँ root x था, तो root x हमने लिख दिया, तो 10 root x का हो गया, sec square root x है, अब angle का भी अलग से करना पड़ेगा, root x, तो फिर root, root x का अलग से होगा तो 3 बार 3 step में यहाँ पर differentiation हुआ है तो root x का अलग से हम कर देंगे d upon dx root x और root x का मैंने concept में ही बता दिया था क्या होता है comment करके बता फटा हाँ 1 by 2 root x होता है तो वही चीज अब यह सारा उपर का as it is आ गया और इसका जो differentiation हमने खोला root x का 1 by 2 root x मतलब upon में 2 root x तो यह नीचे हमने इस पूरे के upon में 2 root x लगा के इसका answer लिख दिया है जी हाँ तो धियान नखना है आपको पहले function का differentiation करो फिर उसके angle का करो अगर उसके angle नोबी angle है ठीक है फिर उसका करो उसमें भी कोई constant term है तो उसका भी करो इस तरीके से आपको करना है तो चार सवाल कितने मज़दार तरीके से और आसानी से आईए अभी guide रुकेगी नहीं चलती रही question number 6 पे नजर मारो इस उसके बाद पाचवा करवाओंगा, उसका भी एक reason है, ऐसा में क्यों कर रहा हूँ, समझ में आएगी बात, छटा सवाल आपके सामने यहाँ पर लिखा हुआ है, differentiation करना है, नजर मारो, अब यह थोड़ा सा अलग है अभी तक के सवालों से, क्योंकि आप यहाँ पर हम दो अल� तो it means यह कुछ इस तरीके से है U into V और हमें इसका पूरे का differentiation निकालना है यह चीज मैंने आपको सिखाई थी कब जब आपको मैंने chain rule बताया था इसी वीडियो में जी हाँ तो chain rule में से एक formula या एक condition एक rule यहाँ follow होगा यह chain rule मैंने आपको बताया था और यहाँ पर यह वाली condition अब बनी है कि जब दो अलग function multiply में हो और उनका हमें differentiation करना पड़े कैसे करते हैं ऐसे करते हैं पहला as it is दूसरे का differentiation फिर plus लगाएंगे दूसरा as it is और पहले का differentiation यह बात घ्यान लगना सवाल को शुरू करने से पहले एक बार तसली से देख लेना बाद यह क्या चीज़े हैं क्या दो function एक साथ लिखे हुए हैं क्या कोई function और अलग से दूसरी values हैं क्या एक ही function है अभी तक मैं चरली एक ही function दिख रहा था साथ कोई number या कुछ variable था या कुछ constant थे तो वो चीज़े अलग थी अब यहाँ पर यह वाली condition बन गई होगा तो हर एक सवाल जरूरी है हर एक सवाल में कुछ नयाब सीख रहे हैं तो इसका differentiation कैसे होता है पहला as it is दूसरे का differentiation पिलस लगा के दूसरा as it is और in to में पहले का differentiation यह आपका बन गया इसका chain rule का formula ऐसे आपको इसको खोल ला है तो आए खोलते हैं यही इसके अंदर main बात जो मैं आपको यह U है यह V है ठीक है चलिए जी लिखना शुरू करते हैं तो देखिए क्या करना है हमें इसका करना है मैं थोड़ा और पीछे रखना ताकि लंबा जाएगा तो कोई दिक्कत नहीं होगी ठीक है dy by dx हमें इसका करना है differentiation करना है तो सबसे पहले क्या करना है पहला as it is तो cos is cos x की power 3 as it is और in 2 में दूसरे का differentiation तो दूसरा क्या है यह वाला तो हम differentiation करेंगे यहाँ पे dy by dx करेंगे किस का करेंगे sin square x की power 5 का करेंगे प्रच में आ गई ठीक है अब प्लस लगा देंगे फिर दूसरा एजिटिज आ जाएगा साइन स्क्वेर एक्स की पावर फाइव एजिटिज आ जाएगा और क्या है इन टू में पहले का डिफरेंसिएशन तो डी बाइड एक्स कर देंगे पहले का जो कि क्या है तो मिला को एक्स क्यों यह हमने भी फॉर्मुले के अकॉर्डिंग रख दिया है अब आइए इनका डिफरेंसिएशन लिखना स्टार्ट करते हैं अब देखो मजे की बात क्या मजे की बात होगी यहां पर देखिए को एक्स क्यों तो हमारा एजिटिज आ जाएगा याद अब इसका का करेंगे, अब ऐसा मत सोचना कि sin x का सर ने बताया था cos x होता है तो sin square x का मैं यहाँ पर cos square x करतूंगा, नहीं जी हाँ, ध्यान देने की बात है power है यहाँ पर sin square की तो पहले power वाला formula लगाकर differentiation खुलेगा जी हाँ, जो सबसे पहले मैंने basic formula बताया था x की power n वाला तो यहाँ पर इसको हम x consider करेंगे इसकी कुछ power है, तो क्या है differentiation का तरीका, power पहले लिख दी जाती है तो यह square की power 2 है, मतलब इसकी पावर यह 2 है, तो यह 2 पहले लिखा जाएगा और फिर sin की power मेंसे हम 1 minus करेंगे जो 2 मेंसे 1 जाएगा तो 1 ही बचेगा वो एक लिखने की जरूरत नहीं है तो हम इसको खाली कर देंगे 2 sin और x 5 यह इसका खुल गया differentiation power के according ठीक है अभी खोला हमने power के according अब हम खोलेंगे इस sin function का खाली जी हाँ और फिर खुलेगा एंगल का खाली ये चीजे आपको presence of mind बनाए रखना है चाहे तो हम एक साथ भी सारा कुछ खोल सकते हैं लेकिन आप confused ना हो जाएं या फिर जंगा हमारे पास छोटी ना पड़ जाएं इसलिए मैं one by one करके चीजे खोलता हुआ यहाँ पर चल रहा 5 तो यह बनेगा कोशिक पावर पाइव और इसके बाद फिर power का खोलेंगे, आप चाहें तो power का भी direct खोल सकते हैं, लेकिन मैं अगले step में खोल दूँगा, ताकि आप confused ना हूँ, तो हमने यह 2 का खोल दिया, अब sign पर लगा दिया, पिलस का पिलस, यह तो हमारा as it is है, sign square x की power 5, अब यहाँ पर इसका करेंगे, तो cos x cube है, तो क्या बन जाएगा, minus sign x cube बन जाएगा, तो यह आपका बन जाएगा, multiply में minus sign x cube, और फिर वही बात, किसका खोलेंगे, अब इसकी power इसका खोलेंगे, इसका angle का, तो यहाँ पर इसका, इसका खुल जाएगा, x3 का अलग से differentiation क्लिक दिया मैंने, ठीक है, इसका तो कर दिया, अब इसका function कहा हो गया, तो इसके angle का करें� आगे बढ़ना है आपको अब आईए आगे बढ़ते हैं दुबारा से लिखते हैं अब सारी चीज़े cos x cube into में 2 sin x की power 5 अब यहाँ पर sin x की power 5 का cos x की power 5 तो into में यह हो जाएगा cos x की power 5 और अब इसके angle का खुलेगा जो की angle क्या है d y by d x x की power 5 थी d y by d x d और x की power 5 इस तरीके से चलिए जी plus का plus लगा दो sin square का sin square as it is आ जाएगा x की power 5 as it is आ जाएगा ठीक है यह वाला भी as it is इसको ऐसे का ऐसे ही मैं लिख देता हूँ sin x का क्यूब इसका खोलेंगे आपको पता जाएगा थीरी पहले आ जाएगा और थीरी मेंसे एक माइनस होगा तो थीरी एक्स स्वेर ये हो जाएगा तो यहाँ पर सबका खुल चुका है अभी इसका रहे गया है आगे बढ़ जाओ फटा फट से अब इसमें कुछ और कर सकते हो त इस तरीके से अब ये plus और ये minus तो plus minus में शुरू में ही लगा देता हूँ इसका ठीक है जी तो ये हो जाएगा sin square x की power 5 into में sin x क्यूब और क्या बस यहां पर तो कुछ करना ही नहीं है यह बेसिकली आपका आंसर आ चुका है अब चाहें तो इसको थोड़ा सा आगे-पिछे करके तीज ठीक से लिख दीजिए इसे कि लिखी जाती है सबसे पहले यह एक्स वाले जो ट्रम्स होती है यह जाती है तो सबसे पहले में यहां पर यह दो इसके साथ है और यह पांच के साथ उस स तो ये दोनों number है real number है इनको multiply करके लिख सकता हूँ तो 5 दूनी 10 तो सबसे पहले मैंने लिख दिया है यहाँ पर 10 और फिर लिख दिया मैंने x की power 4 और उसके बाद मैं यह वाले चीज़े लिख दूँगा तो पहले sign आता है trigonometry में तो पहले sign लिख दो आप तो sign का क्या है function x की power 5 ये सारे आ गए, minus यहां लगा दूँगा, और यहाँ पर यह है, इसको लिख दो, आप पहले square वाला लिख दो, यह जो लिखा हुआ है already, यह मैंने यहाँ पर लिख दिया, इसके बाद sin x cube आ गया, इसके बाद आपका 3x square पहले लिखना चाहो, पहले लिख दो, तो बाद में लिखना चाहो बाद में भी लिख दो कोई ऐसी दिक्कत वाली बात नहीं है तो ये हमारे पास हो गया question का final answer इतना बड़ा यहाँ पर आप देख सकते हैं यहाँ से लेकर यहाँ तक तो आपको भी समझ में आ गया होगा कि चैलेंज आपके लिए क्या है मुश्किल आपके लिए सिर्फ इतनी सी है कि आपको ना यह चीज देखनी है कि मुझे डिफरेंस किस का करना और कैसे करना है एक बार आपने यह कर दिया उसके बाद आपने देखा होगा यहां चीजें नीचे लिख दिया और डिफरेंस केशन खोलकर लिख दिया तो यह है मेन काम इसको सवाल को देखना इसको समझना क्या कुछ इसमें लग रहा है वह पहचान नहीं लगा तो डाइट करना वह वन बाइवन चीजों का डिफरेंस करना पावर है तो तो पावर का फंक्शन है तो फंक्शन का फंक्शन में एंगल है तो एंगल का इस तरीके और क्या स्कूल सें���र भी है तो कॉन्सटेंट रम का जीरों तो होता है वह भी लेकिन आपको लिखे दिखाना पड़ेगा तो ऐसा आपको इसको चलना था कॉशिट पर भी chain rule follow हो रहा है और chain rule में भी यहाँ पर आप देख सकते है कौन सा वाला rule यह वाला fourth one कि जब दो अलग-अलग function divide में हो और उनका आपको differentiation करना पड़े यह follow होगा क्या follow होगा बाद वाला function उपर फिर पहले वाले का differentiation minus पहले वाला as it is दूसरे वाले का differentiation upon में दूसरे वाले का square नीचे क्या आएगा पॉन में डिनोमिनेटर में एक नीचे जो हमारे पास फंक्शन होगा उसका स्क्वेर आएगा तो इसके अकॉर्डिंग हमने इस सवाल में चीजों को खोलना था कॉशन नंबर किसमें वाइब में तो यही मैंने यहाँ पर करा है आप एक बर्फ आपर स आपको क्लियर हो जाए यह मैंने वाइट एकवेल रखा ठीक है जी वाइट एकवेल लग दिया इसको यू माना इसको भी माना इसके पर लोडिंग यह खुलेगा अब मैंने खोल दिया देखिए को सीएक्स प्लेसिडी नीचे था तो नीचे वाला एजिट और ऊपर वा इस वाले का डिफरेंसिएशन देख रहे हैं आप ऊपर साइन एक प्लस भी लिखा है तो इसका मैंने डिफरेंसिएशन कर दिया माइनस लगाया इसके अगोर्डिंग ऊपर वाला एजिटिस नीचे वाले का डिफरेंसिएशन तो नीचे को सीएक्स प्लस दी था उसका डिफरेंसिएशन कर दिया और इस पूरे के अपोन में नीचे वाले फंक्शन का स्क्वेर लगाया जैसा मुझसे कहा गया वैसा है मैंन इसके बाद क्या है यह एजिट इज आ गया अब देखिए इसका में जैप डिफरेंसिशन खोलना तो यह साइन एक्स है ठीक है अगर इसका एंगल तो साइन एक्स का कोशिश होता है तो इसका डिफरेंसिशन आ गया कोशिश एक्स ठीक है मतलब कोशिश एक्स पूरा था यह पूरा अब इसके एंगल का खुलेगा ठीक है तो इसलिए यह लिखने के बाद फौरन यही पर डिवाइड एक्स लिख कर दिया मैंन यह हो गया फिर यह वाला minus as it is आ गया इसमें कुछ नहीं करना as it is आ गया इसमें खोलना था cos में हमने खोला cos का होता है minus sin x तो cos का हो गया minus sin cx plus d cos cx plus d का minus sin cx plus d और फिर इसके angle का भी खुलेगा तो फिर dy dx हो गया, cx plus d का, मुश्किल नहीं है, आसान है, वही चीज़े follow हो रहे हैं, जो मैंने आपको बताया, और नीचे इस पूरे के, इसका square चल ही रहा है, हमने चलता रहने दिया, अब क्या करा हमने, अब यहाँ पर हमने यह किया कि, यह जो है, यह इन दोनों के divide में है, यह वाला part, इतने part में हमने इसके नीचे अलग लिख दिया, बताता हूं अब यह भी सोच रहेंगे सर यहां माइनस तो यह पेलस लगा दिया आपने ऐसा क्यों कहा उसका भी रीजन है सब कुछ लॉजिकल है एक माइनस के अंदर भी तो चल रही है ना यह मल्टिप्लाई में है तो यह मल्टिप्लाई में यह माइनस और माइनस तो य यहाँ पर आ गया और इस पूरे के बटे में नीचे चल रहा था cos cx plus d का square यह मैंने लिख दिया ऐसे ही minus plus हो चुका है sin x plus b यह आ गया ठीक है जी यह वाला sin cx plus d यह आ गया और इसका जब differentiation खोला तो वही d constant term है 0 हो गया x का 1 हो गया और उसके बाद क्या बचा हमारे पास c बचा तो खाली c multiply में यहाँ पर आ गया dot c और इसके नीचे भी मैंने यह लिख दिया क्योंकि यह पूरे के नीचे था तो दोनों के नीचे अलग करके भी हम लिख सकते है करने की वजह यह देखिए यहां पर हमें एक कॉस एक्स डी सी एक्स प्लस डी ऊपर मिला और यहां पर नीचे है कॉस एक्स प्लस डी का स्क्वेयर मतलब नीचे यह दो बारी लिखा हुआ मिल्टीप्लाई में तो उस दो बारी में से एक बारी से हमने ऊपर वाले को एक बारी को खत्म कर दिया कैंसिल आउट कर दिया इसको हमने डिवाइड कर दिया इसीलिए हमने ऐसा यहां पर करा अब ऐसा करने से क्या हुआ ऊपर हमारे पास बचा ए यह आ गया ऊपर हमारे पास बचा कॉस एक्स प्लस भी को एक प्लस भी यह आ गया मिट क्यों रहा है ऊपर यह आ गया अब देखिए यह जो नीचे कॉस सीएस प्लस डी था यह नीचे था बटे में इसका उल्टा ऊपर ले गए हम तो अब हमने इसको उल्टा कर दिया इसको ऊपर कर दिया तो कॉस क्या बन जाता है सेक बन जाता है कॉस का उल्टा क्या होता है उपर ले गए तो भाईया ये उपर साथ में आ गया और ये बन गया सेक CX प्लस D ये वाला पार्ट सोल्व होके ये आ गया अब इधर आ जाओ सबसे पहले multiple I में C था C लिख दिया साइन X प्लस B था ये लिख दिया अब यहाँ पर देखिए वही बात बात क्या ऊपर है साइन सी एक्स प्लस डी और नीचे है कॉस सी एक्स प्लस डी तो भाईया साइन और कॉस क्या होते हैं आपको बहुत अच्छे से पता है साइन बाई कॉस क्या होता है टैन होता है तो वही चीज हमने यहाँ पर करी कि भाईया इस वाले साइन को और इसमें से क्यों बन गया सेक्सी एक्स प्लस डी तो इस तरीके से ये पूरा इसका क्या आ गया आंसर आ गया जो कि मैं नीले बक्से के अंदर बंद कर रहा हूँ each and every time तो देखा आपने सवाल कितना भी मुश्किल है कितना भी लंबा है आपको घवराना नहीं है चीज़े कितनी आसानी से मैं आपको explain कर रहा हूँ समझा रहा हूँ चीज़े करके दिखा रहा हूँ और आ� इन दिन उठा लेना इसारी चीजें एक बात ध्यान से देख लेना सवाल कुछ से विसोल कर लेना तो आपको बने-बनाएं एक नोट मिल जाएंगे तो इसीलिए यह सारी-सारी मेहनत आपके लिए ही हो रही है आपको इसका फायदा मिलने वाला है कोई चीज हलवा लगने वाली है सवाल क्या है फंक्शन क्या है आपका फंक्शन आपका टू अंडर रूट में कॉट और एक्स का स्क्वेर यह आपका कुछ आपका function है क्या मैं इस function को ऐसे लिख सकता हूँ कैसे मैं या 2 लिखा और मैंने क्या करा मैंने लिख दिया cot x के square की power half क्या मैं ऐसे लिख सकता हूँ, लिख तो सकता हूँ, क्यों? क्योंकि under root का मतलब power half ही तो होता है, तो मैंने इसको ऐसे लिख दिया है, चलिए जी, अब ऐसा क्यों कर रहा हूँ मैं, ऐसा मुर्य मुन्ना मैं इसलिए कर रहा हूँ, कि जब मैं इसका derivative निकालूंगा, dy by dx करूँगा, तो सबसे पहले क्या होगा, power खुलेगी, समझ में आ रही है बात, पहले power वाले according, फिर function, फिर function angle, फिर उसमें constant term, तो ये एक series आपको follow करनी है एक सवाल में, तो 2 में मैं पहले ही लिख दूँगा जो 2 लिखा हुआ था अब power खोलने का तरीका क्या है कि power को पहले लिखो तो power है 1 बटा 2 तो 1 बटा 2 को मैंने पहले लिखा ये मैंने लिख दिया उसके बाद क्या करना है मुझे उसके बाद मुझे ये करना है cot x square जो ये है इसकी जो भी power थी उसमें से 1 minus कर देना है तो जब आधे में इससे minus 1 होगा minus की power half बचेगी minus का आधा बचेगा इस two से, अब क्या मैं कर सकता हूँ, अब मैं यह कर सकता हूँ कि, इस two से यह वाला two मैंने cancel out कर दिया, उपर निचे थे, divide में थे, कट गए भाई, यह काटो पिटो, खतम करो, tension, चलो जी, क्या बचा हमारे पास, हमारे पास बचा, cot x का square, और इसकी power कितनी बची आपके पास, अब इसके बाद किसका होगा अब function का होगा तो dy by dx और function क्या है हमारा function है हमारा cot x का square और उसके बाद वह यह उसके angle का भी होगा तो करी डालो या लगे हाथो क्या बार अलग करना ये लो जी सब का एक साथ मैंने कर डाला है अब इसकी power जो है वो negative है ठीक है जी तो x का square अब नीचे आके इसकी power बन जाएगी positive एक बटा दो और power एक बटा दो का मतलब क्या होता है under root होता है तो नीचे आके यह कुछ इस तरीके से 1 by under root cot x square हो जाएगा कर दिया है मैंने अब क्या कर सकते हैं आगे अब इसका खोलेंगे तो इसका जब आप differentiation करेंगे तो cot x square का मतलब cot x है ना यह cot के बाद कुछ angle है तो cot का होता है minus cos x square ठीक है जी minus cos x square तो minus को सेक स्क्वेर और उसका एंगल एक्स स्क्वेर है तो एक्स स्क्वेर एंगल का अलग से मैंने लिख दिया है ठीक है यह आपको जो छे फॉर्मले बताये थे मैंने उसमें से करा है मैंने तो ध्यान नखना और इसका आप करेंगे डिफरेंसिटिशन तो इसका आजाएगा आ� x का square आजेगा और नीचे आपका इसमें आ जाएगा क्या, under root में आपका cot x का square आ जाएगा, बस यही आपका जवाब है, और कुछ करने सकते हैं, सबका differentiation जो है आप कर चुके हैं, तो अब आ रही है इसको नीले डब्बे में बंद करने की, यह मैंने इसको box में बंद कर दिया है, यही आपका book में तो कुछ और answer है sign की form में आपने कुछ और बता दिया ये तो गलत कर रहे हो या फिर book गलत है कोई तो गलत है नहीं बच्चो कोई भी गलत नहीं है दोनों ही सही है ये answer भी सही है book का answer भी सही है यही तो मज़ेदारी है maths की कि हम एक ही जवाब को ये है maths का कमाल maths का जादू वो answer कैसे आया उसका explanation आपको देता हूँ, देखिए, आपके सवाल में यहाँ पर है, quote और क्या है आपका, यह रहा, cosec, अब अगर में, देखूं, आपको याद होगा की, क्या याद होगा, कि sign by cos जो होता है, वो क्या होता है, आपका tan होता है, tan theta होता है, तो और tan का उल्टा क्या होता है, tan का उल्टा quote होता है, तो जब tan का उल्टा quote हुआ, तो फिर quote क्या होगा, quote आपका cos by sign होगा, कुछ इस तरीके से होगा नहीं होगा, आप अगर आप लाना चाहते हैं तो आप इस code को यहाँ पर convert करेंगे course by sign की form में ठीक है जी course by sign की form में उगे जो course आपको दिख रहा है तो course जो होता है मेरे प्यारे बच्चों वो क्या होता है वो sign का उल्टा होता है ठीक है it means वहाँ पर आप अगर इस course को sign की form में change कर दें औ तब आपकी बुक वाला जो साइंग के फॉर्म में आंसर है वो आपको मिल जाएगा उसमें कैर्कुलेशन तोड़ी लंबी है काफी चीज़ें हैं ज सवाल इसी लिए मैंने आपको short and simple जैसे हम करते आ रहे हैं वैसे ही मैंने आपको इसको करके दिखाया है और ये बिल्कुल भी गलत नहीं है बिल्कुल क्यूंकि आप पढ़ किस से रहे हैं ये matter करता है फटा फट से आठमे सवाल पे नजर मारो और exercise आपकी उड़ चुक वो ही करना है कितनी बार करोगे अब आप y बराबर आपने function को रखना है divide by dx करना है पहले यहाँ पे function ता power तो कोई नहीं थी तो direct function के उपर हमने यहाँ पर differentiation लगाया function पे लगाने के बाद मैंने उसके angle बे भी direct लगा दिया कि आप बर करता है जाता फिर हूंगा यह कर दिया को से जो होता है वह माइनस आइन एक्स होता है तो को रूट एक्स जो जाएगा वह माइनस आइन रूट एक्स जाएगा ट्रूट एक्स का मैंने आपको बता ही दिया तश्री में वन बाइट टू रूट एक्स होता है बज्ञा यह आगे माइनस यह आगे आपका अब एक गलती मत करना और नीचे यह कैंसल आउट कर दूं नहीं हो सकता क्योंकि यह आप तो आप कैंसल आउट कर सकते थे बट यहाँ पर यह इसका एंगल है मेरे प्यारे बच्चों और नीचे एक अलग टर्म है रूट एक्स तो यह अलग दोनों है कैंसल आउट मत करते ना डिवाइड में तो थोड़ सा अपना दिमाग और कॉमन सेंस भी यूज करा कर function continuous है तो differentiability भी होगी इसलिए पूरा chapter जो है आपका साथ नामे इसका continuity and differentiability अब आईए कुछ और जो types थे ठीक है जी एक ही type हुआ है ना भी तो अभी तो बहुत कुछ बाकी है तो अगले जो type है आपके उस पे आप नजर मारते हैं क्या आपको सीखना है और क्या चीज़े आपको करनी है तो अब आगे आपको क्या सीखना है आईए नजर मारते हैं अगली जो आपकी exercise start होने वाली है उसमें आप सीखेंगे क्या ये सीखेंगे क्या है ये differentiation of inverse trigonometric functions यानि inverse trigonometric function के dy by dx derivative differentiation आप कैसे करेंगे उसके लिए आपको कुछ ये basic formulas हैं जिनको आपको अपनी notebook में लिख लेना है और इनको याद भी कर लेना है याद करना कोई बड़ी बात नहीं है simple है अभी समझा जाता हूँ कैसे simple है आपको फिर simple लगेगा inverse trigonometric function के differentiation को याद करने की, लिए से कि normal में तो sign का cos हो रहा था, cos का minus sign हो रहा था, आपको याद है, inverse में क्या होगा, inverse में देखें, अगर हम sign inverse का जो differentiation का derivative हो आएगा, वो आएगा, 1 upon under root वे 1 minus x का square, यह आपको याद कर लेना है, इसको note भी कर लेना, अब अगर आप cos inverse के derivative पे नजर मारें, differentiation पे नजर मारें, बिल्कुल same है, यह minus में है, यह notice आपको करें, करना है इसी तरीके से अगर आप tan inverse का derivative या differentiation देखेंगे तो क्या है 1 upon 1 plus x square simple 1 upon 1 plus x square और cot inverse का देखेंगे क्योंकि tan का उल्टा cot होता है तो यहाँ पर cot inverse का यहाँ रहा है सिर्फ minus आगे लगेगा और बिल्कुल इसी तरीके से sec inverse का अगर आप देखेंगे तो आपको सिर्फ तीन याद रखने है साइन का याद रखोगे कोस का याद हो गया टेन का याद रखोगे कोट का याद हो गया उस सेक का याद रखोगे कोसेक का याद रखाएगा इनवर्स में ये वाद आपको ध्यार नखनी है अब ये कैसे आ रहे है इनको याद कर लेना है सवालों में जहाँ पर भी sin inverse आएगा उसका differentiation करना पड़ेगा ये value आप रखेंगे tan inverse आएगा 1 upon 1 plus x square रखेंगे तो आपको ये देखना है ये दोनों सेम है सिर्फ minus ये और ये सेम है सिर्फ और सिर्फ minus तो sin inverse cos inverse tan inverse cot inverse और sec inverse और cosec inverse ये इसके 6 main basic formula है जिनके बिहाव पे आप inverse trigonometric function का differentiation देखेंगे कर सकते हो तो क्या हम अगली एक्सरसाइज स्टार्ट करें जी हां बिल्कुल कर देते हैं क्योंकि आप कोई भी परेशानी वाली बात नहीं है अगली एक्सरसाइज आपसे बनने लगेगी तो फटाफट से इनको लिख लो और हैडिंग लगा लो अगली एक्सरसाइज की तो फंक्शन के हैं लेकिन यह इंप्लेसिट फंक्शन कह सकते हैं मैं आपको टाइप देना यह वाली टाइप इस एक्सरसाइज में मिलेगी तो यहां पर मिले-जुले हैं यहां पर ट्रिग्नोमेट्री भी है और हमारे पास नॉर्मल एक्सर वाइट ट्रम में फंक्शन है तो जुड़े फंक्शन एक साथ है कैसे सॉल्� तो सबसे पहले यहाँ पर आपको क्या लिखना है आपको सवाल को क्या लिखना है derivative के form में लिखना है तो आप यहाँ पर यही लिखेंगे क्या लिखेंगे आप यहाँ पर लिखेंगे कि derivative हम derivative कर रहे हैं इसका ठीक है derivative with respect to x with respect to x के x के संधर्ब में हम इसका differentiation कर रहे हैं आए करते हैं अब 2x का करेंगे अगर तो x का तो 1 होता है तो simple as z यहाँ पर 2 बचेगा तो यह तो आ गया यहाँ पर 2 फिर plus का plus लगाएगा लगाया अब इसका अगर मैं यहां पर करूंगा थी जो हमारा एजिटिज रहेगा क्योंकि मल्टिप्लाई में साथ में वाई का हो जाएगा डी वाइ बाइ डी एक्स तो यह मैंने लिख दिया इक्वल का इक्वल लगाया साइन का डेरिवेटिव क्या होता है को शेष होता है तो यहां पर साइन का कोशिश हो जाएगा और फिर एंगल का भी तो करते हैं ना तो एंगल एक्स और एक्स आप में पता है कि वन होता है यह सब का डेरिवेटिव यहां पर हो गया है अब ऐसे सवालों में सारे सवाल क्या करना इसमें आपको डी वाइ बाइ डी एक्स जो जो है उसको आपको अलग से छाट के लिखना है और बाकी के जो भी चीज़े आपको दिखाई दे रहे हैं सवाल में उनको आपको अलग ले जाना है अलग कर देना है बस डिवार बाइड एक्स वहाँ से छड़ जाएगा निकल के आ जाएगा यही आपको करना है हर एक सवाल म x हो गया अब यहाँ पर यह जो थिरी है यह थिरी डिवाइबर डीएक्स के साथ मल्टिप्लाई में है और आपको पता है कि जब मल्टिप्लाई वाली चीज हमारे पास इधर जाती है इकूल से उस साइड जाती है बोर्डर पार करती है तो क्या हो जाएगी वो डिवाइड में यही तो मुझे चाहिए था जी हाथ देखो ना सवाल क्या है फाइन डिवाइबर डीएक्स तो में डिवाइबर डीएक्स चाहिए था तो आप समझ गए आपको क्या करना है हर एक सवाल में क्या करना है आपको जो भी हमारे पास एक्सप्रेशन फंक्शन दिया खाए उसमें चीजें हैं कोई प्लस में चल उधर माइनस कर दो कोई माइनस में चल उधर प्लस कर दो कोई मिल्टिप्लाई में चल उधर डिवाइड कर दो कोई चीज डिवाइड में चल उधर उसको मिल्टिप्लाई कर दो इस तरह के साथ को सबको उधर फेक देना है सिर्फ हमें डिवा� प्रमीज से बहुत प्यारे तरीके से सवालों को लिख भी रखा है समझ लो कोशिए नंबर टू वहीं डेरिवेटिव इस पर टू एक्स के संधर्म में हम डेरिवेटिव करेंगे तो एक्स का टू हो जाएगा प्लस का प्लस लगाया तीरी का थीरी multiply भी है, मतलब ये एक साथ लिखा हुआ है, तो इस पूरे को मैं equal के इधर लिया है, इस सरफ लिया है, तो ये minus का cos y into dy by dx हो गया, ये हो गया minus का cos y into dy by dx, वो ये जो plus का 2 था, उसको मैंने उधर बेज दिया, ये minus का 2 हो गया, अब ऐसा मैंने क्यों किया, मैंने बता आया तो dy by थी बचा थी लिख दिया, माइनस का माइनस आ गया, इसका डिवाय बार डी एक्स बाहर कॉमन ले चुका हूँ, तो यहाँ पर सिर्फ कोस वाई बचा, इक्वल में माइनस टू चल ही रहा है, अब यह पूरा, यह यहाँ से यहाँ तक यह जो है, वह हमें मिल गया ऐसा आपको करना है सेम यही चीज इस सवाल में भी हो रही है डेरिवेटिव इधर स्पेक्ट टू एक्स यहां पर एक्स के साथ करेंगे तो एक्स का वन होता है खाली ए रहे गया ठीक है जी बी के साथ यहां पर क्या है था टू वाइट तो वाइस को यहां पर वाइट का करेंगे जो कि डी वाइट बाइट एक्स होता है यह मैंने कर दिया इक्वेश्चन लगाया कोस वाई का minus sign y और y का divide by dx अब वही बात हर सवाल में यही करना है divide by dx छाटना है तो यहाँ पर यह सब as it is आ गया यह सब यहाँ पर as it is आ गया अब हम क्या कर सकते हैं यहाँ पर देखिए 2by divide by dx यह minus के sign y divide by dx को मैं इधर लिया है तो यह plus का sign y divide by dx हो गया divide by dx इखटा करना है यह a plus का था उधर भेज दिया चलो जी तुम्हारे पास डिवायबर डिएक्स नहीं है इधर क्या कर रहा हूँ उधर चलो फटा पहली फुरसत में माइनस का ए हो गया अब यहाँ से डिवायबर डिएक्स मैंने कोमन लिया इसमें से यह अटा 2BY बचा पिलस का पिलस बचा इसमें से Y रह जाएगा उधर माइनस HL ही रहा था मल्टिपिलाई में है तो इसी वरा और एक सवाल सब करवाई दिखा दिया आपके सामने दो आपको समझा दिए स्टेप बाई स्टेप ऐसे ही आपको करने है अगर इस टाइप के सवाल आ जाएं हर एक सवाल में यही चीज होगी आगे के सवालों को सॉल्व करने से पहले आपको मैं नोटिस देना चाहता हूं मतलब जो नया concept है, नई चीज, नया formula है, वो तो use होगा ही होगा, लेकिन जो पुरानी knowledge, पुरानी चीजे आप करते आ रहे हैं, वो भी शामिल होके, मिलकर आपके सवाल solve होंगे, कैसे, आपको बदाता हूँ, तो अब बाकी के questions देखते हैं, बड़े सवाल हैं, question number 4 यहाँ derivative कर रहे हैं तो अब यहाँ पर देखिए आप x into y है अब ऐसा मत करना कि x का असार 1 होता है और y का divide by dx हो जाएगा लो जी हो गया derivative नहीं ध्यान दो यहाँ पर दो अलग-अलग function है x और y वो इस वीडियो को शुरू में सिखाया था मैंने आपको जी हां तो यह बात ध्यान लगनी है आगे चलकर पीछे की भी दो फंक्शन मुल्टिप्लाई में हो तो वह तरीका क्या है कि फर्स्ट फंक्शन एजिटिज ठीक है तो फर्स्ट फंक्शन आपका एजिटिज और सेकंड फंक्शन का डेरिवेटिव तो फर्स्ट एक से एक्स एजिटिज आ जाएगा और वाइका डेरिवेटिव आ गया डी खोल कर लिखा है, यह बात आपको ध्यान रखना, यही बात मैं आपको समझाना चाहा रहा था, ठीक है नहीं, चलो, तो x into y का हो गया, first function as it is, second का derivative, second function as it is, first का derivative, बीच में plus लगाते हैं, इसका हो गया, अब यह वाली plus लगाई मैंने, अब y square, पहले power का करो, y square का हो जाएगा 2y, यह मैंने कर दिया 2y, फिर y का करो, y का क्या होता है, dy by dx, यह इसका हो गया, आगे हम करेंगे, 10x का, 10x का क्या होता है, sec square x, तो इसका हो हो जाएगा आपका सेक्स्क्वेयर एक्स और फिर इसका जो एंगल है वह क्या है एक्स तो एक्स का दोबान होता है लिखो या ना लिखो कोई दिक्कत की बात ही नहीं है हां प्लस वाई अलग से तो वाई का होगा डी वाई बाई डी एक्स तो प्लस लगाया मैंने और यहां पर लिख दिया डी वाई बाई डी एक्स यह कर दिया सबकार डिफरेंसिशन ने खोल दिया 10 का या गया, y का या गया, मैंने क्या बताया आपको, dy by dx छाटना है, आए ये छाटते हैं, किस में दिख रहा है, इसमें है, और यहाँ पर अलग से लिखा हुआ है, तीन जगह है, तो आए ये इसको हम यहाँ पर करते हैं, तो सबसे पहले मैं इसका लिखूं� छटाई कर रहा हूँ ना तो यह इधर आके minus का dy by dx हो जाएगा चलिए जी अब यहाँ पर equal लगाया sec square x यहाँ पर already था तो इसको तो हमने कुछ भी नहीं करा तो यह as it is रहेगा हाँ यह जो plus का y था इसको मैं उधर minus का y ठीक है जी चलिए और कुछ यहाँ पर यह जो 3 dy by dx हमने एक साथ एकटकर लिए common ले लीजिए तो जब इन तीनों में से मैं dy by dx common निकालूंगा dy by dx मैंने common निकाला तो यहाँ पर इसके साथ क्या बचा सिर्फ वो सिर्फ x बचा इसके साथ सब कुछ निकल गया यह वाला part तो क्या बचा सिर्फ plus का 2y बचा और यहाँ पर दिवाई बाई डी एक्स ये अकेला था तो कोमन बचेगा सिर्फ और सिर्फ वन और यहाँ पर चल रहा है आपका सेक स्क्वेर एक्स माइनस का वाई अब ये सारा का सारा डी वाई बाई डी एक्स के साथ मल्टिप्लाई में है तो मल्टिप्लाई वाल इक्वल के उस पार जाकर क्या हो जाती है डिवाइड हो जाती है तो डिवाइड बाइड इक्स हमें यही छोड़ूंगा क्योंकि मुझे यही चाहिए ऊपर क्या चल रहा है ऊपर चल रहा है सेक्स स्क्वेर एक्स से माइनस वाई अपोन में यह सारा का सारा एस इट इस आ जा ऐसे आपको इस तवाल को करना था अब बाकी सवाल आपको बड़े मुश्किल लग रहे होंगे बाया क्यूब स्क्वेयर साथ में मल्टिप्लाई में मतलब इसमें भी वही चीज लगेगी टेंशन की बात नहीं है आपने जो चीजें मैंने आपको सिखा दिये वही चीजें य with respect to x, question number 5 हम कर रहे हैं आपकी exercise का, तो सबसे पहले x square का 2x हो जाएगा, अब यहाँ पर वहीं दो function है, तो पहला as it is दूसरे का differentiation, plus दूसरा as it is पहले का differentiation, पिलस का पिलस लगाया, y square का 2y होता है, और फिर y का अलग से होगा, divide by dx, equal में 100 है, constant term का आपका 0 होता है, इसलिए यहाँ पर 0 हो जाएगा, अब यहाँ पर देखिए, यह वाला जो part था, ठीक है, x into divide by dx है, मैंने पहले लिखा, क्यूं, क्यूंकि आप हमें divide by dx इखटे क में यही चीज़ आपको करनी है, divide by dx common लेंगे, यहाँ से x मिल जाएगा, यहाँ से 2y मिल जाएगा, इधर यह चल ही रहा, यह multiply में आ गया, नीचे फेक दिया इसको divide में, answer आ गया, क्या कोई मुश्किल थी, कोई नहीं थी, अगला सवाल आपको देखिए, नजर मारते हैं, x cube का करेंगे, 3x square, ठीक है, फिर x का करेंगे, 1 हो जाएगा, फिर plus का मैंने plus लगाया, अब इसमें वही function लगेगा, first function as it is, दूसरे का derivative, plus second function as it is, और first का derivative, डेरिवेटिव x square का 2x होता है इसलिए, all right, वो ही multiply वाली property उसकर ली, पिलस का पिलस लगाया, फिर इसमें आप करेंगे first function as it is, दूसरे का derivative अब दूसरा function क्या है, y square तो y square में वही, पहले y square का करा 2y हुआ और फिर y का करा तो divide by dx हुआ, यह धियान रखना है आपको, आपको power, फिर function, फिर उसका angle, इस तरीके से आपको यह series follow करनी है, फिर plus लगाया, second function as it is, और आपका first का derivative हो जाएगा, जो कि x है तो x का 1 है, लिखनी की जरूरत नहीं है, तो सबसे पहले power का, 3 power है, तो 3y square हो जाएगा, 3y square, तो divide by dx, और constant, इस टेंट है उसका एकवल में जीरो यह पूरा यहां से यहां तक एक ही लाइन की स्टेप है इस तरीके से लंबी यहां पर जगह कमती मेरे बाद तो मैंने इसको नीचे लिख दिया है आप ऐसे पूरा ही एक लाइन में लिखेना आ जाओ आगे अब जिनके पास दी बाय डी एक्स नहीं था और फिर शुरू में मिलो मतलब दूसरी साइड पहुंचा फटाफट से तो यहां इसको मैंने इदर फेका, ये minus का 3x square हो गया, और किसके बाद dy by dx नहीं है, इसके पास नहीं है, 2xy के पास, तो इसको मैंने इदर फेका, ये minus का 2xy हो गया, और किसके पास dy by dx नहीं है, इसके पास नहीं है, ठीक है, y square के पास ही है, जो आपको दिख रहा है, यहाँ पर यह रहा x2 बचा, पिलस का पिलस बचा, यहां से हट गया, 2xy बचा, पिलस का यहां पर आ गया, यहां से हट गया, 3y2 बचा, वाकी इधर यही चब चली रहा था, अब यह सब multiply में आ गया, तो वह यह इसको फेक दिया, हमने उधर divide में चला गया, और इस तरीके से हमें divide by dx मिल गया, त एक बार आपके हास से गुजर गए ने सारे सवाल, फिर आपको मज़ा हैगा इस chapter को बनाने में, और confidence देखना फिर आपको कितना बढ़ जाएगा इन सवालों को लेकर, अब इसके बाद शायद inverse trigonometric वाले सवाल शुरू हो जाएगे, अब और धियान से समझो, अब trigonometric function साथ में शामिल हो चुकी हैं, और इसके बाद inverse वाले भी शामिल हो जाएगे, पर question number 8 मैं करवा रहा हूँ, धियान से समझिएगा, तो वही कीज़ आपको करनी है, सबसे पहले आपको वही लिखना है क्या, कि derivative with respect to x, आपने ये लिख दिया, अब वही बात, sin square x है, तो सबसे पहले power है ना square, तो power का होगा, तो sin square का क्या हो जाएगा, आपका 2 sin x, यह आपका हो गया power का, into multiply, अब function का करेंगे, sin x का हो जाएगा, cos x, तो यह आपका हो गया, function का, अब angle का करेंगे, angle क्या है, x, तो x का क्या हो जाएगा, 1 हो जाएगा, बस यह आपको खेलना है, कितनी आसान चीज़े हैं, आप cos square y है, सबसे पहले power है, तो power का करो, तो 2 power है, तो power पहले आजाएगी, तो इसका हो जाएगा 2 cos y, फिर cos y का करेंगे, cos y का होता है, minus sign y, और फिर y का करेंगे, जो होता है क्या, dy by dx, और equal to में 1 चल रहा है, constant टर्म है, तो उसका 0 हो जाएगा, ठीक है जी, सब का हो गया, आप छटाई कर लो फटापट से, कौन सा है dy by dx का, एक ही है यहाँ पर, बस यही वाला, आईए, 2 sin x, cos x, ठीक है जी, multiply में है सारी चीजे, लिख दी, और इधर यह हमारे पास बन जाएगा, क्या बन जाएगा, 2 cos y और minus का sin y, इसमें अभी हम जादा कुछ कर नहीं सकते, तो dy by dx हमारे पास इस तरह से चल रहा है, ठीक है, देखा जाएगा तो जो की यह है, जो की क्या है, 2 cos y और minus, इसके साथ multiply में है dy by dx अब यह पूरा मैंने उधर भेजा इस पूरे को जब उठाकर उधर ले आओंगो तो यह पूरा minus का उठाएगा क्या हो जाएगा यह कुछ इस तरके से लाएगा minus का 2 sin x और cos x ठीक है जी यह हो गया आप क्या करना है इसके साथ यह है इसको भी उधर भे 2 sin x, step on नीजे छोड़के लिखता हूँ, ताकि आप confused ना हो, ठीक है, जगा छोड़के लिखूँगा, सही रहेगा, तो dy by dx, इधर हमारे पास क्या है उपर, minus का 2, sin x, cos x, ठीक है जी, अब, यहाँ पर upon में यह पूरा का पूरा आ जाएगा जो कि क्या है अगर इसका minus यह तीनों multiply में है minus इसका बाहर लिख सकता हूँ मैं तो minus बाहर लिखूँगा तो यह भी जाएगा 2 sin y और cos y यह कुछ इस तरीके से आपका हो गया है minus से minus आप cancel out कर सकते हो छोड़ सकते हो क्योंकि आपका answer 2 sin theta cos theta form होता है किस चीज का आपको याद होना चाहिए 2 sin theta cos theta जो होता है 2 sin theta into cos theta जो formula होता है वो होता है sin 2 theta का जी हाँ किसका sin 2 theta का तो इस formula के according इसको आप और contract कर सकते हैं तो यह है 2 sin x cos x तो उपर बन जाएगा sin 2 x जी हाँ और नीचे क्या है 2 sin y cos y तो क्या बन जाएगा, साइन 2 Y बन जाएगा, तो नीचे बन जाएगा, साइन 2 Y, तो हमने इस formula के according, इसके सवाल को, जवाब को, मतलब और contract कर दिया है, और हमने इसको, contract form में, सुकेड कर, समेट कर लिख दिया है, तो आपका divy by dx, ये आ गया, तो हमने formula के according, question number 8 ये रहा, समझ के जाओ, यह रहा, sin square y का, वो 2 sin y, sin y का cos y, y का divide by dx plus लगाया, cos x y, यहाँ पर एक बात समझो, बहुत कहरी यहाँ पर एक बात है, देखिए, धियाच समझिए, cos और इसका जो angle है न, वो है x into y, मतलब angle में भी 2 अलग-अलग function है, तो सबसे पहले cos का angle जो है यह पूरा, त multiply वाला वो तरीका लगेगा यह बात ध्यान नकरा तो यहाँ पर वो ही लगाया x और y है first function as it is second का derivative plus second as it is first का derivative तो angle में वो multiply वाला chain rule हमारा follow हुआ यह हमारा k है 0 बन जाएगा अब वही बात यह पूरा हमने लिख लिया फिर divide by dx वाले जो दो थे यह जो था हमारे पास minus y sine x y इसको हम उदर लेगा यह plus का हो गया आंसर हाँ गया ठीक है जी तो कोई इकट की बात नहीं थी इसमें नए चीज आपने यह सीखने को मिली इसमें नए तो हर एक सवाल में मैं करवा रहा हूँ कुछ ना कुछ आपको नया जरूर में सिखा रहा हूँ अब इसके बाद आगई बारी जी हाँ अब आगई बारी sine inverse cos inverse वाले function का derivative differentiation कैसे होगा अब ध्यान देलो पूरा का पूरा y equal to sine inverse जी हाँ inverse वाला function अब आ चुका है नवे सवाल से और अंदर है आपका bracket में इसका angle में 2x upon 1 plus x है square, ऐसे आप दसमा देखेंगे, तो भाईया, 10 inverse और इसका पूरा angle इतना बड़ा है, अब यहाँ पर, आपको सवाल कैसे solve करने, कैसे इनकी starting करनी है, आपको बता दाओ शुरुवात करने का तरीका, सबसे पहले आप यहाँ पर मानेंगे, क्या मानेंगे, जो आपको x दे रखा होगा यह भी तो cancel होगा यह inverse है यह आपका सीधा वाला यह उल्टा वाला दोनों आपस में cancel out हो जाएंगे तो हम यहाँ पर अंदर इस x को मालेंगे sin theta जी हाँ तो ऐसे आपको इसको करना है तो यहाँ पर मैं आप सबसे पहले शुरुवात यहीं से होगी इस सवाल की है कि पूट x is equal to sin theta ठीक है जी x जो है वह sin theta में यहाँ पर पूट करने वाला हूं अब यहां से अगर मैं तो भाईया उसकी power negative हो जाएगी तो यहाँ पर theta की value इस तरीके से आ जाएगी sin inverse x तो मैंने क्या करा x की जगा sin theta put करना है और वहाँ से theta की value sin inverse आ जाएगी अब आइए करते हैं तो यहाँ पर हमारा यह सवाल है वो है y equal to sin inverse और इसके जो break it में क्या है, 2x है, तो x की जगा तो मुझे अब sin theta लखना है, तो 2 sin theta upon लगाया, 1 plus sin square theta, अब ऐसा करते हैं, करने से क्या हुआ ऐसा करने से मेरे प्यारे बच्चों यह हुआ ध्यान से बात समझना यह फॉर्मुला बन गया जी हां टू साइन थीटा अपने वन प्लस साइन स्क्वेर थीटा यह फॉर्मुला होता है पता है किसका होता है यह फॉर्मुला होता है आप आपका मैं फॉर्मुले को अलग से कलर से हाइलाइट करता हूं ताकि आपको ध्यान रहेगा कि अच्छा यह फॉर्मुला है यह फॉर्मुला होता है आपका साइन टू थीटा का जी हां अब आपके इनके सरसर अभी क्या बात कर रहे हो आप क्या बात करता है अभी आपने बताया कि साइन टू थीटा का फॉर्मुला होता है टू साइन थीटा को शीघ्र हां यह भी होता है और अभी आप कर रहे हो कि साइन टू थीटा का फॉर्मुला है टू साइन थीटा पॉन वन प्लस साइन स्कूर थीटा हां यह भी होता है जी हां दोनों ही फॉर्मुले साइन टू थीटा के या sign to theta को हम ऐसे भी लिख सकते हैं और ऐसे भी लिख सकते हैं यहाँ पर course की form में अगर हमें answer चाहिए तो हम ये वाला use करेंगे और अगर हमें सिर्फ sign की term में ही answer चाहिए तो हम ये वाला यूज़ करेंगे, तो मेरे प्यारे बच्चों इन फॉर्मुलों को अपनी नोटबुक में जरूर लिखना, कौन से सवाल में कौन सा फॉर्मुला यूज़ हो रहा है, इससे आपके समझ बनेगी बोर्ड एक्जाम को लेकर, कि एक्जाम में इन फॉर्मुलों जी हाँ तो ये angle जो अंदर बन रहे हैं ये formula ही हैं बस x लगा हुआ है उनकी जंगा ये आपको मैंने short trick एक direct बात बता दी सवाल को पहचारने के लिए तो यहाँ पर ये formula होता है ये formula ये भी होता है ताकि आपको अलग से तो ये formula इसका होता है तो simple as that अंदर अब आ जाएगा अंदर आजाएगा आपका क्या आजाएगा अंदर आजाएगा आपका सिर्फ यह पूरा साइन थीटा होता है तो साइन टू थीटा आजाएगा अब यहाँ पर क्या करना है आपको अंदर नॉर्मल थीटा है सीधा वाला बाहर उल्टा वाला है तो सीधा वाले से अरे तो स सिदे वाले से उल्टा वाला cancel out हो जाएगा और मैंने cancel out कर दिया अब मेरे पास क्या बचा मेरे पास बचा y equal to 2 theta या y equal to 2 theta क्या है sin inverse x है 2 sin inverse inverse x, तो अब यहाँ पर मैं इसका क्या करूँगा, derivative करूँगा, क्यूंकि inverse sin x का तो मुझे पता है, मैंने भी आपको बता है न, formula यह रहा यहाँ पर, तो sin inverse x का, मैंने आपको शुरू में बता दिया था वीडियो की, यहाँ पर से आपको लिखना है कि 1 upon under root में y minus x का square यह रहा अंदर तो आइए आप derivative करते हैं तो अब हम लिखेंगे वही क्योंकि derivative तो आप कर रहे हैं ना उपर तो भी हम सिर्फ इसको simple कर रहे थे modify कर रहे थे तो derivative with respect to x, x के संधर्व में differentiation होने जाएगा रहा है तो y का बन जाएगा y का बन जाएगा dy by dx ठीक है जी 2 का तो as it is रहेगा multiply में है क्यूंकि तो ऐसा नहीं है कि 2 का 0 है आप कुछ और कर दें sin inverse x का होता है 1 upon under root में 1 minus x का square बस यही आपका answer है यह 2 multiply में है तो इस 2 को आप उपर लिख देंगे, तो इसको आप और सफाई से लिख देंगे, तो उपर आजाएगा आपका 2 upon under root में 1 minus x का square, यह आपका आगया dy by dx निकल के, समझ में आई बात, ऐसे आपको करना है inverse वालो का, आपको x को मानना है, theta की form में angle के साथ, फिर आपको वहाँ से theta निकल जाएगा inverse की form में, वह value कोई नगब formula बनाएगी, तो cancel out करेगी, छोटा करेगी तो आपका ये बचेगा उसके बाद फिर हम derivative रखा के अपना आथर solve कर देगे सवाल समझ में आ गया एक सवाल और फटा पड़े इसी बात पे देख लो हाथ तो हाथ question number 10 आपके लिए same कोई भी चीज चेंज नहीं है put x is equal to x की जगा 10 ठीटा रखूँगा तो थीटा मुझे मिलेगा 10 inverse x यह आ गया, अब y की जगा y, 10 inverse की जगा 10 inverse x की जगा सिर्फ 10 ठीटा, 3x था, 3 10 ठीटा, minus था minus, x का cube था तो 10 cube ठीटा, upon में 1 minus 3x square है तो 1 minus 3 10 square ठीटा, जहां x दिखा वहां 10 लगा दिया, simple as that, आगे क किस चीज का formula बन गया 10 3 theta का यह 10 3 theta का formula होता है 3 10 theta minus 10 cube theta upon 1 minus 3 10 square theta तो यह formula आ गया तीसरा formula इसको भी लेख लो यह आद रखने आपको formula इनके बिना सवाल करी नहीं पाओगे यहाँ पे आप यह लाके अटक जाओगे अगर आपको पता है कि यह formula होता है तो आप answer कर पाओगे तो यह formula इसका होता है दोनों 10 cancel out हो गए 3 theta बचा थीटा हमारा होता है टेन इनवर्स एक्स तब यहां पर डेरिवेटिव करेंगे डेरिवेटिव इस रिस्पेक्ट टू एक्स डिवाइट एक्स थी मुल्टिप्लाई में है और टेन इनवर्स एक्स तब यहां पर डेरिवेटिव करेंगे डेरिवेटिव इस रिस्पेक्ट टू एक्स तब यहां पर डेरिवेटिव करेंगे डेरिवेटिव इस रिस्पेक्ट टू एक्स तब यहां पर डेरिवेटिव करेंगे डेरि तो आपको समझ में नहीं आती कि कौन सी स्टेप क्या है यहां पर लाइन वाइज में बड़ी सफाई से आपके लिख रहा हूं ताकि आपको क्लियर रहे हैं एक स्टेप यह है एक यह है और इनके बीच में मैं एक लाइन भी छ आपके लिए रखा गया है इसलिए इस वीडियो को लाइक करते हैं आईए आगी के कुछ और सवाल देखते हैं ग्यारवे और बारवे सवाल पे नजर मारो आपके लिए सिरीफ और सिरीफ पेश किया गया है यहाँ पर देखिए अब यही चीज जो मैंने आपको करवा दिया ना यही चीज हर एक सवाल में एक्स की जगा मैंने रखा 10 theta, हाला कि सवाल मेरा cos में है, लेकिन मैंने यहाँ भी 10 theta रखा, ऐसा क्यों करा, पहले के सवाल में तो sign था, 10 था, तो 10 था, अब यहाँ पर cos था, तो cos क्यों नहीं रखा, यही चीज आपको देखनी है मेरे प्यारे बच्चो की, आपका जो bracket है अंदर, वो कौन सा अंदर cos रखता, तो 1 minus cos square होता, और 1 plus cos square formula नहीं मिल पाता मुझे, अंदर tan रखा है, अब tan रखने था, थीटा मुझे मिला 10 inverse x अब यहाँ पर देखिए तो 1 minus x square तो 10 square थीटा और 1 plus 10 square थीटा तो 1 minus 10 square थीटा और 1 plus 10 square थीटा यह एक formula होता है cos 2 theta का जी हाँ लिख लो अगला formula 3, 4, 4 है ना 4 है 5 है जो भी है number डाल के formula लिखते रहो formula लिखना तो cos 2 theta का formula होता है 10 की form में 1 minus 10 square theta 1 plus 10 square theta दोनों ही सवाल में यही formula यहाँ पर आपको use करना है तो यह बन गया cost तू थीटा फिर कोश से कोश कैंसिल हुआ फिर यह टेन इनवर्स हो गया टेन इनवर्स का होता है वन प्लस एक्से स्क्वेर आंसर आपके आखों के सामने है कोश नंबर बारे में भी यही चीज करनी है साइन था वन माइनस एक्से स्क्वेर वन प्लस एक्से स्क्वेर अगर वहां कोश है अब क्या करें तो नहीं हो रहा क्या फायदा है यह रखने का बताता हूं अगर नहीं हो तो बनाओ ना इसको कैंसल करने लायक बनाओ अब यह है आपका देखिए साइन 90 माइनस थीटा क्या होता है साइन 90 माइनस होता है ठीक है क्या होता है? cos theta होता है यह आपका एक basic 10th class में ही पढ़ाता है आपने यह तो तो यहाँ से हमने इस cos theta को change करा sign की form में ठीक है जी? अब यह cos 2 theta था तो sign 90-2 theta कर दिया हमने ठीक है जी?

इस तरीके से हमने क्या किया? cos की जंगा यह लग दिया बजा cos theta था ना हमारे पास हम इसको लिख सकते है sign 90-2 theta की form में ऐसे अगर cos 2 theta होगा तो पर इसको हम इस तरीके से 2 theta की form में लिखेंगे यहाँ पर 90 की जगह पाइट यूज करेंगे हम क्योंकि यह वाली वेल्यू है आपकी दूसरी फॉर्म वाली वेल्यू होती है तो इस तरीके से कोशिश को मैंने से चेंज करा था इन 90 माइनस टेटा साइड पाइट टू माइनस थेटा में फिर साइड से टाइम कैंसल हुआ और बचा फिर अंदर पाइट टू माइनस टू थेटा तो अब यहां पर जो हम डेरिवेटिव करेंगे इसका तो यहां पर डेरिवेटिव करेंगे डिवाइब एडिएस पाइट टू कॉन्स्टेंट थी जीरो हो गया माइनस का माइनस टू 10 का आपको पता है, 10 inverse का 1 plus x square होता है, तो minus 2 upon 1 plus x का square इसका answer आ गया, इस तवाल में यह एक नई चीज़ थी, कि अगर function अलग-अलग आ जाएं, formula लगाने के बाद भी, तो आपको उसको फिर उसमें चले आना quadrant में, first quadrant, second quadrant, वहाँ पे आपका pi by 2 पे change कर सकते हो, तो इस तरीके से हमने here course 2 data को sign की form में change किया, फिर हमने इसको cancel out किया, फिर हमने answer लेकर आया, ठीक है जी, समझ में आई, ऐसे आपको, trigonometry के जो ये inverse वाले सवाले इनको बनाने है तरीका एक ही है वही तरीका है put करना है formula बनेगा formula की contract form लिखो काटो पेटो फिर differentiation करो और differentiation में जो भी inverse की value आ रही है देखिए load घूम के end में वही आ रहा है tan inverse आ रहा है या sine inverse आ रहा है या cos inverse आ रहा है तो आपको at the end वही वाली values रखनी है ले कर आना ये अपने आप में एक खेल है जो खेल मैंने आपको खेलना सिखा दिया है ये सारे के के सारे सवाल करवा के तो एक बार आप भी करके प्रैक्टिस कर लेना आप से भी बनेंगे अब हर एक सवाल में यही आपको करना है तीन सवाल बच्चे कुछे रहेगा है आपके इनको भी देख लो सरा ठीक है यहाँ पर कॉशन नमर 13 वही सेम स्टेप्स एक्स की जगह यहाँ पर जो मुझे एक्स दिख रहा है क्या रखा मैंने टेन थीटा रखा क्योंकि टेन की फ� कि ऊपर बाहर जो है हमारे पास को इनवर्स है अंदर साइन है तो कैंसल आउट तो नहीं हो सकते तो इस साइन को हम कनवर्ड करेंगे कोस की फॉर्म में तो कैसे वही 90-3 जो हमारा फॉर्मला उसके अकॉर्डिंग है पाइबाइ टू में चेंज कर लेंगे और जो हमारा एंग टू थीटा तो इस तरीके से कोश मुझे मिल गया फिर इस कोश से यह वाला कोश कैंसिल आउट हो जाएगा फिर सिर्फ बचेगा पाई बाई टू माइनस तू टीटा अब यहां पर ठीक है कि जगह जो हमारी यहां वेल्यू निकली टेन इनवर्स एक्स वाली वह यहां पर एक्स लिख देना है अब जब इसका डेरिवेटिव करेंगे अब करेंगे डेरिवेटिव तो यह पाइट टू का डू हो जाएगा वाइनेस का माइनेस टू का डू और टेन इनवर्स का होता है वन अपन वन प्लस एक्स का square, अब इसको चाहो तो आप एक साथ लिख देना अगली step में, minus 2 upon 1 plus x का square, आपका answer होगा, यही चीज़ फोलो करनी है आपको चोहज में सवाल में, यही चीज़ फोलो करनी है आपको पंदर में आने, इस exercise के last question में भी, same चीज़े यहाँ पर भी हुई है, आप नजर मार सकते हैं, x की जगह पर हमने sine theta रखा, तो यहाँ पर 2x तो 2 sin theta हो गया 1 minus sin square theta हो गया 1 minus sin square theta होता है cos square theta के और right square से इसका square कहा जा रहा है square से इसका यह जो root है यह cancel out हो गया तो यह बचा cos theta अब 2 sin theta cos theta formula होता है आपको भी आया था पहले सवाल में याद भी हो गया होगा sin 2 theta का होता है यहाँ से sin cancel out हो गया तो सिर्फ 2 theta बचा बाकी चीज़ें वही से जो आपने इतने सारे सवालों में करेंगे derivative करेंगे 2 sin inverse x है तो sin inverse अंडर रूट होता है तो यहां पर यह चीजें आ गई हैं सेम यही चीज 15 यानि आखिरी सवाल में भी हो रही है वही चीज है यहां पर यह दिया गया है मैंने यहां पर को सिटा रखिए इसको सॉल्व किया तो यहां पर नीचे को आ गया अब कोस टू थीटा का फॉर्मुल होता है टू कोस स्क्वेर थीटा माइनस मतलब टू कोस स्क्वेर थीटा माइनस वन को हम कोस टू थीटा की लिख सकते हैं तो इसीलिए यहां पर से कोस 2 theta मुझे इस वाली step के अंतर ये मिल गया है अभी ये denominator में है तो जब denominator से उपर जाएगा numerator बनेगा तो cos क्या बन जाएगा sec बन जाएगा तो cos 2 theta को जब हमने उपर लिखा तो sec 2 theta बन गया अब यहाँ से आप इसको भी cancel out कर सकते हैं तो बचा लेते के क्या वही बचना है फिर थीटा जो रखा था वो रखा, cos inverse की value minus में होती है, तो minus, upon में 1 minus x square का under root आजेगा, और 2 उपर था, तो 2 उपर का उपर हमने लिख दिया, यह आपका answer आ गया, तो देखा आपने, सारे inverse वाले सवालों में same चीज हुई है, inverse trigonometric function भी इस exercise में कर लिये, और पूरी exercise यहाँ पर आपकी क्या है, यह end हो चुकी है, अब आईए, लोग वाले सवालों पे नजर माल लेते हैं, और exponential के सवालों को कैसे आपको करना है फिर ये वीडियो हम end करेंगे अगली जो आपकी type है वो है exponential function की और logarithmic function की यानि exponent वाले सवाल और log वाले सवालों का derivative कैसे निकालेंगे आए वो मैं आपको सिखाता हूँ बहुत आसान है ये भी डरना बिलकुल नहीं आपको मैं ही एक ऐसा teacher हूँ बारवी के सवालों के chapter से आए ये देखिए सबसे पहले exponent को हम समझते हैं exponent मतलब power वाला function ठीक ही कुछ भी हो सकता है इसे कि E की पावर कुछ भी हो सकती है, X हो सकती है, let's suppose, ठीक है जी, E की पावर क्या हो सकती है, और कुछ कोई function हो सकता है, जैसे कि sin X हो सकता है, या कोई inverse का function हो सकता है, E की पावर tan inverse X हो सकती है, या कोई root में number हो सकता है, E की पावर जो है, वो under root X हो सकती पाने लगेंगे इसका derivative निकालने में पैरों ताले जमीन खिसक जाएगी formula क्या है formula यह है आपका हिंदी में मैं लिखता हूँ formula है होता ही नहीं है जी हाँ अरे यह क्या लिख दिया मैंने derivative होता ही नहीं है yes बिलकुल सही सुना आपने यह जो exponential वाले exponent वाले जो function है उनका derivative आप कर ही नहीं सकते होता ही नहीं है निकली नहीं सकता आप कर ही नहीं पाओगे जी हाँ आपको जी हाँ बिल्कुल सही सुन रहे हैं आप तो exponential वाले यह e वाले या power वाले function का derivative नहीं निकाला जा सकता नहीं निकाल सकते तो derivative इनका होता ही नहीं है यह बात mind में fit कर लेना अब derivative नहीं है तो फिर कैसे निकालेंगे तो simple है अगर आप e की power x का derivative निकाल रहे हैं d by dx निक आएगा, e की power root x ही आएगा, simple है, अगर आप derivative कर रहे हैं, d by dx कर रहे हैं e की power, let's suppose, sine theta का, या sine x का, तो क्या आएगा, तो भाईया, e की power sine x ही आएगा, simple है, अगर आप d by dx कर रहे हैं, e की power में कोई inverse function है, let's suppose tan inverse ही है, tan inverse x का, तो e की power का tan inverse x ही आएगा, क्योंकि इनका आप derivative नहीं निकाल सकते, सो है जो है वही रहेगा सिंपल है से सारी tension आपकी ख़ताम होगा है लेकिन एक बात यह ध्यान रखना है E की power का तो आप नहीं निकाल सकते हैं लेकिन अगर power में जो चीज है उसका निकलेगा जी हाँ उसका अलग से निकालना पड़ेगा जैसे कि यहाँ पर हमने E की power X का derivative किया तो E की power X ही आगया X का जो की 1 होता है तो कोई बात ही नहीं है अगर 1 multiply में है तरीके से अगर यहाँ पर आपने e की पावर root x का निकाला, तो e की पावर root x का derivative, तो e की पावर root x आ गया, लेकिन फिर आपको बाद में अलग से, इसका root x का आपको निकालना पड़ेगा, ठीक है, यह बाद आपको ध्यान रखनी है, ऐसे ही e की पावर sin x का, इनवर्स एक्स का इकी पावर टेन इनवर्स एक्स ही रहेगा डेरिवेटिव लेकिन फिर आपको अलग से बाद में टेन इनवर्स का निकालना पड़ेगा इतनी बात समझ में आ गई नहीं आ गई और उसका जो एंगल है एक्स उसका भी निकालना पड़ेगा तो बस यही करन लोग नजर आ रहा है अब लोग के भी कुछ concept है वो भी सीख लो फिर आपकी ये exercise बनाने की पूरी शक्ति तैयार हो जाएगी फिर फड़ा बट से यहाँ exercise कर डा लेंगे एक चुटकी बजाते ही तो अब लोग का differentiation भी समझ लो बहुत आसान है ये भी जैसे कि यहा� उसको बटे में लिख देना वन अपोन करके लिख द हो गया 1 upon x बस यही आपको ध्यान रखना है ऐसा ही अब यहाँ पर है divide x of log sin x तो मैंने क्या बताया जो log के साथ है वो 1 upon में लिख दो तो इसका differentiation आ जाएगा 1 by sin x simple है और फिर sin x का अलग से करना पड़ेगा यह तो करना ही पड़ेगा ना आपको यह तो बार क्या बताना sin जाएगा इसी तरीके से एक और देख लो डिवाइड एक्स फ्लॉग टेन इनवर्स एक्स तो लोग एक्स का करना है या लोग के साथ जो भी चीज है वन बाई एक्स होता है तो लोग यहां पर एक्स के जगह पर टेन इनवर्स है तो वन बाई टेन इनवर्स एक्स इसका डेरिवेटिव हो जाएगा और फिर इसका वन बाई टेन इनवर्स एक्स में जो यह आपका टेन इनवर्स एक्स है इसका अलग से आप करेंगे जो कि होता है वन अपॉन वन प्लस एक्स स्क्वेर तो यह अलग से आ जाएगा वन प्लस वन अपॉन एक्स स्क्वेर देखो, divide x of log और e की power log x, तो यहाँ पर हमें क्या करना है, log के साथ जो लिखा हुआ है, हमें पहले बटे में वो लिख देना है, तो 1 upon e की power log x मैंने लिख दिया, अब इस power का करेंगे, या angle का करेंगे, जो angle अलग से लिखा हुआ है, तो angle e की power log x अब हमें पता है कि e की power log x मतलब exponential function है, और exponential function का differentiation लिखने का ही नहीं, derivative निकले का ही नहीं, तो e की power log x जो है, वो e की power log x आ जाएगा और फिर इस लोग x का भी तो निकालेंगे हम अलग से तो जब लोग x का अलग से निकालेंगे तो वो होता है आपका क्या वन बाई x होता है और फिर x का भी अलग से निकालेंगे तो वो होता है वन तो इस तरीके से हर एक चीज का आपको differentiation निकालना पड़ेगा ब तो एकी पावर लोग x का तो आएगा ही नहीं वो as it is रहेगा फिर खाली लोग x का निकालेंगे 1 by x और फिर angle x तो उसका आजाएगा 1 तो हर एक का differentiation निकला है अब यहाँ पर देखिए एकी पावर लोग x यह उपर है यह नीचे है तो यहाँ पर इससे cancel out हो जाएगा तो ले यह जो लॉग है और यह जो exponential है या exponential power है यह एक दूसरे के anti होते हैं दुश्मन होते हैं जैसे कि अगर कोई चीज प्लस में है एक और एक चीज माइनस में है इस तरीके से तो वो आपस में क्या हो जाती है cancel out हो जाती है नहीं साइन inverse से साइन cancel out हो जाएगा अगर कोई चीज इसी तरीके से multiply और divide में है कोई चीज उपर है कोई चीज नीचे है अगर multiply और divide आपस में cancel out हो जाती है इसमें तो cancel out हो जाती है बिल्कुल इसी तरीके से ये exponent और log का भी यही scene है जी हाँ यही scene है ये भी आपस में एक दूसरे से cancel out हो जाएंगे तो कहीं पर अगर log है और exponent भी है तो आपस में ये cancel out हो जाएंगे यह बात आपको ध्यान नखनी है जैसे कि यहाँ पर आपने ये चीज़ देख भी ली थी कि और हमारे पास exponent भी था, तो log और exponent जब एक साथ आए, तो यहाँ पर cancel out चीज़े हो गई, और हमें सिरीफ वो सिरीफ मिला 1 by x, यह चीज़ा आपको ध्यान लखने, आगे सवाल करते में काम में आएगी, अब यहाँ पर कुछ तीन basic formula है, फड़ापड, simple है, अगर log है, log के साथ a की power कुछ n है, उसकी power n है, तो power को आप पहले भी लिख सकते हो, log e और, उसकी power कुछ थी, तो यहाँ पर भी जो power n थी, मतलब power जो log x थी, उस log x को हम पहले लिख सकते थे, और उस तरीके से भी सवाल को हम कर सकते थे, यह आपको ध्यान रखना है, ऐसे अगर power होगी, तो वो log से पहले आ जाएगी, power आएगी, फिर log आएगा, और फिर यह वाला function आ प्लेस कर लो और अगर दो फंक्शन के साथ जो लोग के साथ फंक्शन लिखे हैं वह मल्टीव में डिवाइड में है तो फिर वह माइनस में लिखे जाएंगे लोग ए माइनस लोग भी उनको अलग-अलग लोग निकाल के उनका आप माइनस कर सकते हो उनको आप माइनस करके अपना आंसर जो है वह ला सकते हो तो यह तरीके थे आपके कुछ लोग वाले लोग सिंपल है एक्सपोनेंट और लोग मैंने दोनों ही आपको बता दिया है तो आइए देर किस बात की है अपनी एक्सरसाइज जो है उसको शुरुआत करते हैं तो differentiate the following with respect to x, exercise 5.1, 5.1 कह रहा हूँ, 5.4 आपकी start होने जा रही है, ठीक है जी, पहला सवाल यहाँ पर देखते हैं, तो क्या करना है, सबसे पहले अपने सवाल को आपको y के equal लिख लेना है, मतलब function को अपने y के equal लिख लेना है, तो क्या करेंगे, derivative करना है न, differentiate करना है, करते हैं derivative with respect to x x के संधर्ब में हम इसका derivative कर रहे हैं तो y का हो जाएगा dy by dx y का क्या हो जाएगा y का हो जाएगा एक line छोड़ के लिखता हूँ मैं dy by dx अब इसका करना है आपको function का अब नजर मारो ये बटे में है उपर और नीचे लिखा हुआ है और जब दो function बटे में divide होकर लिख रहे हो तो भी या rule पुराने मत भूल जाना मैंने इसलिए कहा था कि नई चीज़ों तो आएंगी लेकिन पुरानी भी भी use होती रहेंगी तो पुरानी के साथ नई चीज़ों को मिला के आपको आगे बढ़ना है जैसे लिए से आप इस का वाल में इस chapter में आगे बढ़ेंगे तो भाईया नई चीज़े आएं exponent आया लेकिन पुरानी चीज़े भी use हो रही है तो जब divide में दो function है तो जब दो function divide में होते हैं हम ऐसे करते हैं minus उपर वाले का as it is इसे वाले का derivative और फिर नीचे वाले का square तो नीचे वाला as it is नीचे क्या है sin x तो sin x आपका आ जाएगा as it is और उपर वाले का derivative तो d by dx हम करेंगे किसका उपर इसमें e की power x फिर minus लगाएंगे फिर उपर वाला as it is और नीचे वाले का derivative d by dx of नीचे वाला denominator जो कि यहाँ पर हमारे पास sin x और इस पूरे के नीचे नीचे वाले का square मतलब नीचे क्या है sin है तो sin square x हो जाएगा यह हो गया चलिए derivative अब करते हैं तो यहाँ पर d y by dx of which one sin x हमारा as it is रहेगा ठीक है जी अब इसकी power x का derivative इसकी power x ही होगा कुछ भी नहीं नहीं होगा, जो होता है वही रहता है, तो E की पावर X ही हो गया, minus E की पावर X इधर है, अब dy by dx of sin x, sin x का derivative cos x होता है, तो इसका आपका हो जाएगा, cos x, और नीचे इस पूरे के क्या चल रहा है, मेरे प्यारे बच्चो, sin square x चल रहा है, आए आगे बढ़ जाते हैं, dy by dx, अब किसका यहाँ पर देखिए, यहाँ पर e की power x मैंने common निकाल लिया, तो अंदर रह जाएगा, यहाँ पर sin x, और minus cos x, यह आपका आगे अंदर, और नीचे आपका क्या है, sin square x, अब हमें निकालना क्या है, differentiate करना है, कर लिया जी, divide by dx कर दिया जी, e की power x बाहर, अंदर bracket में sin x, minus cos x, और नीचे sin square x, यह आपका answer जो है वो हो चुका है simple था बागी सारी चीज़े पुरानी हुई यह लगा और e की power x का e की power x ही रहा छोड़े दस सवाले चुटकी बजाते ही कर लोगे अब वाकी के सवालों के अब यहाँ पे फड़ा बट से बस नजर मालो बहुत आसाने हलवा है question number 2 देखो e की power sin inverse x तो derivative with respect to x दिवाई बाद एक्स, एकी पावर साइन इनवर्स एक्स का, तो एकी पावर साइन इनवर्स एक्स ही रहेगा, चेंज नहीं होगा, कुछ भी नहीं होगा, as it is, लेकिन फिर इस साइन इनवर्स एक्स का होगा, जो होता है 1 अपन 1-x square, और फिर इसके एंगल का होगा, एक्स का डी एक्स इसको वाइ के एकवाल रखा अब डी वाइ डी एक्स ओप ई की पावर एक्स का क्यूब तो इसका तो कुछ भी नहीं होगा मतलब चेंज होगा ही नहीं जो है एक्स डीज आ जाएगा तो ई की पावर एक्स का क्यूब का एक्स डीज आ गया एकी पावर एक्स क्यू� फिर x के cube का करा, फिर खाली x का करा, तो x का करा यहाँ पर, x का 1 ही होता है, 1 लिखने की जरूरत नहीं है, इसलिए यहाँ पर मैंने नहीं लिखा, और final answer अपने यहाँ पर दे दिया है, dy by dx is equal to v की power x का cube, और n2 में multiply में 3x square, तो यह तीन सवाल, ठीक है, यह सब आपका basic है, इस exercise का, question, number 4, 5, 6 यहाँ पर देख लेते हैं चुटकी वजाते ही सवाल हो जाएंगे देखते exercise खतम है आपकी है अब यहाँ पर देखें sign है और sign के angle में tan inverse भी है और e की power minus x भी है काफी कुछ मज़ा आएगा सीखेंगे derivative with respect to x वाब तो आपको क्या करना है वही dy by dx आपको करना है dy by dx करा आप सबसे पहले क्या करना है आपको derivative करना है sign हो इसको तो sin का यह कुछ angle है theta let's suppose ऐसे समझो तो आपको भी d by dx करना है किसका d by dx of sin theta और theta के जगह क्या है इसके angle के जगह tan inverse और e की power minus x अब sin theta का क्या होता है derivative cos theta होता है तो यह पूरा आ जाएगा आपका क्या आ जाएगा यहाँ पर यह बन जाएगा आपका cos और थीटा मतलब जो भी एंगल है वो मैं यहाँ पर लिखे दूँगा, तो यह तो हो गया साइन का derivative, अब आप करेंगे इसके एंगल का derivative, तो आप आगे यही पर शुरुवात करेंगे, डी बाइड डी एक्स लिखे, इसका एंगल लिखेंगे, जो की है 10 इनवर्स और ई की प और एकी पावर माइनस एक्स एजिट इस रहेगा अब इसके एंगल का करेंगे अब देखिए टैन इनवर्स और ये एंगल है अब अगर आप इसको देखेंगे तो टैन इनवर्स का एंगल है ये एकी पावर माइनस एक्स तो टैन इनवर्स थीटा इसको आप देखेंगे इस लगाएंगे क्या? derivative तो जो की होता है आपका 1 upon 1 plus x square होता है 10 inverse x का ठीक है जी x का square अब यहाँ पर e की power minus x तो already है इसी में हमें square add करना है तो e की square यहाँ पर इस तरह से हो जाएगा मतलब कि square जो है ना यह इस तरीके से लिखा जाएगा e की power minus 2x क्योंकि minus x तो already है वहाँ पर हमें square लगाना था तो 2 वीच में शामिल हो जाएगा ऐसा मत कर देना कि e की power minus x का square ये फिर square इसका बन जाएगा, तो ये गलती यहाँ पर आप ना करें, अब यहाँ पर इसको मैं तमीज से लिखता हूँ, तो 1 upon 1 plus, x का square होता है, x की जगह है, e minus x, तो e minus x का square इस तरीके से यहाँ आएगा, e minus 2, e की power minus 2x, ऐसा यह बनेगा, यह हो गया, ये तो आपने tan inverse का कराए, तो divide by dx of e की power minus x, x भी होगा जी हाँ ठीक है तो यही चीज़े हो रही है बार कुछ नया तो हो नहीं रहा है बार थोड़ा सा डिटेल में आपको ध्यान से करना है तो 10 inverse into e की power minus x नीचे क्या है upon में है 1 plus e की power minus का 2x अब e की power x का तो e की power x एजिटिस रहेगा ठीक है e की power exponent का derivative निकलता नहीं है अब आप करेंगे इसकी power का d by dx किसका करेंगे minus के x का जो की होगा minus का 1, तो यहाँ पर minus का 1 आजाएगा, आप direct भी लिख सकते हैं, तो यहाँ पर आपका आ गया cos, और bracket में है, इसके tan inverse और एक ही power minus x इसके upon में है, क्या है इसके upon में, 1 plus एक ही power minus 2 x और अलग से उपर multiply में है, एक ही power minus x, और इसका आजाएगा minus का 1, अब यह जो minus है, यह आप सबसे आगे लेके आजाओ अच्छी सी, तो minus के 1 से multiply होगी तो तो basically minus का ये है तो minus हम आगे लगाएंगे e की power minus का x आगे लिखेंगे ये वाला अब मैंने उसके बाद ये bracket वाला part लिख दिया मतलब ये cos वाला part लिख दिया ठीक है जी cos और इसका जो angle है वो लिख दूँगा tan inverse एकी पावर माइनस एक्स और जो इसके नीचे था पूरे का बटा लगा के अपोन लगा के इसका डिनोमिनेटर जो चल रहा था वो इसके डिनोमिनेटर में आ जाएगा तो ले देके ये इसका जवाब आ गया ठीक है जी बड़ा सा जवाब आया चीज़े वही हुई है जो अ� भी आपका ऐसे ही होगा जरूर नजर मारो क्वेश्चन नंबर 5 पर यहां पर देखते हैं क्वेश्चन नंबर 5 देखें क्या हुआ लोग और लोग का यहां पर यह दे रखा है लोग दे रखा है और लोग का क्या दे रखा है कुछ एंगल यहां पर अब मैंने आपको बताए पावर x फिर उसका भी अलग से निकलेगा तो उसका अलग से हमने डिवाइबर डीएक्स करा तो यहाँ पर कोसी की पावर एक्स क्या आएगा कोस का क्या आता है इसको देखो ना समझो कि यह कोस थीटा है तो कोस थीटा क्या होता है साइन थीटा वो भी माइनस का तो माइनस क d by dx of e to the power x, तो इस तरीके से, minus sine e to the power x, और cos e to the power x, sine by cos क्या हो जाता है, 10 e to the power x हो जाएगा, sine by cos होता है, और e to the power x का e to the power x ही रहेगा, minus का minus आ गया, तो यह पूरे का derivative निकल के आ गया, minus e to the power x into 10 e to the power x, तो simple कुछ भी नहीं हुआ, 1 upon x, फिर e to the power x का निकाला, तो वही करना है हमको, follow sub का dy by dx, करना है question number 6 पे भी नजर लो लगे हाथो यहाँ पर अब आप यहाँ पर भी यही चीज होई है सवाल क्या था एक की पावर एक्स प्लस एक की पावर एक्स स्क्वेर इस तरीके तो चल रहा है प्लस एक की पावर एक्स की पावर फाइव तो इस तरीके से हमने पहले सवाल को पूरा लिखा एकी पावर तो सब का मैंने कर दिया, simple as that, कैसे, e की power x का e की power x रहेगा, ठीक है जी, e की power x का square का e की power x का square रहेगा, लेकिन x की square का भी तो होगा न, तो वो 2x आ गया, इसके साथ में यहाँ पर लिख दिया, अब e की power x cube का e की power x cube रहेगा, लेकिन x का cube का तो होगा न, 3x square, तो वो इसके साथ multiply में आ गया, ऐसे e की power x का 4 का e की power x की power 4 रहा, बस 4x का, मतलब x की power 4 का करा, 4x cube हो गया, plus का plus लगाया, e की power x की power 5 यही रहे, रहेगा और फिर एक्स की पावर फाइड का गराइब एक्स की पावर फोर आ गया तो इस तरह सारे एक पावर वाले सेम रहे बस उनकी जो पावर का था अलग से वह हमने एक्स्ट्रा में किया है आप यह जितने आ गया इसको हमने थोड़ा मोडिफाइड करके फाइड स्क्वेयर जो था वह मैंने पहले लिख दिया फाइड एक्स फाइड की पावर फोर ठीक है फाइड एक्स की पावर फोर जिखा जाएगा तो इसको मैं ठीक कर देता हूं तो इस तरीके से यह पूरा का पूरा आपका answer जो है वो हो चुका है ये पूरा लंबा इसका answer आएगा all right तो चीजें वो ही हो रही है जो चीजें मैंने आपको सिखाई है सारी चीजों का हम यहाँ पर application कर रहे हैं हर एक सवाल में आईए फटा फट से इसके बाकी के सवाल देखते हैं धुआ कर देंगे सबको कोशिश नुमर 789 यहाँ पर देखते हैं तो सवाल लंबा 7 छोटा सा सवाल है लेकिन थोड़ा सा यहाँ पर ध्यान देने की बात है क्यूंकि यह सवाल को मैं important बोल सकता हूँ क्यूंकि वीके रूट के अंदर इकी पावर x का power जो इकी पावर जो x है वो वो भी under root का x है, तो वो ही आपको लिखना है, सबसे पहले derivative with respect to x उसके बाद आप dy by dx के इसको equal रखेंगे इस तरीके से, dy by dx और आप इसका differentiation करेंगे, dy by dx of, किसका under root में e की power root x का अब कैसे इसको आप कर सकते हैं, वो समझे, देखिए, आप इसको ऐसे यह होता है तो इसको भी आपको इसी तरीके से लिखना है तो क्या आएगा इसका आ जाएगा differentiation 1 by 2 root x और x के जाएगा क्या है यह सारा का सारा जो की है e की power root x इसको मैंने इस तरीके से देखके इसका integration निकाला अब हमने root को तो solve कर लिया अब यह जो अंदर e की power root x है इस लेते हैं देखिए वन अपन नीचे है टू और अंडर रूट में है इसकी पावर रूट एक्स अब इसकी पावर रूट एक्स यह वाला है एक्सपोनेंश वाला है तो इसका तो डेरिवेटिव कुछ भी नहीं होगा एस टीज रहेगा तो इसका तो यह का भी आ जाएगा चलो जी अब इसकी पावर का भी निकालेंगे तो डीवाइड एक्स ऑफ रूट एक्स यह हो गया इस तरीके से root x और उसके नीचे है 2 और under root में है e की power under root x और यहाँ पर इसका क्या होता है 1 by 2 root x होता है अब इसको लिख दीजिए अब यहाँ पर मैं multiply करूँगा तो उपर आपका हो जाएगा e की power under root x एक दो यह है तो यह हो जाएगा 4 और root x है बाहर अलग से और एक root के अं देंगे तो भी आपका ये answer माना जाएगा otherwise इसमें भी root है इसमें भी root है तो इस x को भी आप अंदर धकेल सकते हैं अंदर पहुँजा सकते हैं तो एक साथ ये e की power root x और x एक साथ अंदर चले आएंगे इसको आप ऐसे भी लिख सकते हैं वो भी आपका answer सही होगा तो ये हो गया option number 7 ध्यान से इसको समझ लेना चलिए जी 8 में की बात कर लेते हैं log x मतलब log का भी log x तो वैया simple है आपको पता है कि d by dx of log x क्या होता है, log x होता है, 1 by x, मतलब log के साथ जो भी लिखा हुआ है, उसको बटे में लिख देना है, तो उसको आप बटे में लिख देंगे, log के साथ भी log x लिखा हुआ है, तो यह आजाएगा आपका 1 upon log x, यह बात समझ में आ रही है न, log x का differentiation होता है, 1 by x, ठीक है, मतलब लोग के साथ जो भी लिखा हुआ है वो उसका एक बटा, अब यहाँ पर लोग के साथ भी लोग X लिखा हुआ है, इसलिए 1 अपॉन लोग X, मतलब इसके साथ मारा लोग X ही नीचे आ गया, फिर आप इस वाले, जो अलक्सिस का यह एंगल है, इसका भी तो नि तो यहाँ पर यह हो जाएगा आपका 1 upon log x और इस वाले log x का क्या हैगा 1 upon x simple है x का निकालेंगे 1 होगा तो उसको लिखने की ज़रूरत नहीं है तो उपर आगे यहाँ पे 1 और नीचे आगे x log x खतम सवाल यही था बस इतना साइट है इसमें dy by dx लिखते हो चलना derivative with respect to x भी ल formula जी हाँ u upon v वाला formula आपको लगाना है तो formula क्या कहता है formula आपका एक ताए उपर वाला नीचे जो denominator है मतलब वो as it is और उपर वाले का derivative उपर क्या है cos x है cos x का sin x हो जाएगा ठीक है जी और minus फिर उपर वाला as it is और नीचे वाले का derivative नीचे क्या है आपका log x है log x का 1x हो जाएगा मैं यहाँ पर का differentiation कर दिया है formula के according और इसके नीचे क्या आता है इस पूरे के नीचे वाले का square भी आता है जो कि मैंने यहाँ पर लिख दिया है चलिए अगली स्टेप में बढ़ते हैं क्या है इसके बटे में x है तो हमें क्या करना पड़ेगा यहाँ पर lcm लेना पड़ेगा इसके बटे में कुछ भी consider करेंगे तो यहाँ पर वो one consider तो minus में पहले लगा दूँगा और यहाँ पे sin x लिख दूँगा इधर हमारे यहाँ पे रह जाएगा cos x into और क्या रह जाएगा इसकी multiply यहाँ होगी बस यह रह जाएगा अब अब क्या अब इस पूरे की बटा और नीचे है आपका log x का whole square अब हम क्या कर सकते हैं सवाल को आसान करने के लिए हम यह कर सकते हैं कि यह जो x है denominator में जुड़ जाएगा हो जाएगी तो हम क्या करेंगे हम अगली step में यही चीज कर लेंगे यहाँ पर क्या कर लेंगे log x sin x minus का cos x और upon में आ जाएगा यह x नीचे तो x और log x का whole square यह आपका आ गया अब कुछ और इसमें कुछ कर सकते हैं क्या कुछ common वगेरा ले सकते हैं छोड़ दो यही पर इसका जो है यह answer आ जाएगा हाँ अगर यहाँ पर x होता तो x से x हम काट सकते थे बट वो भी मुझे नहीं दिखाई दे रहा है तो यही पर इसको छोड़ देंगे यही इसका answer हो जाएगा तो अब दसमा सवाल जो last इसका exercise का है वो आप try करना बहुत आसाने यहाँ पर आपको लगे हाथो कितने सारे सवाल जो हैं वो करवा दियें आपके लिए ही यह सारी की सारी इन सभी सवालों को एक बार आप भी कुछ से जो है वो note करना, इनको लिखना, इनको बनाने की कोशिश करना, आप बनाएंगे तो और अच्छी बात आपके लिए हो जाएगी, तो यहाँ पर comment करके जरूर बताएं कैसा आपको लगा, कोई भी सुझाओ, कोई भी चीज आपको