Théorie des Infinités et Métaphore de l'Hôtel de Hilbert
Introduction
- En 1891, Georg Cantor révolutionne les mathématiques en introduisant l'idée que tous les infinis ne se valent pas : certains infinis sont plus grands que d'autres.
- David Hilbert, 30 ans plus tard, propose une métaphore, l'Hôtel de Hilbert, pour illustrer cette idée paradoxale mais non absurde.
Le Grand Hôtel de Hilbert
- Description : Hôtel avec un nombre infini de chambres, numérotées 0, 1, 2, 3, etc.
- Scénario initial :
- Hôtel complet à 19h.
- Un nouveau client arrive.
- Solution : Chaque client se déplace d'une chambre (n va à n+1), libérant la chambre 0.
- Résultat : Infini + 1 = Infini.
Un Bus Infini
- Scénario à 21h :
- Un bus avec une infinité de touristes arrive.
- Solution :
- Clients actuels se déplacent: n va à 2n.
- Libération des chambres impaires.
- Les touristes prennent les chambres impaires (2y + 1).
- Résultat : Infini + Infini = Infini.
Infinité de Bus
- Scénario suivant :
- Infinité de bus avec une infinité de clients.
- Solution :
- Client du bus x et siège y va dans la chambre: x + 1/2(2y + x² + y + x).
- Résultat : Infini ⨉ Infini = Infini.
Le Bus des Nombres Réels
- Problème :
- Clients avec sièges numérotés par tous les nombres réels de [0,1].
- Impossibilité de loger ces clients malgré l'infinité de chambres.
- Infini des réels > Infini des entiers.
Preuve de l'Impossibilité
- Exemple de construction :
- Créer un nombre qui ne peut être dans la liste des clients par transformation des décimales.
- Ex : Nombre obtenu 0,347... transformé en 0,458... montre une chambre non assignable.
- Conclusion : Infini des réels strictement plus grand.
Hypothèse du Continu
- Question : Existe-t-il un infini intermédiaire entre les entiers et les réels ?
- Réponse en 1963 par Paul Cohen :
- La présence d'un infini intermédiaire est un choix sans impact sur les mathématiques.
Conclusion : L'étude des infinis révèle des résultats contre-intuitifs mais fondamentaux pour comprendre la nature des nombres et des mathématiques.