חשבון אינפיניטסימלי 1 למים

פתיח

• קורס ראשון בחשבון אינפיניטסימלי.
• מבוא על חשיבות וייחודיות הקורס.

מושגים בסיסיים

• משפטים במתמטיקה: אמירות שניתן להוכיח אותן כנכונות.
• הוכחה: תהליך של טיעונים לוגיים שמבססים נכונות משפט.

משפט פרמה

• מיוחס לפיירדה פרמה.
• מתאר את הקשר בין נקודת מקסימום/מינימום ונגזרת בתנאים מסוימים.
• "תהי f של x פונקציה בקטע a, b. אם x0 היא נקודת מקסימום או מינימום שבה f גזירה, אזי f' ב-x0 שווה ל-0".

ניתוח המושגים

• פונקציה: מיפוי ממספרים x ל-y.
• קטע פתוח: כל המספרים בין A ל-B לא כולל.
• קטע סגור: כולל הקצוות.
• מקסימום/מינימום: הערך הגבוה/נמוך ביותר שהפונקציה מקבלת בנקודה מסוימת.
• גזירה: פונקציה חלקה ללא שפיצים.

משפט רול

• מיוחס לרול, מתמטיקאי צרפתי.
• "אם f רציפה בקטע סגור וגזירה בקטע פתוח, ו-f(a) = f(b), אז קיימת c כך ש-f'(c) = 0".

משפט לגרנג'

• מיוחס ללגרנש (איטלקי במקור).
• "תהי f רציפה וגזירה, אז קיימת נקודה C כך ש-f'(C) = (f(b) - f(a))/(b-a)".
• הכללה של משפט רול.

משפט קושי

• שתי פונקציות F ו-G, רציפות וגזירות.
• "קיימת C כך ש-f'(C)/g'(C) = (f(b) - f(a))/(g(b) - g(a))".
• G נגזרת תמיד שונה מאפס.

ההיסטוריה של המתמטיקה

• פיירדה פרמה: 1601-1665
• רול: 1652-1719
• לגרנש: 1736-1813
• קושי: 1789-1857

התפתחות רעיונית

• מאינטואיציה לאינפיניטסימלים ועד לגבולות במושגי קושי וויירשטרס.
• חשיבות מושג הגבול להתקדמות מהירה של המתמטיקה.
• הסתמכות על גבולות להגדיר מושגי רציפות וגזירות.

מושג הגבול

• גבול: התקרבות פונקציה לערך מסוים כאשר המשתנה מתקרב לנקודה.
• הגדרה פורמלית: "לכל ε>0 קיים δ>0 כך שאם 0<|x-a|<δ אז |f(x)-L|<ε".

הערות נוספות

• אנליזה לא סטנדרטית: פיתוח מתמטי מודרני של אינפיניטסימלים.
• חשיבות ההבנה הפורמלית בקורס זה גבוהה ביחס לקורסים אחרים.