Vierfeldertafel und Wahrscheinlichkeiten

Übersicht

In dieser Vorlesung wird die Vierfeldertafel vorgestellt, ihre Anwendung zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten erklärt und anhand eines Beispiels praktisch demonstriert.

Aufbau der Vierfeldertafel

• Die Vierfeldertafel zeigt absolute oder relative Häufigkeiten für zwei Ereignisse und ihre Komplementärereignisse.
• Die vier inneren Felder zeigen die Schnittmengen der Ereignisse, die Randfelder die Wahrscheinlichkeiten der Einzelereignisse.
• Die Summe aller Felder in der Tabelle ergibt 1 (bzw. 100%).

Wichtige Formeln

• Multiplikationssatz für Schnittmengen: (P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B)) (für abhängige Ereignisse).
• Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse: (P(A \cap B) = P(A) \times P(B)).
• Bedingte Wahrscheinlichkeit: (P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}).
• Satz der totalen Wahrscheinlichkeit: (P(B) = P(B|A) \times P(A) + P(B|A^\complement) \times P(A^\complement)).

Beispiel: Vierfeldertafel befüllen und Wahrscheinlichkeiten berechnen

• Definiere Ereignisse (z.B. K = krank, Pos = positiver Test, Komplement = gesund/negativ).
• Trage gegebene Wahrscheinlichkeiten an den Rändern der Tafel ein (z.B. 5% krank, 95% gesund).
• Berechne die inneren Felder durch Multiplikation mit bedingten Wahrscheinlichkeiten (z.B. (0,05 \times 0,98 = 0,049)).
• Errechne verbleibende Felder durch Differenzbildung zu den Randwahrscheinlichkeiten.
• Summiere Zeilen/Spalten für Randwahrscheinlichkeiten (z.B. Positiv = (0,049 + 0,038 = 0,087)).

Wahrscheinlichkeitsberechnungen am Beispiel

• Wahrscheinlichkeit positives Testergebnis: Direkt aus dem Tafel ablesen ((P(Pos) = 0,087)).
• Bedingte Wahrscheinlichkeit krank bei positivem Test: (P(K|Pos) = \frac{0,049}{0,087} = 0,5632).
• Wahrscheinlichkeit krank und positives Testergebnis (Schnittmenge): (P(K \cap Pos) = 0,049), berechnet durch Multiplikationssatz.

Wichtige Begriffe & Definitionen

• Vierfeldertafel — Tabelle zur Darstellung von Häufigkeiten zweier Ereignisse und ihrer Komplementäre.
• Schnittmenge ((A \cap B)) — Beide Ereignisse treten gemeinsam ein.
• Komplementärereignis ((A^\complement)) — Das Gegenteil eines Ereignisses.
• Bedingte Wahrscheinlichkeit ((P(A|B))) — Wahrscheinlichkeit für A unter der Bedingung B.
• Satz der totalen Wahrscheinlichkeit — Zerlegt Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in Teilwahrscheinlichkeiten.

Aufgaben / Nächste Schritte

• Übe das Befüllen der Vierfeldertafel mit eigenen Beispielen.
• Bearbeite zusätzliche Aufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit und zum Satz der totalen Wahrscheinlichkeit.