בוקר טוב לכולם, ברוכים הבאים לקורס עם השם המאוד ארוך, חשבון אינפיניטיסימלי אחד מים. אז מה שאני רוצה להתחיל זה בעצם לספר לכם סיפור שיענה לשאלה מאיפה בא השם הארוך הזה. אז המילה חשבון היא לא כל כך ארוכה, בעיקר המילה אינפיניטיסימלי.
אחד מהם זה סתם שטויות של הטכניון, אחד לא, זה הקורס הראשון, מים זה סיפור ארוך. אז חשבון אינפיניטיסימלי. אני אכתוב כותרת.
אינפיניטסימלי. אינפיניטסימלי. אחד.
אז סיפור, זה באמת הולך להיות סיפור עם קצת פן היסטורי, ויהיו בו אולי מושגים שאתם עוד לא מכירים, ואולי סימונים קצת שאתם לא מכירים, ואנחנו פשוט נאסוף אותם תוך כדי. כל מה שאני הולך לספר לכם בשעה הקרובה, זה דברים שאנחנו נרחיב עליהם בהמשך הקורס. כלומר, אני לא מצפש את כל מה שאני אגיד עכשיו בעצם תדעו לעומק, אלא זה רק סיפור, אתם אפילו לא חייבים לכתוב. אז...
אני רוצה להתחיל במשפט. אז מה זה משפט? במתמטיקה יש אמירות שאנחנו מקבלים אותן כאמירות אמת, כדבר נכון, ולאמירות האלה קוראים משפטים.
משפטים זה לא דבר שהוא נכון כי אני אומר שהוא נכון ואני המורה, אלא זה דבר שהוא נכון. כי מוכיחים אותו וההוכחה מבוססת על מושגים שהגדרנו, דברים שאנחנו מכירים, אוקיי? לפעמים ההגדרות הן מאוד מאוד אלמנטריות, כלומר 1, 2, 3, ככה סופרים תפוחים ובננות או הגדרות יותר מסובכות.
מההגדרות בונים את המשפטים דרך תהליך שנקרא הוכחה. הוכחה זה פשוט רצף של טעונים לוגיים, אמירות לוגיות, שאמורות לשכנע ללא עוררין לעולם שהטענה שנאמרה במשפט המשפט היא אמת צרופה ואין עליה עוררים. אז הנה המשפט הראשון. המשפט הזה, משפטים חשובים הרבה פעמים מיוחסים למתמטיקאים מסוימים. המשפט הזה מיוחס למתמטיקאי צרפתי מאוד מפורסם שקראו לו פיירדה פרמה.
האמת היא שהוא מאוד מאוד מפורסם לא בגלל המשפט הזה, בגלל משפט אחר שנקרא המשפט האחרון של פרמה שעליו אפילו היו סרטים וספרים. והוא מאוד מרתק, יש לו סיפור היסטורי מאוד מרתק, אבל זה לא המשפט הזה, זה משפט אחר, שגם נקרא משפט פרמה. אז הנה מה שהוא אומר. תהי f של x, פונקציה המוגדרת בקטע a, b.
אם סוגרה עם עגולים כאלה, תכף אני אסביר, כל מילה פה שלא ברורה אני אסביר. ותהי x0 נקודת מקסימום או מינימום שבה f, f זאת הפונקציה, גזירה. אזי, f, tag, ב-x0, שווה ל-0.
בואו נתחיל לפענח. אני מניח שגם העברית עצמה נראית פה קצת לא העברית שאנחנו מדברים ברחוב. למשל, יש פה את המילה הזאת, אזי.
זה לא במקרה שיש לה את היוד הזאת, זה מילה במתמטיקה. במתמטיקה לא אומרים אז, אומרים אזי, התרגות היא לה. בחיים אני לא מדבר עם אנשים ואומר להם, עזי, הלכתי למכולת. אבל במתמטיקה במקום אז אומרים עזי, זה נשמע יותר טוב. אוקיי, בואו נתחיל.
אז, tf של x פונקציה, מה זה פונקציה? אתם יודעים בגדול, אנחנו נדעים. נדבר בהרחבה על פונקציות ונגדיר במדויק מהי פונקציה ונחקור תכונות של פונקציות.
אבל כרגע אני מסתמך על הידע הקודם שלכם. פונקציה זה משהו שלוקח איקסים ומוציא ויים, נכון? זה איזושהי מכונת כלת פלט כזאת. ואנחנו גם יודעים לצייר גרפים של פונקציות, נכון?
כולם יודעים איך נראה איקס בריבוע ואיקס בשלישית, נכון? מכירים קצת? כולם.
לא לפחד לשאול לי משהו לא ברור. אז tf של איקס פונקציה, המוגבלת. בוגדרת בכ...
קטע AB. אז מה זה אומר קטע AB? אני לא... הפונקציה הזאת יש לה איזשהו תחום הגדרה, זה המילה הזאת מוגדרת, ואני מניח על הפונקציה הזאת שתחום ההגדרה שלה הוא איזשהו קטע, קטע זה כל המספרים בין מה שרשום בקצוות, אוקיי?
אז אם A הוא למשל 2 ו-B הוא למשל 6, אז זה כל המספרים בין 2 ל-6, זה הקטע AB, אוקיי? יש סוגים שונים של קטעים, אנחנו גם על זה נרחיב בהמשך. כששמים סוגריים עגולים כאלה, הכוונה שזה כל המספרים בין 2 ל-6, או בין A ל-B באופן כללי, לא כולל הקצוות. אוקיי? אולי נביא איזה צבע וקצת נשרבט.
אז הקטע AB, מה שכתוב פה, קטע AB, AB זה למשל, הנה ציר המספרים, הנה A והנה B, והקטע AB זה כל המספרים X שבין A לבין B. זה הקטע AB, סוגריים עגולות, לא כולל הקצוות, לכן כתבתי קטן ממש פה. בסדר? קוראים לזה אגב, מישהו יודע איך קוראים לקטע עם סוגריים עגולים כאלה?
נכון, קטע פתוח, ככה קוראים לזה. יש גם קטע סגור וזה תכף נראה. אז הפונקטיש לנו מוגדרת באיזשהו תחום, זה תחום ההגדרה שלו.
ותהי x0 נקודו. נקודת מקסימום או מינימום. אז זה מילים כמשמעותה. מקסימום זה אומר שהפונקציה מקבלת בנקודה הזאת את הערך הכי גבוה, ומינימום אומר שהיא מקבלת בנקודה הזאת את הערך הכי נמוך.
בסדר? זה מקסימום או מינימום. אפשר גם את זה טיפה לפרמל אולי. מקסימום או מינימום.
אז בואו נכתוב למשל מה זה מקסימום. אז מקסימום אומר, אני מנסה טיפה להכניס רובד פורמלי, אז מה זה אומר ש-x0 היא נקודת מקסימום? זה אומר שערך הפונקציה ב-x0 גדול או שווה מערך הפונקציה ב-x לכל x אחר. האם אתם מסכימים שזה אומר שה-x0 הזאת היא נקודת מקסימום?
ערך הפונקציה הבא הוא הכי גדול. בסדר? אז זה מקסימום ומינימום זה ההפך.
איך אומרים מקסימום או מינימום במילה אחת? קיצון, נכון? אז אפשר היה להגיד נקודת קיצון. בסדר?
כולה אמיתית? אז רק צריך לכתוב f של x0 גדול שווה f של x, וכדאי להוסיף פה את המילה לכל x. וללכל יש גם סימן במתמטיקה, אז אם נוסיף אותו.
זה מין A הפוכה כזאת, נתקלתם בזה פעם. זה אומר לכל, לכל X, F של X0 גדול מ-F של X, גדול או שווה. בסדר?
אז הסימן הזאת, ה-A הלועזית ההפוכה, זה היה סימן לכל. בסדר? אוקיי, אז אני מתחיל לקרוא מההתחלה, כי אנחנו מתעכבים.
tf פונקציה, יודעים, מוגדרת באיזשהו קטע, זה תחום ההגדרה שלה, וx0 היא נקודת מקסימום עומדה. מינימום שבה F גזירה. זאת מילה של מיליון דולר.
אנחנו נבלה הרבה שבועות בקורס הזה להבין את המילה הזאת גזירה ומה היא אומרת. אבל את האינטואיציה המאוד בסיסית למילה גזירה אפשר להבין ממש בשרבות. את האינטואיציה. אז מה האינטואיציה למילה גזירה? אתם יודעים איך נראה גרף של פונקציה.
להגיד על פונקציה שהיא גזירה זה להגיד שהגרף הוא חלק. שאין בו שפיצים, שאין כאלה דברים, טוינג טוינג, אוקיי? אם יש שפיצים, אז הפונקציה לא גזירה בשפיץ. ואם הגרף הוא חלק, אז הפונקציה גזירה.
בסדר? האם ברורה האינטואיציה? הרבה פעמים משתמשים אפילו בצורה... די רשמית, במקום במילה גזירה, במילה חלקה, פונקציה חלקה.
אוקיי? אז גזירה, מילה שנתעכב עליה הרבה מאוד בהמשך בלפרמל, בלהבין בדיוק מה אומר המושג, אבל כרגע בשבילנו אין... אין שפיצים בגרף.
כל מה שכתוב עד פה, שזה 90% מהמשפט הזה, זה הנחות. זה מתחיל במילה תהי. אז כל זה אני מניח שזה הסיטואציה שבה אני נמצא.
ועכשיו מה אומר המשפט? המשפט אומר מה שמתחיל אחרי האזי הארכאי הזה. אז מה אומר המשפט? בנקודה הזאת x0, זאת נקודת הקיצון, המקסימום והמינימום.
מה זה אף-טאג? הנגזרת, נכון? וגם נגזרת קשור מאוד למילה גזירה, ואנחנו נדבר על הקשר הזה ונגדיר אותו במדויק.
נגזרת בנקודה הזאת היא 0. מה המשמעות האינטואיטיבית של נגזרת? מישהו יודע? שיפוע של מה? בדיוק, יפה מאוד. שיפוע המשיק.
נגזרת זה שיפוע המשיק. אז אולי נכתוב את זה. f-tag זה הנגזרת, שזה שווה.
זה שיפוע המשיק לגרף בנקודה הזאת. שוב, זו אינטואיציה, את כל האינטואיציות ואת כל המונחים האלה אנחנו נבנה במהלך הקורס. שזה אנחנו פה. אז אני לא הולך להוכיח את המשפט הזה, את זה אנחנו נעשה בשלב יותר מתקדם בקורס, אחרי שיהיו לנו את ההגדרות המדויקות של המונחים האלה. אני רוצה לשכנע אתכם בשרבות כליל שהמשפט הזה נכון.
שבעצם המשפט הזה נכון, בלי הוכחה. ולמה הוא נכון? אז בואו נסתכל על הקטע AB, שבו הפונקציה הזאת מוגדרת.
הנה. הקטע הזה, ובואו נצייר לנו את הגרף שלה, איזשהו שרבות של הגרף, אז מה יש לי פה? יש לי פונקציה גזירה כלומר אני צריך לצייר משהו חלק בלי שפיצים, נכון? ואני צריך לצייר איזושהי נקודת מקסימום או מינימום אז בואו נצייר משהו כזה למשל ככה הנה, אז פה כבקוף זה משהו שאני רק עושה בשביל לדייק, זה לא חלק מהציור עצמו. אז זה הגרף של f.
האמת שפה יש עוד ציר, נכון? יש פה איפשהו ציר y. הנה.
זה הגרף של f. זאת הנקודה x0. זו נקודת הקיצון.
ומה שיפוע המשיק לגרף בנקודה x0? בנקודות האלה המשיק נראה ככה נכון? בנקודות האלה המשיק נראה ככה ובקיצון עצמו המשיק אופקי מקביל הציר אופקי מסכימים?
אז בנקודת קיצון עצמה המשיק אופקי זה המשיק וזה בדיוק האמירה ששיפוע המשיק הוא אפס שיפוע אפס זה אומר משיק אופקי האם אתם מסכימים שהמשפט הזה וואלה נכון? כולם? שכנעתי? כן. מהם המינימום בשתי הקצוות?
שתי הקצוות לא כלולות בתחום ההגדרה, כי זה קטע פתוח. זה שאלה עדינה, זאת התשובה שהיא גם עדינה, אנחנו נדבר על זה בהרחבה. אנחנו נבין מה קורה גם בקצוות ונרחיב את הדברים האלה. האם אתם מסכימים? האם אתם מכירים אגב את המשפט הזה?
אני טוען שכולכם מכירים את המשפט הזה רק לא ידעתם שקוראים לו משפט פרמה ובטח לא כתבתם אותו ככה זה המשפט שאומר כשהם מחפשים מינימום מקסימום של פונקציה הגוזרים משווים לאפס נכון? ככה אתם מוצאים נקודות קיצון של פונקציה. מאז ימי בטח כיתה, מתי פעם ראשונה חיפשתם מנהום הקסומו?
כיתה ב'נכון? גוזרים משווים לאפס, זה מין כזה, גוזרים משווים לאפס. וסומרים את זה, נכון?
אוקיי? למה? בגלל המשפט הזה.
לגזור ולהשוות לאפס זה בדיוק לחפש את הנקודות שהן מקיימות את משפט פרמה. ולכן הן נקודות שפוטנציאליות להיות נקודות מינימום. ומקסימום. בסדר?
אז למרות שזה משפט סופר חשוב, ומכיתה ב'סיכמנו שאתם משתמשים בו, הוא לא המשפט הכי מפורסם של פרמה, אבל זה סיפור אחר. האם ברור הסיפור הקטן הזה? אוקיי? אז הנה עוד סיפור. עוד משפט.
אז למשפט הבא קוראים משפט רול. גם הוא על שם מתמטיקאי צרפתי, לכן צריך לקרוא את זה רול. ככה קוראים בצרפתית, רול. מתמטיקאי צרפתי, והוא אומר את הדבר הבא. תהי f פונקציה רציפה, תכף נגיד מה זה אומר, בקטע AB, תשימו לב שעכשיו הסוגריים הם סוגריים מרובעות כאלה, תכף נבהיר, בקטע AB, וגזירה בקטע AB, כמו קודם, פתוח.
ונניח, כי, ערך הפונקציה ב-a, f של a שווה לערך הפונקציה ב-b. f של a שווה f של b. אזי, זאת המילה החביבה הזאת, אזי קיימת c, איזושהי נקודה בין a לבין b, קיימת c בין a ל-b, כך שאפתג ב-c שווה ל-0. זה משפט רול. בואו קודם כל נעשה וישט, נפענח אותו מילה מילה, ואחרי זה שוב נסביר למה הוא בעצם נכון, למה משפט רול נכון.
אז פונקציה רציפה, זה המילה הראשונה פה החדשה. זה גם מושג שאולי אתם מכירים, זה שוב מושג שאנחנו נצטרך להגדיר אותו במדויק ולהתעכב עליו, אבל מבחינה אינטואיטיבית הוא שוב ברור. פונקציה רציפה אינטואיטיבית זה פונקציה שאפשר לצייר אותה בלי להרים את ה...
פוש מהלוח או את העת מהדף או את האצבע מהאוויר. האם ברור? אז למשל, פונקציה לא רציפה זה פונקציה שנראית נגיד ככה, ואז פתאום יש וויט, והיא ממשיכה פה.
זו פונקציה לא רציפה. רציפה זה שאני יכול לצייר אותה בלי להרים את האיפרון. האם ברור?
כן. פונקציה רציפה זה פונקציה בלי הסימפטות פנחיות? לא.
המילה הסימפטות מגלמת בתוכה איזשהו סוג של אי-רציפות. אוקיי? אבל גם זאת למשל, גם זאת למשל, פונקציה לא רציפה. זה הגרף שלה.
אוקיי? אין לה סימפטוטות, נכון? אבל היא לא רציפה, כי פתאום היא פה, כדי להמשיך אותה פה, אני חייב להרים את התוש מהלוח. אוקיי? אז פונקציה רציפה זה פונקציה שאני יכול לצייר בלי להרים את התוש מהלוח.
אוקיי? זה נכון שאם יש הסימפטוטה הנחית, אז היא לא תהיה רציפה. אבל יכולות להיות אי רציפויות גם מסוגים אחרים.
בסדר? אוקיי. תודה.
אז האם כולם חיים בשלום עם המילה רציפה? בקטע a, b, a, b עם סוגריים מרובעים זה קטע שנקרא קטע סגור, נכון? וזה אומר כל ה-x'ים שהם בין a ל-b, אבל כולל את הקצוות. x קטן שווה b וגדול שווה a. אז זה כולל את הקצוות וזה נקרא קטע סגור בניגוד לקטע פתוח, שזה זה.
אוקיי? אז זה x בין a לב לא כולל a וb. בסדר?
אז אני דורש שהיא תהיה רציפה בקטע הסגור וגזירה, כלומר הגרף לא רק אני יכול לצייר אותו בלי להרים תטוש מהלוח, אלא הוא גם חלק, אין לו שפיצים, אז רציפה וגזירה, ואת הדרישת גזירות אני דורש על הקטע הפתוח, אלו נואנסים שחשובים כשמדברים לעומק על המיוחד. המשפט הזה, הם פחות חשובים לנו עכשיו ולא נתעכב עליהם. אוקיי?
מה שחשוב לנו זה הרעיון הכללי. למה דווקא רציפה בסגור וגזירה בפתוח? זה נראה כזה קצת מלאכותי. יש לזה חשיבות, אבל היא לא חשובה לנו כרגע. בסדר?
אז האם עד פה המושגים ברורים? למה A כ... אני מסמן את הקטע שבו היא מוגדרת ב-AB.
זה סימון. בסדר? אוקיי. ונניח כי, אני מניח שערכי הפונקציה בקצוות הם שווים. אוקיי?
אזי, קיימת איזושהי נקודה בקטע, נקודה בין A ל-B. שבה הנגזרת מתאפסת זוכרים מה זה הנגזרת? שיפוע המשיק אוקיי? אוקיי אז בואו נשרבט שוב את הציור פה ונבין למה זה נכון אז הנה מערכת הצירים הנה מערכת הצירים x, y, הנה נגיד הנקודה a, והנה הנקודה b, זה הקטע שבו הפונקציה מוגדרת ושם אנחנו חיים.
עכשיו אני צריך קודם כל לשתול אותה בקצוות, כלומר ערך הפונקציה ב-a חייב להיות שווה לערך הפונקציה ב-b. ועכשיו הפונקציה עצמה, אני צריך לצייר פה את הגרף, אולי נעשה את זה בכחול, אני צריך לצייר את הגרף כך שאני מתחיל ב-a, מסיים ב-b. בדרך לא מרים את התוש מהלוח כי היא רציפה נכון? ועושה את זה בקו חלק כזה בלי שפיצים כי היא גזירה מסכימים?
זו התמונה שהולכת עם המשפט הזה אז מה אני יכול לעשות? אני יכול למשל לעשות קו ישר זה אפשרות, זה פונקציה שמקיימת את זה. מסכימים? אם אני עושה קו ישר, מה יהיה f-tag בכל נקודה באמצע?
0. אם הגרף הוא קו ישר כזה, אז בכל נקודה באמצע f-tag היא 0, ולכן המשפט באמת מתקיים. מסכימים? זה המקרה המנוון, המקרה הפחות מעניין.
אוקיי? מקרה כללי, אם היא לא פונקציה קבועה, לזה קוראים פונקציה קבועה, אז איפשהו היא צריכה לעלות, או לרדת. אז אם היא נגיד עולה, נגיד עלתה, הנה עלתה, אבל תזכרו, אני צריך להגיע לפה. ואסור לי לקפוץ פתאום, כי היא רציפה. נכון?
ואסור לי לעשות שפיצים, אז אני צריך איפשהו, אולי עליתי אפילו עוד קצת, אבל איפשהו אני צריך לרדת לכיוונה יעד. נכון? ויכול להיות שאני ארד מתחת ל...
יצאה לי לא כל כך יפה נעשה קצת יותר מושקע איפשהו אני צריך לרדת יכול להיות שאני ארד אחרי זה גם מתחת ואז העלה אבל בסופו של דבר אני צריך על ידי איזשהו קו חלק כזה בלי להרים את התוש להגיע מפה לפה אז מה יצרתי בעל כורחי? אם עליתי ואז ירדתי, או ירדתי ואז עליתי, אז יש שם נקודות קיצור, נכון? ואז מה? איך אני סוגר את התיאון? יפה מאוד.
לפי המשפט הקודם, משפט פרמה, יצרתי פה נקודות קיצון, הנה אחת, בציור הזה הנה עוד אחת, אלה נקודות לדוגמה, נקודה הזאת, זאת נקודה כזאת, C, שהיא נקודת מקסימום, לפי המשפט הקודם, הנגזרת בה היא אפס. מסכימים? זה משפט רון. האם אתם מסכימים ש...
וואלה, כנראה המשפט הזה נכון. זה לא הוכח. זה לא הוכחה פורמלית מה שעשינו. אגב, למה זה לא הוכחה פורמלית?
למה? למה הציור הזה הוא לא הוכחה? כי מי אמר שהפונקציה נראית ככה?
אני ציירתי אותה כדי לשכנע אתכם, אבל אולי נראית אחרת. האם אני יודע לצייר את כל הפונקציות הרציפות והגזירות בעולם? אולי יכולים להיות דברים היסטוריים.
בשביל זה צריך לדעת איך בכלל מוגדרת במדויק פונקציה גזירה. אז זה, כל מה שאנחנו עושים עכשיו זה ברמת האינטואיציה. אינטואיציה זה דבר סופר חשוב במתמט. אבל הוא חייב את הרובד המשלים של הפרמול.
האם יש שאלות על משפט רול? האם אתם מסכימים שהאמירה הזאת נכונה? כולם? כן. על המשפט הקודם, פרמה, כן.
שהקיצון הוא בקצה הקטע את מתכוונת, אבל בדיוק בגלל זה אנחנו לוקחים פה קטע פתוח. פתוח זה לא כולל את הקצוות. אז להגיד אילו הגרף נגיד את מדמיינת מן גרף כזה שהמקסימום שלה הוא ב-B, אבל B לא בקטע. אז איפה המקסימום שלה?
אז תגידי המקסימום הוא כמעט ב-B. אבל מה זה כמעט ב-B? אוקיי?
אז זה שאלה מצוינת, כן? יש פה נקודות עדינות, זה דומה לשאלה שהוא שאל קודם, אבל אנחנו לא נתעכב על הנקודות העדינות האלה עכשיו, אנחנו נבין אותן לעומק בהמשיך, אוקיי? יש בכלל סיבה אחרת שאני... אני די חופר לכם עכשיו, נכון? מה זה כל המשפטים האלה שאני אומר, נבין בעומק בהמשך, נבין בעומק בהמשך, זה כבר נראה מתמטיקה מכובדת מאוד, מה שכתוב פה על הלוח, נכון?
בטח לא חשבתם שעל הרבע השעה הראשונה של הקורס, אני כבר... אוקיי? אולי נתחיל בלהזכיר מה זה מספרים טבעיים, מה זה מספרים שליליים, נכון?
בדרך כלל מצפים למשהו יותר עדין בהתחלה. אז יש פה עומק וזה שאלות מצוינות, אנחנו פשוט טיפה מתתאים את העומק הזה, אוקיי? עובדים ברובד אינטואיטיבי כי יש מטרה אחרת לגמרי לסיפור הזה, אוקיי? השאלות האלה לא יישארו ללא מענה. אנחנו נחזור למשפטים האלה ונעשה אותם לגמרי לגמרי כמו שצריך.
בסדר? אוקיי, אז פרמה, רול, כולם סגורים? משפט הבא. משפט.
קראוי על שם מתמטיקאי סורפתי, משמו לגרנש. לגרנג'יש פה איזה כזה נדמה לי, אם יש פה מישהו צרפתי בקהל שיודע לתקן אותי. אבל האמת היא זה בלוף, הבחור הזה נולד איטלקי וקראו לו לגרנג'יה ואז הוא עבר לצרפת.
עבר לצרפת ונעשה צרפתי מכובד על התמנים הזה מגדל אייפל, נכון? על מגדל אייפל, במסביב של המפלס הראשון יש שבעים או שבעים ושתיים, לא זוכר שבעים. שמות של הצורפתים הכי דגולים בהיסטוריה בתחומי המדעים וההנדסות. והוא אחד מהם, לגראנש, חשום על מגדל אייפל, שמו. יחד עם עוד כמה חבר'ה חשובים, כמו אולי שמעתם על קושי או על פוריה.
יש כמה מתמטיקאים שם. אז מה אומר משפט לגראנש? הוא מתחיל די דומה למשפט רול. תהי אפשרייקס.
רציפה בקטע AB וגזירה בקטע AB. כל זה אני לא אומר שוב, זה אותן הנחות כמו קודם. מה שאין זה תהנכה שהערכים בקצוות שווים.
הוא לא מניח את זה. וישר הוא עובר לעזאי. והזי שלו הוא, הזי קיימת נקודה C בין A ל-B, כך שאני גזרת ב-C, אתם כבר יכולים להיות בטוחים שאין שום סיבה בעולם שהיא תהיה אפס, נכון?
כי פונקציה למשל רציפה וגזירה, אם אני לא מניח כלום, יכולה למשל להיות פונקציה כזאת, נכון? רציפה וגזירה, סבבה. אין סיבה להניח שבאיזושהי נקודה שיפוע המשיק יהיה אפס.
נכון? מסכימים? אז אם היה כתוב פה, אזי קיימת נקודה שבה f'c שווה 0, זה היה מאוד מוזר.
נכון, אין סי? יש דוגמאות נגדיות. הנה, נתתי לכם דוגמה שלא מקיימת את זה. אבל הוא לא אומר את זה, הוא אומר שהשיפוע בנקודה c, הנגזרת בנקודה c, שווה למספר המוזר הזה.
f של b פחות f של a, חלקי b פחות a. אז מה זה המספר הזה? מישהו מנחש?
מה זה המספר הזה? זה שיפוע של מה? נכון, זה השיפוע של הקו הישר שמחבר את שתי הנקודות. בואו נצייר. אז הנה מערכת צירים, x,y, הנה a, הנה b, ועכשיו אני לא מניח שערכים שווים, אז נגיד שהערך ב-a הוא כאן, ונגיד שהערך ב-b הוא כאן.
סתם, זה שרבות, כן? יכול להיות שב-a זה פה וב-b זה שם, וב-a זה פה וב-b זה פה, לא יודע. סתם, בחרתי שני ערכים, אוקיי?
יכול להיות שהגרף, אני אצייר אותו קודם במקוב קו, כי זה המקרה המנוון. יכול להיות שהגרף הוא פשוט קו ישר שמחבר את שתי הנקודות האלה. זו דוגמה לפונקציה רציפה וגזירה בקטע a, b. מסכימים? אם זה המצב מה השיפוע בכל נקודה לפונקציה הזאת יש אותו שיפוע בכל נקודה מה השיפוע איך עושים שיפוע של קו שמחבר בין שתי נקודות הנקודה הזאת זה הנקודה a פסיק f של a זה ה-y שלה נכון?
זאת הנקודה הזאת מסכימים? והנקודה הזאת זה הנקודה b פסיק f של b זאת הנקודה הזאת ושיפוע של נקודות ישר שמחבר בין שתי נקודות, אני אולי מזכיר לכם משהו שקצת חלוד, אבל צריך להיזכר בו, זה הפרש ה-y חלקי הפרש ה-x, זוכרים את זה? השיפוע זה היחס בין הגידול האנכי לגידול האופקי, זה בדיוק זה, f של b פחות f של a חלקי b פחות a, מסכימים? אז אם זה המצב, אם הגרף הוא פשוט קו ישר שמחבר את שתי הנקודות, אז בכל נקודה, השיפוע הוא בדיוק זה. זה מסכימים?
אבל זה כמובן מקרה מנובן ומשעמם. הגרף יכול להיות הרבה דברים אחרים, אבל עדיין חייב להיות רציף וגזיר. אז מה יכול להיות? יכול להיות למשל שהוא עולה מעל הקו הזה, אבל אם הוא עלה מעל הקו הזה, הנה, עלה מעל הקו הזה, הוא לא יכול לעלות, לעלות, לעלות, לעלות, לעלות, כי הוא צריך להגיע במרכאות לפה, נכון?
אז הוא יהיה חייב איפשהו לקנוס לכיוון הקו. מסכימים? אז יכול להיות שפה הוא יעשה מין תהליך כזה. זה לא אומר שתהיה פה נגזרת 0, שיהיה פה שיפוע משיק 0. אז יכול להיות שהוא למשל כאן חוזר חזרה לכיוון הקו, ויכול להיות שהוא יורד מתחתיו, אבל אז הוא עדיין צריך לעלות חזרה. אז זה לא אומר שיש נקודות עם שיפוע 0, אבל כן יש נקודות, למשל הנקודה 0. הזאת ולמשל הנקודה הזאת שה השיפוע של המשיק מקביל לשיפוע של המיתר הזה שמחבר את שתי הקצוות.
זה מה שאני מחפש. משיק ששיפועו זה. בדיוק כמו המיתר. האם מסכימים?
אז זאת דוגמה לנקודה כזאת C. שבה שיפוע המשיק... F-tag ב-C, שיפוע המשיק ב-C, הוא בדיוק F של B פחות F של A חלקי B פחות A. אוקיי? האם ברור?
האם מסכימים שוב שהמשפט הזה נכון? בסדר? אז קצת התייחסויות למשפט הזה. קודם כל תסתכלו רגע על הציור הזה, תסתכלו רגע על הציור הזה, אבל תסתכלו כמו שאני מסתכל על הציור הזה. ככה, לא ככה, לא ישר, ככה.
לגרנג'היו לו בעיות בצבא. אוקיי? סתם.
תסתכלו על הציור הזה ככה. האם אתם רואים את משפט רול? נכון, פשוט ביחס למטר, בדיוק. המשפט הזה הוא משפט, איפה הציור של רול?
יאיר בוטה עקוב אחרי טיפה. זה הציור של רול, נכון? זה הציור שהיה לנו קודם.
לגראמש זה אותו ציור כמו רול, רק עשו לו ככה. נכון? אותו ציור, פה הקו איחוס שפה לא ציירתי אותו, פה הוא הופקי.
זה בדיוק אותו דבר, רק... אוקיי? הנה, תסתכלו פה. אותו דבר כמו רול, רק כך.
ולכן המסקנה היא אותה מסקנה כמו רול, רק כך, בשיפוע. האם רואים את זה? אוקיי? האמירה הזאת היא לא סתם אמירת אווירה, אלא ככה מוכיחים את המשפט הזה. אוקיי?
על זה אנחנו נדבר כאמור בהמשך. אבל מה שכן אפשר לומר עכשיו, זה שהמשפט הזה הוא מה שנקרא... הכללה של משפט רול. מתי משפט הוא הכללה של משפט אחר, או שמשפט רול הוא מקרה פרטי של משפט לגרנג'מתי אומרים על הקשר הזה בין שני משפטים, אם אחד נובע מהשני כנראה, כמקרה פרטי, כמקרה מיוחד. אז אני טוען, נניח רגע שאני יודע את משפט לגרנש.
נניח למשל שאני לגרנש ואני יודע את משפט לגרנש, אבל בחיים לא שמעתי על משפט רול. יכול להיות. לא היה אז וואטסאפ. אז נגיד אני יודע את משפט לגרנש, אני טוען שמשפט רול נובע ממנו חינם. בלי להוכיח שום דבר.
למה? תיקחו פונקציה שמקיימת את תנאי משפט לגרנש, בשאר של אשר ולשפט. בדיוק. ושמקיימת עוד איזה תנאי קטן שהערכים בקצוות שווים.
אוקיי? זה התנאים של משפט רול. מה אומר עליה משפט לגרנג'הוא אומר עליה קיימת נקודה C שבה הנגזרת שיפוע המשיק הוא היחס הזה.
אבל אם הערכים אם אני לוקח את נערול, אני מקבל חינם נקודה C שבה אני גזרתי 0. מבחינה היסטורית, בסדר שאני מתאר. אוקיי? האם ברור?
בסדר? אז משפט לגרנג'הוא הכללה של משפט רול. אוקיי.
מצוין. משפט הבא. אתם בטח שואלים כמה משפטים יש. אז זה האחרון בסדרה הזאת.
מיוחס למתמטיקאי, נחשו את מוצאו, צרפתי, נכון, קוראים לו קושי, גם הוא על האייפל, אוגוסטין לוי קושי הוא שמו, ואומר את הדבר הבא, יהיו F וג'י, אז פה יש לי כבר שתי פונקציות שמקיימות את התנאים כמו קודם, שתיהן רציפות ב-AB, קטע סגור, כולל הקצפות, וגזירות, חלקות, בקטע הפתוח, סוגריים עגולים. והפעם אני מניח איזושהי הנחה טכנית אם לכל x, אני אכניס פה סימן, הסימן הזה שנראה כמו מין c קטנה כזאת עם רגל, זה סימן במתמטיקה לשייך, שייך, c ששייך לקטע a, b, סליחה. איקס ששייך לקטע AB. אז הסימן הזה, אולי מזכיר קצת איזה סימן של מטבע יורו. זה פשוט שייך, זה המשמעות של הסימן שכזה.
בסדר? אנחנו גם אוספים לאט לאט סימנים ו... ו...
טרמינולוגיה, לאט לאט. אם לכל איקס ששייך לקטע AB, מתקיים... שהנגזרת של g בx, הנגזרת של g בx שונה מ-0, כלומר לנגזרת של g אסור להתאפס בכלל, אז, ולמשפט הזה יש שתי אמירות. אמירה ראשונה אומרת ש-g של a לא שווה ל-g של b.
תכף נסביר את זה. והאמירה השנייה אומרת, קיימת, זאת האמירה שמעניינת, זאת האמירה שהיא ברוח המשפטים הקודמים, קיימת c בין a ל-b, כך ש-f'c חלקי g'c שווה f'b פחות f'a חלקי g'b פחות g'a. זאת האמירה של קושי. בואו נבין, בואו נבין מה קרה פה.
אז יש פה קצת רעש רקע טכני, זה ההנחה הזאת והאמירה 1, אוקיי? ודווקא הם קלים, קל להבין אותם, אז בואו נסביר רגע מה קורה פה. אם אני מניח, אם אני מניח שהנגזרת של G לא מתאפסת, אז אני לא מחלק פה ב-0. אוקיי?
זה מה שחשוב לי. אני לא רוצה ש-G-C יכול להיות 0, כי אסור לחלק ב-0. אוקיי? אז אם אני מניח שהיא לא 0, אז פה אני יודע שאני לא כותב שטויות. אוקיי?
ומזה נובע ש-G של A שונה מ-G של B. זה גם קל, אני תכף אגיד למה. אבל אם אני יודע את זה, אז פה אני לא מחלק ב-0. נכון?
כי G של B שונה מ-G של A, ולכן מותר לי לכתוב דבר כזה. אחרת הייתי פה מחלק ב-0. האם מסכימים? אז הרעש רקע הזה מבטיח לי שמש כתוב פה בכלל מותר לי לכתוב אותו, שאני לא מחלק דברים באפס.
האם זה ברור? עכשיו למה? למה נובע מזה שהנגזרת לא מתאפסת, ש-G של A שונה מ-G של B?
זה דווקא קל לראות. מישהו רואה את זה? לא פרמה, לא לגרנג'עוד ניסיון אחד, לפירול.
אילו G של A היה שווה G של B, אילו G של A היה שווה G של B, אז לפירול... קיימת נקודה בין A ל-B שבה נגזרת היא 0 רק על G, תפילו את רול רק על G אילו G של A היה שווה G של B אז לפירול הייתה קיימת C כך ש-G תגזיר היא 0 מסכימים? לכן אם G-Tag לא יכולה להתאפס, לא יכול להיות ש-G של A שווה G של B. זאת הוכחה פורמלית לגמרי, זה לא אינטואיציה, זה הפירמול המלא של הוכחת צעיף אחד מהנתונים.
זה נובע ישירות ממשפט רול. כולם רואים את זה? גם מאחורה?
כן? תגידו מדי פעם כן כזה, שאני יודע שאתם איתי. אוקיי, כן כן. מישהו רואה את הווידאו הזה, חושב יש פה שני אנשים בכיתה.
תגידו כן, נו? כן. או, יופי, תודה.
אוקיי, האמירה המעניינת היא האמירה של שתיים, אוקיי? שהיא, אתם מריחים שהיא נראית קצת יותר מסובכת, אבל ברוח המשפטים הקודמים, נכון? אותה אני לא יכול לצייר כרגע, אני יכול לצייר כרגע אבל אתם לא תבינו. חסר לנו טיפה ידע שיצריך קצת יותר זמן בשביל להשלים, בשביל שאני אוכל לצייר לכם את זה. הידע שחסר זה איך נראים הקומים שהם לא גרפים של פונקציות.
למשל הקום שנראה ככה. או מעגל, מעגל הוא לא גרף של פונקציה, נכון? פונקציה לא יכולה שיהיו שתי נקודות, נקודה עם שני ערכים שונים, נכון?
אז מעגל הוא לא גרף של פונקציה, או דבר כזה הוא לא גרף של פונקציה, אוקיי? אבל אפשר לדבר על עקומים כאלה, והמשפט הזה מתחבא בעולם של עקומים, ואנחנו נעשה את זה בהמשיך, אוקיי? אז, ואחרי שנעשה את זה שוב יהיה, האינטואיציה תהיה ברמה של שרבות אחד קצר כזה, אוקיי? ואתם...
תשתכנעו לגמרי, האינטואיציה. אני כן רוצה להסביר לכם, להצדיק, לשכנע אתכם שהמשפט הזה הוא הכללה של משפט לגראנג' מה זה אומר הכללה? שאני נגיד שאני יודע את משפט קושי, משפט לגרנג'נובע ממנו חינם. מישהו רואה את זה?
אבל יש פה שתי פונקציות. אז להגיד שזה הכללה, זה להגיד אני עושה פה עוד איזה הנחה או שתיים, ומקבל בול את מה שכתוב בלגרנג'זה להגיד הכללה. או או או או או, מה זה להגיד G של X הוא קו ישר? כלומר איזה פונקציה זאת?
איך קוראים לפונקציה הזאת? תן לי את הנוסחה שלה. תגיד לי מי היא?
לינארית? y שווה x בדיוק. יפה.
אוקיי. תיקח את הפונקציה g להיות הפונקציה g של x שווה x. כולם מכירים אותה, נכון? האם היא לגיטימית?
האם מותר לי לקחת אותה לפי קושי? כן. היא פונקציה רצינית.
כתיפה, גזירה, נכון? g של x שווה x. מסכימים?
הנגזרת שלה היא אף פעם לא 0. כמה הנגזרת שלה? 1. הנגזרת של x זה 1 בכל נקודה. מסכימים?
אוקיי, אז אולי נעיר את זה פה. נכתוב את זה ב... אז אני טוען של הגרנג' מקרה פרטי, מקרה פרטי זה ההפך מהכללה, מקרה פרטי של קושי, על ידי חוט הפונקציה G של X להיות הפונקציה X.
בואו נצדיק את זה. אז אם G של X, X, כל התנאים מתקיימים. ומה אני מקבל פה?
אני מקבל שקיימת נקודה C, כך ש-F-Tag ב-C הזאת, חלקי G-Tag ב-C, אבל מה זה G-Tag? אם G היא X, מה זה G-Tag? 1, בכל נקודה.
אז פה אני מחלק ב-1. לחלק ב-1 זה לא לעשות כלום, נכון? אז פה אני נשאר פשוט עם F-Tag C.
מסכימים? ומה זה G של B פחות G של A, עם G אפוד? פונקציה הזאת? זה B פחות A.
כי G של B זה B. G של A זה A. אז פה כתוב F תג C חלקי 1 שווה F של B פחות F של A חלקי B פחות A. זה בדיוק האמירה של הגרנש.
מסכימים? אז כולם רואים שלגרנש הוא מקרה פרטי של קושי על ידי בחירה של פונקציה מאוד מסוימת במשפט קושי. כן.
אבל שבנו את זה, בנו את זה, כאילו להפך כאילו. אתה מדבר על ההיסטוריה לא, לא, כאילו איך בונים את משפט קושי בעזרת לגרם שם, נכון? אתה שאל אותי איך זה קרה כרונולוגית מבחינה היסטורית, אני תכף אענה על זה, תכף אני אענה על זה, האמת זו הפואנטה של כל הסיפור הזה, אוקיי?
אז אוקיי, אז האם אתם מרגישים בנוח, למרות שקצת זרקתי אתכם למים, קצת זרקתי אתכם למים בשביל חצי שעה ראשונה של קורס, אבל האם אתם מרגישים די בנוח בסך הכל? מבינים מה רציתי מכם פחות או יותר ו... כן?
כולם? אוקיי. אז עכשיו תשאלו למה.
אז הנה התשובה לשאלה למה. אז אני רוצה להוסיף לכם, נכתוב את זה בצבע, את ההיסטוריה, את השנים שבהן חיו האנשים האלה. אז התחלנו ממשפט פרמה. הדוד פרמה נולד בשנת 1601 וחי עד 1665. כלומר זה ממש תחילת מאה 17. זה די מזמן.
400 שנה נגיד מאז שהוא המציא את המשפט הזה אולי טיפה, אולי הוא לא היה בן 14 אז אולי זה קצת פחות זה הרבה זמן זה פרמה המשפט שהצגנו אחריו זה משפט רול רול נולד ב-1652 וחי עד 1719 אז זה כבר כמעט 100 שנה הפרש. לגרנג'נולד ב-1736 וחי עד 1813. וקושי שהוא האחרון בסדרה שלנו נולד ב-1789 וחי עד 1857. כלומר קושי הלך ל... עולמו למעלה מ-250 שנה אחרי שאפרמן נולד. אני לא יודע לומר לכם בדיוק באיזה תאריך כל אחד מהם כתב את המשפטים הספציפיים האלה. אנחנו יכולים להניח שאפרמן כתב את המשפטים הספציפיים האלה.
כתב את המשפט הזה כמה שנים אחרי שהוא נולד, אנחנו יכולים להניח שקושי כתב את המשפט הזה כמה שנים לפני שהוא מת, אבל איך שלא מסתכלים על זה, בין משפט פרמה למשפט קושי, שאנחנו די הבנו אותם בפרק זמן של חצי שנה, חצי שעה, על האנושות עברו 200 שנה. בין פרמה לקושי, התהליך הזה שעשינו בחצי שעה, על האנושות עברו 200 שנה. תה מוזר, לא? כאילו אותי זה מפתיע.
אני אומר, מה, כאילו לגרנג'לא יכול היה לסובב את הצוואר, רול עצמו לא יכול היה לסובב את הצוואר ולהגיד כבר את משפט לגרנג'ופרמה לא יכול היה בכלל לשים לב. לדברים האלה לבדו? מה ההסבר לזה?
איך יכול להיות שכזה תהליך שהוא מין כזה מישהו יושב חושב על הדברים האלה איך הוא לא זרה מעלה? הכל פה אינטואיטיבי וגם כאמור למשפט הזה יש אינטואיציה מאוד קלה מאוד קלה. איך לא אפילו בלי הוכחות?
איך זה לקח 200 שנה? 200 שנה? אז אני רוצה להציע תשובה, אוקיי?
זה הצעה שלי, היא לא מאוגנת במסמכים, אבל אני חושב שמה שאני הולך להגיד עכשיו, הוא לפחות חלק מהסיבה ללמה זה לקח 200. שנה. אוקיי? אז הסיבה היא כזאת.
פרמה שהיה מתמטיקאי מאוד גדול אגב עשה את המתמטיקה שלו רוב האנשים האלה היו באמת אנשי שקולות ועשו עוד הרבה דברים חוץ מלהיות מתמטיקאים הוא באמת המתמטיקה אצלו הייתה תחביב, אני לא זוכר אם אין לי שהוא היה עורך דין, לא בטוח. הוא עבד באותה תקופה עם אינטואיציות. באמת מה שהיה לו זה אינטואיציות. והוא הגיע לדברים מאוד מעניינים, אבל אני חושב שמה שהיה לו בראש זה הציור הזה. זה הטווח פרמול פחות או יותר של החשיבה המתמטית של המאה ה-16.
אינטואיציות מעולות, אבל אינטואיציות. החבר'ה האלה, רול ולגראנש, שזה כבר מאה ה-17 ומאה ה-18, היה להם כבר משהו אחר. היה להם איזושהי יכולת פרמול.
אגב, זו אותה תקופה של... מתמטיקאים מאוד מאוד ידועים כמו ניוטון, בטח שמעתם על ניוטון כמובן, לא היה רק מתמטיקאי, ולייבניץ, זה אנשים שבאמת המציאו נתחים אדירים מהמתמטיקה והפיזיקה, וזה הכל התקופה הזאת. הם עבדו עם מין דבר כזה, התיאוריה שלהם הייתה מבוססת על מין דבר מסתורי כזה, שקוראים לו אינפיניטסימל.
זה הסיבה לשם של הקורס חשבון אינפיניטסימלי מה זה אינפיניטסימל? אתם צריכים לשבת, אתם כולכם יושבים, זה טוב אינפיניטסימל אני אקרא את זה כדי שאני אדייק אינפיניטסימל בסימאל בהגדרתו הפורמלית, הנה, זה מספר שונה מאפס שקטן בערכו המוחלט מכל מספר חיובי. בואו נחשוב רגע.
מספר. שונה מאפס שקטן בערכו המוחלט, ערכו המוחלט אומר שהוא לא יכול להיות שלילי, נכון? מספר שונה מאפס שקטן מכל מספר חיובי. תן לי דוגמה לאינפינית הסימן. איך?
מינוס אינסוף הוא לא בערכו המוחלט, הוא קטן מכל מספר חיובי, אבל הוא מאוד שלילי, נכון? המספר הזה צריך להיות בערכו המוחלט קטן מכל מספר חיובי. וואלה, אין כזה דבר, נכון? חצי הוא לא אינפיניטסימל, כי חצי לא קטן משליש, נכון?
מיליונית נשמע מאוד קטן, אבל הוא לא אינפיניטסימל, כי הוא לא קטן ממיליארדית, נכון? מה זה אינפיניטסימל? זה עזוי.
יש עוד אמרת? יש, הרבה פעמים אומרים תשובה שאתה היית דווקא בכיוון. אמרת מינוס אינסוף, תנסו אולי וריאציה.
אחד חלקי אינסוף. הרבה פעמים אומרים אחד חלקי אינסוף. אינפיניטס סימל, זה כבר מתקרב, אבל אחד חלקי אינסוף זה מין דרך קצת מנופחת להגיד אינפיניטס סימל, וזה מתקמפל באותה מידה. זה לא הגיוני וזה לא הגיוני. כי אינסוף זה לא מספר, אין מספר כזה אינסוף, נכון?
אינסוף זה... זה אפשר להגיד... אני אגיד אני גדל גדל לאינסוף, אבל אין מספר כזה, אני לא יכול לקחת אינסוף משהו, נכון? אין מספר כזה, ולכן אין גם אחד חלקי אינסוף, אין מספר כזה, אני לא יכול לצייר אותו על ציר המספרים, אוקיי? אז להגיד אחד חלקי אינסוף ולהגיד אינפיניטה סימל, זה אותה מידה של משהו קצת מוזר, קצת ארטילאי כזה, מסכימים?
אוקיי? ככה הם עבדו, וככה אני אותו נבד, זה מה שהם הכירו אז, הם הכירו אינפיניטה סימלים, הם בנו מתמטיקה. מדהימה, ואפליקציות של מתמטיקה, פיזיקה ואסטרונומיה והנדסות, דברים מדהימים, כשהבסיס התיאורטית שלהם היה אינפיניטסימליים. אני אצטט לכם, העתקתי פה מוויקיפדיה נדמה לי, ציטוט של לא אחר מאשר לגרנץ', הדוד לגרנץ'אמר, מרגע שהבנו, זה תרגום כמובן, מרגע שהבנו, הוא לא דיבר עברית, ובסיס, מרגע שהבנו את רוח שיטת האינפיניטסימלי, ואימתנו את הדיוק של התוצאות שהיא מניבה, אנו רשאים להשתמש בגדלים קטנים עד אינסוף, כאמצעי בטוח ורב ערך, לשם קיצור הוכחותינו ופי שוטן. תגידו לי שזה לא שיר הלאה אינפיניטסימלי.
אוקיי? ו... אבל, אבל, אתם רואים, זה לקח הרבה זמן לעשות את התהליכים האלה, ובאזור תחילת המאה ה-19, תחילת המאה ה-19, אחרי תהליך שכבר היה לו ביסוס קודם, שהאינפיניטיסימלים האלה הם, בוא נאמר, קצת פישי, קצת פישי, קושי, יחד עם עוד שני מתמט... אני מייחס את זה לקושי ולעוד שני מתמטיקאים מאוד ידועים, אחד גרמני בשם ויירשטרס והשני איטלקי בשם בולצאנו, הם המציאו מושג מאוד פחותי.
פורמלי שנקרא מושג הגבול. והוא כבר הכיר את מושג הגבול. הוא כבר עבד עם מושג הגבול. ובעצם מרגע שהמושג הזה של הגבול, שאני תכף אכתוב לכם אותו, מרגע שהמושג הזה תפס תאוצה, קרו שני דברים. אחד, אותם אינפיניטסימליים הפכו לנחלת ההיסטוריה, עברו מן העולם.
ושתיים כל האנליזה זה תחום של מתמטיקה שנקרא אנליזה כל האנליזה פרצה קדימה במידה שלא תאמן כלומר עד שהוא מת כן אזור האמצע המאה ה-19 אולי קצת אחריף. כבר כל מה שנלמד בקורס הזה היה ידוע, כל מה שנלמד בקורס הזה, וכל מה שתלמדו בקורסי המשך כבר היה ידוע, חשבון אינפיניטסימלי בהרבה משתנים, וחשבון אינפיניטיסימלי, פסימלי במשתנים מרוכבים, מה שנקרא אנליזה קומפלקסית, הכל כבר היה ידוע קצת, קצת אחרי, בזמן וקצת אחרי קושי, ואני חושב, ולא רק אני, שמה שעשה את הסוויץ', מה שאפשר לזה לעבור מהמכונה, בכל זאת קצת אינטואיטיבית וקצת חורקת של ניוטון ולייבניץ ורול ולגרנג'ולאפשר לזה לשעות קדימה ברמה של, בטווח של עשרות בודדות של שנים, להגיד, להגיע לידע מדהים, זה המושג הזה של הגבול. אוקיי? והמושג הזה של הגבול, אני תכף אכתוב לכם אותו, הוא האגוז הקשה לפיצוח בקורס הזה.
הוא מושג מאוד מאוד לא אינטואיטיבי. מאוד מתוחכם, מאוד עדין. ואפילו כשאני אכתוב לכם אותו, אתם תגידו, אה, מה כתבת?
אנחנו נכתוב אותו אלף פעם בקורס הזה ואנחנו נראה שהמונח הזה רציפות שכתבנו על הלוח, פונקציה רציפה מוגדר בעזרת מושג הגבול. והמונח הזה גזירות מוגדר במדויק. בעזרת מושג הגבול. והסימפטוטה שמישהי פה הזכירה, מוגדרת בעזרת גבול. וטורים, ואינטגרלים, ומלא דברים שתלמדו בקורס הזה ובקורס ההמשך, כולם בסופו של דבר קורסים חזרה, למושג הזה של קושי וויירשטרס, מושג הגבול המדויק.
ואז מצד אחד, בחצי שעה עברנו את התהליך האינטואיטיבי, שלקח לאנושות 200 שנה, זה היה כיף. מצד שני, בפחות משלושה חודשים, אנחנו אמורים לעבור באופן לגמרי פורמלי את... התהליך הזה, וזה האתגר.
ולכן הקורס הזה, אני אומר את זה עכשיו ומקליטים אותי, הקורס הזה הוא קורס קשה. לדעתי הוא הקורס הכי קשה בטכניון. קורס קשה כי הוא קשה אינטלקטואלית.
הוא לא רק צריך להתאמן הרבה כדי ללמוד לגזור טוב, או ללמוד לחשב טוב גבולות או לא יודע מה. הוא קשה כי יש פה משהו עמוק שלקח לאנושות ולגדולי המתמטיקאים שנים עד שהם הצליחו להגיע למושג המתוחכם הזה, ואפילו אחרי שמראים לך את המושג הזה הוא קשה לספיגה וקשה לאיכול ונדרש פה תהליך של הבשלה תהליך של הרבה להתאמן הרבה לשאול הרבה להיאבק עם זה עד שמבינים וכשמבינים הקורס הזה וקורס ההמשך הוא כמו מרווד פרוס לפניכם ועד שמבינים לפעמים צריך לראות דעמי. הבחנתי אתכם. אבל אני אודד אתכם, הרבה מאוד, אני לא יכול להגיד כולם, אבל הרבה מאוד עוברים את התהליך הזה בהצלחה.
אוקיי? לפעמים זה לוקח קצת יותר, לפעמים קצת פחות. הרוב, נגיד, עד בוחן האמצע...
עדיין מאופלים קצת. אוקיי? לאט לאט.
אנחנו פה בשביל להחזיק לכם את העד ולעזור לכם. אני רוצה לכתוב לכם את מושג הגבול. אני משהו אצטרך למחוק.
בואו נמחק את משפט קושי. אז הגדרת הגבול ואני באמת סתם אשוויץ עכשיו, אני סתם, הלוואי ואני הייתי ממציא את זה, אני סתם אשוויץ, אני סתם כותב לכם את זה, אנחנו לא נפענח את זה עכשיו, אנחנו נעשה את זה באופן מאוד מדורג על פני, לא אגיד, על פני קורס שלם. אוקיי? אז, נאמר ש...
אני אכתוב את זה כבר בסימונים שאולי נתקלתם בהם, הרבה פעמים מכירים את המושג הזה כבר בתיכון, אבל ברמה טכנית, שהגבול של f של x, הגבול מה שכתוב בו זה האותיות lim, מלשון lim שזה limit באנגלית או lims בלטינית, הגבול של f של x, כשx שואף לa, ו, שווה איזשהו ערך L, L מנשון לימיט. נתקלתם ב... לפחות ברמה החישובית בלימסים או ש... כולם?
יש מישהו שלא, שרואה פעם ראשונה? אוקיי. אז נאמר שהגבול הזה הוא L, אם... לכל אפסילון, זאת האות אפסילון זה אי קטנה ביוונית, וזאת האות המקחבת בקורס.
יש אנשים שקוראים לקורס בשם חיבה אפסילונאוטיקה. שם חיבה, הם עושים את זה מעבר רבה, אם לכל אפסילון חיובי, קיים דלתא, דלתא נראה כמו למד, אבל זה דלד, קטנה ביוונית, די קטנה ביוונית, קיים דלתא גדול מאפסילון. כך שאם x פחות a בערך מוחלט קטן מדלתא, זה להגיד שהמרחק בין x ל-a קטן מדלתא, וצריך לדרוש גדול מאפס, זה גורר, החץ הזה אומר גורר, אולי אפשר לכתוב את זה אם-אז, או נכתוב את זה אם-אז ולא נשתמש פה ב... אם לכל epsilon קיים דלתא, כך שאם...
X מרחקו מ-A קטן מ-דלתה, אז F של X מרחקו מ-L קטן מ-Epsilon. זאת הגדרת הגבול. נכון?
היא קצת מפחידה. אוקיי? אז הקורס הזה זה קורס איך לא לפחוד מאפסילון. זה באמת הקורס הזה.
אוקיי. אז זה באמת בשביל הרושם. עוד טיפונת טיפונת סיפורים. לקורס חשבון אינפיניטסימלי, בעצם זה השם הארכאי שלו. כן, כי אינפיניטסימלים הם פסה קצת.
בלועזית קוראים לו קלקולוס. קלקולוס. המילה קלקולוס באה ממילה יוונית עתיקה, שמשמעותה אבנים קטנות, חלוקי נחל.
אוקיי? כי פעם היו סופרים בעזרת אבנים קטנות, היוונים הקדמונים לפני 2500 שנה, ולכן הם קראו לזה קלקולוס, זו המילה לחשבון בעצם. שמו המלא זה Integral and Differential, חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, בעברית מתרגמים את זה בקיצור, חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, קוראים לזה חדווה.
ויש אוניברסיטאות שקוראים לקורס הזה חדווה, ולא חשבון אינפיניטסימלי. גם בטכניון יש קורסי חדווה בכל מיני רמות. ההבדל בין הקורס הזה לקורסי החדווה למיניהם שניתנים בטכניון, שהקורס הזה הוא הכי תיאורטי מביניהם.
בקורס הזה הדגש הוא עמוק מאוד על ההבנה המתמטית העמוקה, פיתוח יכולת חשיבה מתמטית עמוקה, פיתוח יכולת התבטאות מדויקת, הגדרות, משפטים, הוכחות, בניגוד לקורסי החדווה לרמות השונות שלהם, שהם קורסים שהדגש בהם הוא יותר טכני. איך לדעת, לחשב אינטגרלים, לחשב נגזרות. והקורסים הם על הסקאלה, אבל להכי תיאורטי, קוראים חשבון אינפיניטס סימלי. אז זה קצת על השמועו, ועוד הערה אחת לסיום, אז אותם אינפיניטסימלים משם הקורס נזרקו לנבחי ההיסטוריה, לא משמשים היום, אבל דווקא במאה ה-20 פתאום הייתה להם איזושהי תקומה. אוקיי, מתמטיקאי מהאוניברסיטה העברית מירושלים בשם אברהם רובינזון, חי בין 1918 ל-1974, הוא לקח ופירמל בצורה מתמטית מודרנית את המושג הזה של אינפיניטסימלין.
ובעצם פתח תחום חדש במתמטיקה שנקרא אנליזה לא סטנדרטית, ככה קוראים לתחום. אז כן אפשר לעשות את זה, אבל זה לא תפס תאוצה. כלומר, עד היום זה תחום שולי במתמטיקה, וכל מי שמתעסק באלף ואחד אפליקציות של הדברים האלה, היום עובד עם הגדרת הגבול, וזה המיינסטרים ללא ספק ב-99% של המתמטיקה שעושים היום, זה הגדרת גבול הזאת של קושי ווירשטרס.
אוקיי, אז אחרי כל ההקדמה הזאת, שכאמור המתמטיקה שבה אנחנו נפתח אותה, והלקח העיקרי בה הוא... שתזכרו בכל שלב במהלך הקורס הזה למה זה כל כך חשוב ומה הפלא במושג הזה, ולתת לכם לגיטימציה לקושי, לא לקושי, לקושי שבא עם זה, כי באמת אתם תראו שזה מאתגר, מאתגר. האם יש שאלות אגב?
היממתי אתכם. אוקיי, אז אנחנו נעשה עכשיו הפסקה, ואחרי נתחיל את הקורס בצורה יותר רשמית ומדורגת.