bei diesem Video wird die vier filtertafel sehen wir uns zuerst den Aufbau der Tafel an danach besprechen wir die Formeln multiplikationssatz bedingte Wahrscheinlichkeit und Satz der totalen Wahrscheinlichkeit wir sehen uns ein Beispiel an bei dem ich euch zeige wie man die vierfeldertafel korrekt befüllt und Wahrscheinlichkeiten daraus berechnet es hilft euch wenn ihr bereits das Video zu den Aktionen von colmagor aufgesehen habt weil ich euch dort viele Grundlagen erkläre die hier relevant sind [Musik] mit der vierfeldertafel lassen sich absolute bzw relative Häufigkeiten zwei Ereignisse darstellen und sie ist äußerst hilfreich in der Wahrscheinlichkeitsrechnung weil sich viele Aufgaben damit einfacher lösen lassen eine Tafel mit zwei Ereignissen A und B kann wie folgt aussehen wir sehen die beiden Ereignisse mit ihren komplementen nochmals zur Erinnerung die komplementäreignisse stellen jeweils das Gegenteil unseres Ereignisse da die vier inneren Felder der Tafel sind die Felder wo sich unsere Ereignisse überschneiden sie stellen somit die jeweiligen Schnittmengen da in dem Feld wo sich die Ergebnisse A und B Treffen haben wir also die Schnittmenge von A und B dasselbe gilt auch für die weiteren dreifelder die Felder am Rand unserer Tafel stellen die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Ereignisse dar P von A ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses a um P von a-komplimente gegenwahrscheinlichkeit für B ist es natürlich dasselbe wir erhalten diese Hand Wahrscheinlichkeiten jeweils mit dem Satz der vollständigen Wahrscheinlichkeit dazu gleich noch mehr addiert man a und a-kompliment bzw B und b-kompliment erhalten wir eins bzw 100% . um im nächsten Schritt unser Beispiel berechnen zu können benötigen wir noch die folgenden Formeln die Formel zur Berechnung der Schnittmenge lautet P von argschnitten B ist gleich P von A unter der Bewegung von B mal P von B natürlich darf man auch A und B vertauschen die Formel für die Schnittmenge nimmt man auch multiplikationssatz und ist in diesem Fall für Abhängige Ereignisse für unabhängige Ereignisse wäre die Formel P von A mal P von B wenn wir die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedienung von B suchen dann handelt es sich um die bedingte Wahrscheinlichkeit dabei ist der vordere Teil die gesuchte Wahrscheinlichkeit und der hintere Teilchen entsprechende Bedingung die Formel lautet dann P von A gegeben B = P von A geschnitten B durch P von B man rechnet also die Schnittmenge der beiden Ereignisse durch die Bedingungen der Satz der vollständigen Wahrscheinlichkeit für zwei Ereignisse lautet P von B = P von B gegeben a mal P von A + P von B gegeben a Kompliment mal P von a complement ihr seht dass es sich hier jeweils um den multiplikationssatz von oben handelt mit dem wir ja die Schnittmenge berechnen also kann man den ersten Teil auch als P von B und den zweiten Teil als P von A Komplement geschnitten B zusammenfassen nun sehen wir uns an wie man so eine Tafel befüllt als Beispiel haben wir einen Test der mit 98 prozentiger Wahrscheinlichkeit korrekt erkennt wenn eine Person krank ist zudem erkennt der Test mit 96 prozentiger Wahrscheinlichkeit korrekt dass eine Person gesund ist 5% der Personen sind tatsächlich krank zuerst definieren wir unsere Ereignisse wir haben also kranke und gesunde Personen so wie ein positives bzw negatives Testergebnis das Gegenteil können wir mit dem Kompliment darstellen also müssen wir lediglich die eigene Erkrankung positiv definieren K steht dafür dass eine Person krank ist und Post steht für einen positiven Test car komplett bzw postkompliment steht dann für gesunde Personen bzw einen negatives testsergebnis hier könnt natürlich genauso ein G für gesund bzw neck für negativ verwenden es gibt unzählige Varianten für die Notation es bleibt euch überlassen wie ihr eure Variablen definiert insgesamt haben in der Wahrscheinlichkeitsrechnung jahrhundert Prozent also könnt ihr rechts unten schon einmal eins Eintragen in der Regel habt ihr bei solchen Aufgaben eine Rand Wahrscheinlichkeit oder eine Schnittmenge gegeben mit dieser Info fangt ihr am besten an wir wissen zum Beispiel das 5% der Personen krank sind und somit können wir also 0,05 am Rand für die kranken Personen eintragen wenn fünf Prozent krank sind können wir gleichzeitig darauf schließen dass 95% gesund sind also tragen wir 0,95 daneben ein als nächstes wissen wir dass der Test mit 98 prozentiger Wahrscheinlichkeit korrekt eine Krankheit erkennt das bezieht sich also auf das Feld links oben wichtig ist aber dass jetzt nicht einfach die 98% dort eintragt diese Wahrscheinlichkeit bezieht sich ja nicht auf alle Personen sondern lediglich auf die Kranken ihr müsst also von den Kranken die 98% berechnen also 0,05 x 0,98 das ergibt dann 0,049 das fällt darunter ist dann wieder einfach insgesamt muss fünf Prozent rauskommen also 0,05 - 0,049 ergibt wir wissen noch dass der Test bei gesunden Personen mit 96% richtig liegt wenn der Test das korrekt anzeigt heißt das er muss bei einer gesunden Person negativ sein das heißt es geht hier jetzt um das rechte untere Feld wir müssen von den gesunden 96% bestimmen also rechnen wir 0,95 x 0,96 das ergibt dann 0,912 und wenn wir die Differenz zu den 95% bestimmen also 0,95 - 0,912 erhalten wir 0,038 und können diesen Wert darüber eintragen die beiden Rand Wahrscheinlichkeiten für positiv und negativ erhalten wir dann einfach indem wir die Werte der jeweiligen Zeilen addieren also 0,049 plus 0,038 ergibt 0,087 und 0,001 + 0,912 ergibt 0,913 bitte passiert das Video kurz wenn ihr euch die einzelnen Rechenschritte noch einmal genauer ansehen wollt die Tabelle ist befüllt und nun berechnen wir einige Wahrscheinlichkeiten in Aufgabe a wollen wir die Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis berechnen das ist in diesem Fall sehr simpel weil wir die ganze Arbeit schon erledigt haben wir können den Wert ganz einfach in den entsprechenden Zelle ablesen somit gilt P von Post = 0,087 aber sehen wir uns etwas genauer an was da eigentlich dahinter steckt die Lösung dafür haben wir nämlich zuvor mit dem Satz der vollständigen Wahrscheinlichkeit berechnet wie zuvor Wind ist die Formel für den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit P von A geschrieben B + P von a-kompliment geschnitten wie wir haben für das Ergebnis zuvor 0,049 und 0,038 addiert und das waren ja nichts anderes als die beiden Schnittmengen von K und POS sowie k-kompliment und Boss somit verwendet ihr bei der vierfeldertafel wenn ihr eine Rand Wahrscheinlichkeit berechnet automatisch den Satz der vollständigen Wahrscheinlichkeit ohne dass es einem wirklich auffällt im nächsten Punkt wollen wir wissen wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist das wenn jemand einen positiven Test hat diese Person auch tatsächlich krank ist in diesem Fall ist also schon ein eigenes eingetreten und zwar wissen wir dass die Person ein positives Testergebnis hat so erkennt ihr dass sie sich hier um die bedingte Wahrscheinlichkeit handelt wichtig ist dass vorne die gesuchte Wahrscheinlichkeit steht und hinten Bedingung wir wollen jetzt die Wahrscheinlichkeit berechnen dass jemand krank ist wenn das Testergebnis positiv war krank ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit und der positive Tests also wollen wir nun PI von K gegeben Post berechnen vervollständigen wir die Formel haben wir dann P von krankgeschnitten positiv durch P von positiv die Schnittmenge ist 0,049 und die Wahrscheinlichkeit von positiv ist 0,087 somit erhalten wir als Lösung 0,5632 das heißt also wenn ich einen positiven Test habe dann liegt die Wahrscheinlichkeit dass ich tatsächlich krank bin bei etwas mehr als 56% . in C bestimmen wir nun die Wahrscheinlichkeit dass jemand krank ist und eine positiven Test hat das klingt fast wie Punkt B jedoch gibt es hier einen sehr wichtigen Unterschied und zwar wollen wir jetzt krank und positiv berechnen zuvor war es krank wenn positiv aus dem Video mit den Aktionen wissen wir bereits dass sie sich bei und um die Schnittmenge handelt den Wert kennen wir ja mittlerweile wir können eine direkt aus der Tafel ablesen und die Lösung ist 0,049 auch hier haben wir eine der anfangs erwähnten Formel bereits verwendet und zwar den multiplikationssatz setzen wir in die Formel ein haben wir die Schnittmenge von K und POS = P von plus und der Bedingung von K mal P von K die Wahrscheinlichkeit von positiv gegen krank und die Wahrscheinlichkeit von Krankheiten wie in der Angabe das waren 0,98 bzw 0,05 so haben wir anfangs mit 0,98 x 0,05 die 0,049 erhalten ihr seht also dass ihr alle Formen von vorhin auch tatsächlich anwendet auch wenn es nicht immer auf den ersten Blick erkennbar ist falls dir das Video gefallen hat dann unterstütze mich bitte indem du das Video likest teilst kommentierst oder meinen Kanal abonnierst solltest Du mich um meine Arbeit sonst noch unterstützen wollen dann würde ich mich sehr über einen Kaffee Spende freuen du findest den entsprechenden Link dazu unten in der Beschreibung und folge mir gerne auf Facebook oder Instagram für die neuesten Infos zur Statistik