Bonjour, dans cette vidéo je te propose de revoir tout le cours sur les fonctions du second degré. L'objet de cette séquence est de te rappeler et de t'expliquer les éléments les plus importants de ce chapitre. Plus précisément, on commencera par définir une fonction du second degré, ensuite on verra ce qui s'appelle la forme canonique et on finira par les variations et les représentations graphiques. des fonctions du second degré. Pour préparer un contrôle ou même un examen, ceci ne suffira évidemment pas, il te faudra encore t'entraîner en faisant de nombreux exercices.
Pour le cours, c'est parti ! Commençons déjà par définir une fonction du second degré. Qu'est-ce que c'est ?
Comment on les reconnaît ? Alors, ce qu'il faut savoir, c'est qu'elles portent plusieurs petits noms. On peut également les appeler fonctions polynômes de degré 2 ou fonctions polynômes du second degré.
On peut également les appeler fonctions trinômes, on va tout de suite comprendre pourquoi. Et on peut même les appeler, tout court, trinômes. C'est ce qu'il y a de plus simple, quand je parle d'un trinôme, ça veut dire que j'ai introduit une fonction du second degré.
Alors de façon générale, une fonction du second degré s'écrit sous la forme f de x égale ax² plus bx plus c. Trinôme, tri, trois, trois, monôme. Un monôme c'est quoi ?
C'est quelque chose qui est du type ax². s'en est un. Mais BX, s'en est un également. Et C, s'en est un également.
Donc en fait, j'ai ces trois termes, AX², BX et C, sont trois monomes. Du coup, trois monomes, ça fait un trinôme. C'est pour ça qu'on l'appelle également trinôme. Alors, second degré, pourquoi second degré ?
Eh bien, tout simplement, parce qu'on a un terme de degré 2. C'est le AX². C'est pour ça que ce A, il doit être non nul. Je peux mettre n'importe quel réel Pour A, je peux donner n'importe quel réel, mais pas 0. Sinon, ça deviendra une fonction du premier degré. On va le voir tout de suite avec les exemples qu'on va traiter. B et C peuvent prendre n'importe quelle valeur réelle, même 0. Alors justement, voici quelques exemples.
Les trois premiers, F, G et H, sont tous les trois des trinomes, des fonctions du second degré. On le reconnaît puisqu'on a un terme en x². 3x² pour F. 1,5 de x² pour g, et moins 2x², c'est juste écrit en deuxième position, pour h.
Donc ça, ce sont des fonctions du second degré. k, également, est une fonction du second degré, mais sous sa forme factorisée. Tout simplement parce que si je développais cette expression, il y aurait un moment où je ferais x multiplié par 2x, ce qui me donnerait 2x², ce qui ferait apparaître un monome du second degré. Donc...
On a là bien en présence d'une fonction du second degré. M. Alors M, non.
M, c'est une fonction du premier degré. Il n'y a pas de terme avec du x². J'ai 5x moins 3, c'est une fonction affine, on connaît bien. Et N. Alors N, j'ai effectivement un terme du second degré, 3x². Mais j'ai aussi un terme du troisième degré.
Et même d'ailleurs un terme du quatrième degré, 5x puissance 4. Ce qui signifie que ceci, ça s'appelle une fonction polynôme de degré 4. Alors parlons maintenant de ce qui s'appelle la forme canonique d'un polynôme du second degré. Qu'est-ce que c'est ? C'est tout simplement une façon d'écrire un polynôme du second degré.
Une façon bien définie pour présenter. Et cette forme-là, on va le voir, peut avoir quelques avantages. Jusque-là, on connaît seulement...
on a vu seulement deux formes. On a vu la forme développée, ax² plus bx plus c, c'est le cas de f, g et h qui sont encore affichés. Et on a vu une forme dite factorisée, on en a parlé, c'est le cas justement de la fonction k, qui est donc exprimée sous sa forme factorisée.
Et il y a une autre façon d'exprimer une fonction polynôme du second degré, c'est la forme canonique qui est présentée ici, qui fait un peu peur parce qu'il y a là beaucoup de paramètres. Et d'ailleurs, ce n'est pas toujours simple de l'exprimer sous sa forme canonique. C'est un exercice qui est relativement difficile, mais c'est une forme qui est très appréciée quand on l'a.
Alors, on nous dit qu'un polynôme est sous sa forme canonique lorsqu'il est écrit f de x égale à facteur de x moins alpha au carré plus bêta. Alors, alpha et bêta sont deux nombres réels qui, on va le voir, jouent un rôle très particulier dans la suite. Je ne vais pas expliquer dans cette vidéo comment on passe de la forme développée à la forme canonique, ni dans l'autre sens. Ce n'est pas l'objet de la vidéo. Tu trouveras plein d'exemples dans la playlist qui est présentée en lien ici. Là, je vais juste présenter les formes.
Il faut savoir les distinguer et les reconnaître. Alors, voilà quand même un petit exemple d'une fonction f d'abord donnée sous sa forme développée. f de x égale à 2x² moins 20x plus 10. On reconnaît bien là une forme du type ax² plus bx plus c, avec là a qui est égal à 2, b qui est égal à moins 20 et c qui est égal à 10. Alors cette fonction-là peut s'écrire sous la forme canonique.
Alors je vais la donner, c'est gratuit, c'est celle-ci. f de x égale à 2. facteur de x moins 5 au carré moins 40. On reconnaît bien quelque chose qui est sous la forme a facteur de x moins a au carré plus bêta. Alors, il y a déjà quelque chose qui est intéressant, c'est le a. Le a, c'est le même ici.
C'est-à-dire que le a que j'aurai en facteur de mon monôme en x carré, je le retrouve ici en facteur du carré. C'est normal quelque part parce que là j'ai x au carré, multiplié par 2, ça va me donner 2x au carré. Donc on retrouve bien notre... 2x².
Voilà, alors du coup, si on s'en réfère à la formule, ça voudrait dire que dans ce cas-là, α serait égal à 5 et β serait égal à moins 40. Pour α et β, il n'y a pas de relation directe avec A, B ou C. On va voir après qu'alpha, il y a quand même moyen de l'obtenir à l'aide des coefficients A, B ou C. Pour β, alors là, non.
En réalité, la partie... qui consiste à passer de la fonction sous sa forme développée à la fonction sous sa forme canonique, c'est là la partie difficile. Dans l'autre sens, c'est assez facile. Il suffit juste ici de développer x moins 5 au carré, ensuite de réduire, on retombe sur f de x.
Alors, on va poursuivre maintenant avec les variations d'une fonction polynôme du second degré. Et on va garder, on va se mettre de côté cette fonction, pour exemple, parce qu'on va continuer à travailler avec On va donc juste déplacer son expression. Voilà, j'ai juste mis les couleurs un peu ailleurs, puisqu'on va utiliser alpha et beta. Donc alpha vaut 5, et beta vaut moins 40. Alors attention, beta vaut moins 40, parce que la formule nous dit plus beta. Elle est encore ici, plus beta.
Ce qui voudrait dire ici qu'il faudrait considérer qu'on a plus moins 40. Ça signifie donc bien que beta est égal à moins 40. Donc on va s'intéresser maintenant à la représentation graphique d'une fonction. polynôme du second degré, et ensuite donc aux variations, enfin tout ça c'est lié. Alors ce qu'il faut voir, c'est que toutes les fonctions du second degré sans exception sont représentées par une courbe qui porte un nom et qui s'appelle une parabole.
Alors on en connaît une déjà de fonction du second degré, c'est la fonction carré. La fonction carré qui est représentée par une parabole qui a cette allure-là de sommet l'origine. Mais une parabole c'est quoi ? Une parabole c'est par exemple la courbe. qu'on trace lorsqu'on lance un objet.
Il est toujours vivant, je te rassure, c'était pour la bonne cause. Alors, si une fonction du second degré est représentée par une parabole, il y aura deux façons de la représenter. Soit dans ce sens-là, avec les branches qui sont tournées vers le haut, soit dans ce sens-là, avec les branches qui sont tournées vers le bas. Si les branches sont tournées vers le haut, Eh bien, ça voudra dire que la fonction admet un minimum. On voit bien, là, ça descend, on atteint une valeur minimum, et puis après, ça remonte.
À l'inverse, si les branches sont tournées vers le bas, notre fonction atteindra un maximum. Ça monte, ça monte, ça monte, ça atteint un maximum, puis ensuite, ça redescend. Eh bien, tout est dit dans cette propriété.
Il y a beaucoup d'informations, mais elle est terriblement importante, cette propriété. Elle nous dit que si on a une fonction exprimée sous sa forme canonique, A, facteur de x moins alpha au carré plus bêta. Eh bien, dans le cas où A est positif, la fonction f admet un minimum.
On sait où il est atteint. Il est atteint en alpha. Et on connaît la valeur de ce minimum.
Il est égal à bêta. C'est quand même pas rien, ça. Alors qu'à l'inverse, si A est négatif, eh bien, f admet un maximum.
Maximum pour x égale alpha. Et ce maximum est égal à bêta. Qu'est-ce que ça signifie pour notre fonction ici ?
Eh bien, là, on a un a qui est positif. a est égal à 2. Donc, ma fonction f va admettre un minimum. J'aurai donc les branches qui vont être tournées vers le haut.
Et je sais où est atteint ce minimum. Il est atteint en 5. Et je sais également combien vaut ce minimum. Ce minimum vaut moins 40. Mais ça, c'est terriblement important.
Parce que grâce à ça, grâce à toutes ces informations, sa représentation graphique est une parabole. Le minimum est atteint pour x égale 5. il vaut moins 40, je peux déjà avoir une idée de la courbe représentative de ma fonction f. Ça va donner ceci. Minimum atteint pour x égale à 5, et ce minimum vaut moins 40. Donc là, ici, j'ai la position de mon minimum. Forcément, ce minimum a pour coordonnée 5 moins 40. Après, qu'est-ce que je sais ?
Je sais que c'est un minimum, et la courbe est une parabole. Donc, qu'est-ce qu'il suffit de faire ? Partant de ce minimum, il me suffit de construire deux branches qui vont vers le haut.
Forcément, il faut que ça soit un minimum. Et ça donne quelque chose comme ça. Alors, bien évidemment, tout ça c'est très approximatif, mais quand même, grâce à la forme canonique, on arrive déjà à avoir une position de la courbe et une allure de la courbe. Le A ici va nous dire que les branches sont tournées vers le haut, pour que ça soit un minimum. Le alpha et le beta...
va nous donner la position de la courbe avec ses branches tournées vers le haut. Alors du coup, un petit truc mnémotechnique pour retenir comment sont tournées les branches de la parabole. On a dit que lorsque A est positif, on a un minimum. Donc forcément, si on a un minimum, il faut bien que ça monte.
Donc ça veut dire que les branches sont tournées vers le haut. Donc ça fait comme ça un petit sourire. Quand on est positif, on sourit.
Donc on se rappellera... que lorsque A est positif, eh bien, on doit avoir une courbe en forme de sourire. Par contre, lorsque A est négatif, lorsqu'on est négatif, eh bien, c'est pas très positif, justement, on n'est pas très heureux. On a donc une bouche un peu triste qui nous rappelle ici qu'on a une parabole avec les branches tournées vers le bas.
D'ailleurs, si tu connais le jeu Angry Birds, tu connais forcément, ce sont des petits oiseaux qu'on balance comme ça et en les balançant... ils fabriquent une parabole. Une parabole avec les branches qui sont tournées vers le bas. Regarde un peu la tronche des oiseaux. Ils ne sont pas très contents.
Ils sont négatifs. Négatifs avec un A négatif, un coefficient A négatif. Et toutes les paraboles de nos petits oiseaux ont à chaque fois un coefficient A qui est négatif. Alors, j'avais dit tout à l'heure qu'il y avait possibilité de retrouver la valeur de α à l'aide des coefficients A, B et C.
Alors, plus précisément, c'est à l'aide des coefficients. A et B. Et donc, si notre fonction f s'écrit sous la forme ax² plus bx plus c, on peut retrouver là où l'extrémum est atteint, donc le maximum, le minimum, c'est-à-dire notre alpha. Et ce alpha vaut moins b sur 2a.
Donc ça, c'est une formule qu'on peut retenir et qui est très pratique. Du coup, si je pars d'un A positif, j'aurai donc un sourire avec la parabole qui a les branches tournées vers le haut. J'aurai donc une fonction qui sera d'abord décroissante avec donc un minimum qui est atteint en moins b sur 2a, et sa valeur c'est f de moins b sur 2a, c'est-à-dire notre bêta.
Et ensuite, notre fonction est croissante jusqu'à plus l'infini. A l'inverse, si j'ai un a négatif, j'ai donc les branches qui sont tournées vers le bas en forme de bouche triste, eh bien on retrouve à peu près le même tableau de variation. Le maximum cette fois-ci est atteint en moins b sur 2a, et vaut f de moins b sur 2a.
On pourra retenir que le point M, qui a pour coordonnée moins b sur 2a, f de moins b sur 2a, donc alpha, beta, c'est notre alpha et notre beta, s'appelle le sommet de la parabole. Il correspond donc au maximum ou au minimum. Et on pourra retenir également que la parabole possède un axe de symétrie. Et cet axe de symétrie a tout simplement pour équation x égale moins b sur 2a, c'est-à-dire l'abscisse de notre extrémeur. Voilà, cette séquence est terminée.
N'oublie pas de faire des exercices.