Multiplication Matricielle

Conditions pour la Multiplication

• La multiplication matricielle est définie si le nombre de colonnes de la matrice de gauche est égal au nombre de lignes de la matrice de droite.
• Exemple avec matrices A, B, C:
  • A: 3x4, B: 4x7, C: 7x3
  • Produits définis:
    • A * B: Défini, résultante 3x7
    • B * C: Défini, résultante 4x3
    • C * A: Défini, résultante 7x4
  • Produits non définis:
    • A * C: Non défini (4 ≠ 7)
    • C * B: Non défini (7 ≠ 4)
    • B * A: Non défini (4 ≠ 3)

Exemple Pratique

• Multiplication de deux matrices A et B:
  • A: 3x3, B: 3x4
  • A * B: Défini, résultante 3x4
  • B * A: Non défini

Méthode de Calcul

• Utilisation des lignes de la matrice de gauche et des colonnes de la matrice de droite.
• Produit ligne par colonne, écrire les résultats pour chaque élément de la matrice résultante.

Exemple Détaillé de Calcul

• A * B:
  • Calcul colonne par colonne:
    • 1ère colonne:
      • L1: 1 * 2 + (-1) * (-3) + 3 * 2 = 11
      • L2: (-4) * 2 + 5 * (-3) + 7 * (-2) = -37
      • L3: 3 * 2 + 6 * (-3) + 9 * 2 = 6
    • 2ème colonne et suivantes similaires...

Remarques

• La multiplication matricielle n'est pas commutative:
  • A * B ≠ B * A, même si les deux produits peuvent être définis.
• Les résultats peuvent varier en dimension et en contenu pour les opérations opposées.

Conclusion

• Importance de vérifier les conditions de définition pour chaque produit.
• Compréhension des propriétés non commutatives des matrices.
• Préparation nécessaire à la manipulation des matrices dans des calculs plus complexes.

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C'est la section la plus complexe mais essentielle à maîtriser pour progresser en algèbre linéaire.