Cours sur les fonctions du second degré

Introduction

• Revue des éléments importants des fonctions du second degré.
• Objectifs : définition, forme canonique, variations et représentations graphiques.
• Importance de l'entraînement avec des exercices pour préparer un contrôle ou un examen.

Définition d'une fonction du second degré

• Appelée également :
  • Fonction polynôme de degré 2
  • Fonction trinôme
• Forme générale :
  • f(x) = ax² + bx + c
• Monômes :
  • ax² (monôme de degré 2)
  • bx (monôme de degré 1)
  • c (monôme de degré 0)
• Condition :
  • a est non nul (sinon c'est du premier degré).
  • b et c peuvent prendre n'importe quelle valeur réelle.

Exemples de fonctions du second degré

• F = 3x²
• G = 1,5x²
• H = -2x²
• K (forme factorisée) : peut être développé pour trouver x²
• M = 5x - 3 (fonction du premier degré)
• N = 3x² + 5x^4 (degré 4)

Forme canonique

• Écriture d'un polynôme du second degré sous une forme définie :
  • f(x) = a(x - alpha)² + beta
• Alpha et beta sont des réels avec un rôle important.
• Conversion entre formes :
  • Exemple : f(x) = 2x² - 20x + 10 en forme canonique : f(x) = 2(x - 5)² - 40.

Variations d'une fonction du second degré

• Représentation graphique d'une parabole :
  • Deux types : branches vers le haut (minimum) ou vers le bas (maximum)
• Propriétés importantes :
  • A positif : minimum atteint en x = alpha, valeur = beta.
  • A négatif : maximum atteint en x = alpha, valeur = beta.
• Exemple : pour f(x) = 2(x - 5)² - 40
  • Minimum en (5, -40).

Représentation graphique

• Utilisation des informations pour dessiner la parabole.
  • Minimum pour A positif : courbe souriante.
  • Maximum pour A négatif : courbe triste.

Formule pour alpha

• Alpha peut être calculé :
  • alpha = -b / (2a)
• Sommet de la parabole :
  • Coordonnées : (alpha, beta)
  • Axe de symétrie : x = -b / (2a).

Conclusion

• Importance de pratiquer avec des exercices pour maîtriser le sujet.