Alright, continuons avec des exemples. Le prochain exemple, c'est juste un exemple, juste pour vraiment m'assurer que vous comprenez la condition pour que la multiplication matricielle soit définie. Donc, il faut que le nombre de colonnes de la première matrice, donc la matrice de gauche, soit égal au nombre de lignes de la matrice de droite.
Donc, on a trois matrices. Pour le prochain exemple, on a trois matrices A, B et C. La première, c'est une 3 par 4, la deuxième, c'est une 4 par 7 et la troisième, c'est une 7 par 3. Et on va déterminer si les produits suivants sont...
sont définies. Puis, lorsqu'elles sont définies, on va donner la dimension de la matrice résultante, qui est toujours égale au nombre de lignes, la première, et au nombre de colonnes de la deuxième. Quand je dis la première, je fais toujours référence, bien sûr, à la matrice de gauche, qui est toujours de gauche à droite. Donc, le premier produit, A fois B. Donc, si je regarde les chiffres du milieu, je vois que les chiffres du milieu, j'ai deux cas.
Donc, c'est égal... Donc, ma matrice résultante va prendre les chiffres, bien sûr, extérieurs. Donc, ça va être une matrice 3 par 7. Donc, le produit est défini, puis ça donne une matrice 3 par 7. Le deuxième, encore une fois, les chiffres du milieu sont égales.
Donc, les chiffres extérieurs, le 4 et le 3, vont me donner la dimension de ma matrice résultante. Donc, j'ai une 4. par 3. Maintenant, A fois C, donc mes chiffres intérieurs, c'est 4 et 7. Ah, ça, c'est pas égal, donc c'est non défini. Donc, pour C fois B, donc on a une 7 par 3 fois une 4 par 7, donc les chiffres du milieu ne sont pas égales, donc c'est encore non défini.
Finalement, pour B fois A, j'ai 3 et 7, excusez, 7 et 3, c'est pas la partance, donc c'est aussi non défini. Puis la dernière, C fois A, j'ai une 7 par 3 qui multiplie une 3 par 4. Donc, les chiffres du milieu sont les mêmes. Donc, mes chiffres extérieurs vont me donner la dimension de la matrice qui est dans ce cas-ci une 7 par 4. Donc, on check les chiffres du centre. Quand ça match, on utilise les chiffres extérieurs pour la dimension de la matrice.
Donc, un autre exemple, on a deux matrices A et B. On veut calculer, si possible, A fois B et B fois A. Bien sûr, si vous regardez les dimensions A fois B, on voit que A fois B, c'est une 3 par 3 qui multiplie une 3 par 4. Donc, les dimensions intérieures sont les mêmes, c'est égal. Puis, je sais que le résultat va être une 3 par 4. Tandis que B fois A, si je regarde les chiffres à l'intérieur, J'ai un 4 et un 3 qui ne sont pas les mêmes.
Donc, cette opération-là va être non définie. Donc, concentrons-nous sur A fois B. Donc, j'ai écrit pour vous A et B. A fois B, encore une fois, qu'est-ce qui est important ? Parce que le truc que moi, j'aime utiliser, donc la matrice de gauche, puisque c'est A, j'ai encerclé ou dans ce cas-ci, surlignant au marqueur...
les lignes de la matrice de gauche, donc 1, 1, 3 pour la première ligne, 4, 5, 7 pour la deuxième ligne et 3, 6, 9 pour la troisième ligne. Et j'ai encerclé ou souligné au marqueur les colonnes de la deuxième, donc 2, 3, 2, 1, 4, 2, 5, 5 et 1, 2 et 2. Et ensuite, j'ai développé. Puis pour vous, qu'est-ce que j'ai fait ?
J'ai vraiment tout écrit le gros développement. Je pense que normalement, une fois qu'on commence à être confortable dans notre peau, on n'a pas besoin d'écrire toutes les opérations. On peut juste les faire. Mais bon.
Donc, pour... Moi, j'y vais colonne par colonne. Donc, bien sûr, les colonnes de la matrice de droite, dans ce cas ici, qui est B. Donc, je fais tomber 2, moins 3, 2 sur 1, moins 1, 3. Ensuite, je fais tomber 2, 3, moins...
2, moins 3, 2 sur moins 4, 5, moins 7. Ensuite, je fais tomber le 2, moins 3, 2 sur 3, 6 et 9. Et je fais mon produit. Donc, j'obtiens 1 fois 2. Je change les couleurs juste un instant. Donc, je fais 1. fois 2 plus moins 1 fois moins 3 plus 3 fois 2 qui va me donner 11. Ensuite, je fais moins 4 fois 2 plus 5 fois moins 3 plus 7 moins 7 fois 2 qui me donne moins 37. Ensuite, j'ai 3 fois 2 plus 6 fois moins 3 plus 9 fois 2 qui me donne le 6. Et j'ai terminé avec ma première colonne. Donc, on utilise la première colonne de la matrice de droite pour calculer la première colonne de la matrice résultante. Donc ensuite, je fais tomber ma deuxième colonne qui est 2, 1, moins 4. Je la fais tomber sur 1, moins 1, 3. Ensuite, je fais tomber 2, 1, moins 4 sur moins 4, 5, moins 7. Ensuite, je fais tomber 2, 1, moins 4 sur 3, 6 et 9. Et je fais le produit.
Donc j'ai pour ma première ligne 1 fois 2 plus moins 1 fois 1 plus 3 fois moins 4 qui va me donner moins 11. Pour ma deuxième ligne, j'ai moins 4 fois 2 plus 5 fois 1. plus moins 7 fois moins 4 qui va s'additionner à 25. Et finalement, sur la dernière ligne, j'ai 3 fois 2 plus 6 fois 1 plus 9 fois moins 4 qui va s'additionner à moins 24. Donc ensuite, je fais la même chose pour la troisième colonne. Donc c'est vraiment la même chose, c'est très répétitif, c'est pas compliqué, il faut juste savoir comment le faire. Donc je vais faire tomber 2 moins 5, 5 sur 1 moins 1, 3. Ensuite sur moins 4, 5 moins 7. Et ensuite sur 3, 6 et 9. Et je fais mon produit, donc pour ma première ligne, 1 fois 2 plus moins 1 fois moins 5 plus 3 fois 5. Qui va me donner 22. Pour ma deuxième ligne, j'ai moins 4 fois 2. plus 5 fois moins 5 plus moins 7 fois 5 qui va s'additionner à moins 68. Et finalement, 3 fois 2 plus 6 fois moins 5 plus 9 fois 5 qui va s'additionner à 21. Et finalement, qu'est-ce que je fais ?
Je fais la même chose pour la dernière colonne. Donc, je vais faire tomber moins 1, 2 et moins 2 sur la première ligne. Donc, sur 1, moins 1, 3. Ensuite, sur la deuxième, moins 4, 5. moins 7 et finalement sur la dernière ligne 3, 6 et 9. Et je fais mon fameux produit, donc 1 fois moins 1 plus moins 1 fois 2 plus 3 fois moins 2 qui va s'additionner à moins 9, moins 4 fois moins 1 plus 5 fois 2 plus moins 7 fois 5 qui va s'additionner à 28 et finalement 3 fois moins 1 plus 6 fois 2 plus 9 fois moins 2 qui va s'additionner à moins 9. Bien sûr, on peut remarquer que cette matrice résultante-là, c'est une matrice avec trois lignes, quatre colonnes, comme on l'avait prédit dès le début.
Donc, c'est vraiment un processus où on fait attention, utilisez vos propres trucs, OK ? Tant et aussi longtemps que vous arrivez à la bonne réponse. Puis, comme j'ai dit aussi pour le produit B fois A, puisque le nombre de colonnes de B n'était pas égal au nombre de lignes de A, ce produit est non défini.
Puis, bien sûr, la remarque, c'est la même remarque que l'exemple précédent. Le produit A fois B, c'est une matrice 3 par 4, tandis que B fois A n'est même pas défini. Donc, un autre exemple, parce que le produit matriciel n'est vraiment pas commutatif.
A fois B, ce n'est pas la même affaire que B fois A. Bon, prochain exemple, qui est le dernier exemple de cette section-ci, c'est pour vous montrer que même lorsque l'opération AB et BA sont définies, qu'on va obtenir typiquement des résultats différents. Donc, le produit matriciel, donc parfois A fois B est défini, puis pas B fois A, donc ce n'est pas égal. Parfois les deux sont définis, A fois B et B fois A vont être définis, mais ils n'auront même pas la même dimension. Dans certains cas, comme l'exemple qu'on va passer à travers deux, ils vont avoir les mêmes dimensions, mais même là, les matrices ne seront pas les mêmes.
Donc, si je fais A fois B, je vous rappelle, A fois B, d'abord, on surligne. les lignes de A et ensuite les colonnes de B. Donc, l'idée, c'est toujours, c'est pas que ça cause que c'est A, c'est parce que la matrice de gauche, c'est A, on encercle les lignes et on encercle les colonnes de la matrice de gauche. matrice de droite.
On fait ensuite l'opération. Donc, ça, c'est des petits, fait qu'on peut les faire pas trop difficiles. Dans la tête, 2 fois 1 plus moins 2 fois moins 3, ça va donner moins 4. Ensuite, 2 fois moins 1 plus 2 fois moins 2, ça va me donner moins 6. Ça, c'est pour la première colonne. Ensuite, si je fais tomber 1, 1, je vais avoir 1 fois 1 plus 1 fois 3 qui va me donner 4. Et finalement, 1 fois moins 1 plus 2 fois 1 qui va me donner 1, 1. Donc, j'ai mon résultat.
de A fois B. Ensuite, je fais la même affaire, mais je swap les rôles. Donc, j'encercle les lignes de la matrice B et les colonnes de la matrice A.
Et je fais mon produit matriciel. Il fallait que mon maudit voisin coupe son bois tantôt. Je ne sais pas si vous ne l'entendez pas dans la vidéo, mais c'est fatigant.
Donc, je fais tomber mon 1 moins 1 sur la première ligne. 1 fois 2 plus 1 fois moins 1, ça va donner 1. Déjà, je le vois, la première entrée est différente. Ensuite, 1 fois moins 2 plus 1 fois moins 1 qui va me donner moins 3 et 3 2 qui tombe sur 2 1 qui va me donner 3 fois 2 plus 2 fois 1 qui va me donner 8 et 3 fois moins 2 plus 2 fois 1 qui va me donner moins 4 bien sûr quand je compare ces deux matrices là Ces deux matrices-là ne sont pas égales.
Donc ici, A boy n'est pas égal à B A. Donc, il faut toujours, toujours refaire le produit. Même quand ils sont définis, les résultats peuvent être complètement différents. Donc, c'est ce que j'ai écrit à la dernière fois.
Remarque en bas, la remarque, en général, le produit matriciel n'est pas commutatif. C'est vraiment quelque chose qui est nouveau pour les matrices. Ce n'est pas comme des chiffres où x fois y est égal à y fois x pour n'importe quel...
à quelle valeur réelle ou complexe, c'est différent. Pour cette grande section, assurez-vous de bien la maîtriser. C'est la section la plus difficile.
Ce n'est pas difficile, mais c'est la plus difficile. That's it. Bye-bye.