en 1891 geéorg Kantor défraye la chronique en annonçant au monde entier que tous les infinis ne se valent pas certains infinis seraient en effet plus grand que d'autres 30 ans plus tard David Hilbert propose lors d'une conférence sa métaphore de l'hôtel qui permet de comprendre pourquoi l'idée de Kantor même si elle peut sembler paradoxale au premier abord n'a absolument rien de stupide ça tombe bien j'ai environ 2 minutes pour en parler sur la merveilleuse planète des mathématiques il existe quelque part un hôtel très particulier le Grand Hôtel de Hilbert cet hôtel possède un nombre infini de chambres numéroté 0 1 2 3 et CETA ce soir-là il est 19h et chaque chambre est occupée malheureusement un nouveau client se présente à l'accueil et désire à tout près une chambre pour la nuit puisque l'hôtel est complet la situation semble impossible et pourtant après 2 minutes de réflexion le gérant répond pas de problème et annonce via les haut-parleurs de l'hôtel que chacun des clients doit changer de chambre le client de la chambre numéro 0 doit se déplacer dans la chambre numéro 1 celui de la chambre numéro 1 ira dans la chambre numéro 2 celui de la chambre 2 ira dans la 3 et cetera le client de la chambre n doit ainsi se rendre dans la chambre n + 1 la chambre numéro 0 est donc maintenant libre et le nouveau client pourra donc y loger on peut donc finalement dire que infini + 1 = infini malheureusement à 21h ce n'est pas un nouveau client qui se présente à l'accueil mais un bus entier comportant une infinité de touristes dans ce bus chaque siège est numéroté 0 1 2 et cetera et chacun de ces touristes désire une chambre différente pour le gérant de l'hôtel ce n'est encore une fois pas un problème après 2 minutes de réflexion il se saisit une nouvelle fois de son micro et annonce aux clients de l'hôtel Les nouvelles directives à suivre le client de la chambre numéro 1 doit se déplacer dans la chambre numéro 2 celui de la chambre numéro 2 ira dans la chambre numéro 4 celui de la chambre numéro 3 ira dans la chambre numéro 6 et ainsi de suite le client de la chambre numéro n ira ainsi dans la chambre numéro 2N suite à ses déplac les chambres numérotées par des nombres paires sont occupé tandis que les chambres numérotées par des nombres impaires sont maintenant libres le touriste de la place 0 pourra donc loger dans la chambre numéro 1 celui du siège numéro 1 ira dans la chambre numéro 3 celui du siège numéro 2 se rendra dans la chambre numéro 5 et ainsi de suite le touriste du siège numéro y ira dans la chambre numéro 2Y + 1 finalement on vient de démontrer que infini plus infini ég infini le lendemain alors que l'hôtel s'est vidé c'est une infinité de bus contenant un nombre infini de clients qui se présentent les bus sont numérotés 0 1 2 3 et cetera et dans chaque bus les places son numérot té 0 1 2 3 et CETA encore une fois cela ne va poser aucun problème au gérants de l'hôtel mais les clients devront respecter certaines consignes dans un premier temps le premier client du premier bus c'est-à-dire le client du bus numéro 0 et du siège numéro 0 ira dans la chambre numéro 0 dans un second temps le premier client restant dans chacun des deux premiers bus c'est c'est-à-dire le client du bus numéro 0 siège numéro 1 et le client du bus numéro 1 siège numéro 0 iront dans les deux chambres suivantes chambre numéro 1 et numéro 2 dans un troisème temps on langera dans les trois chambres suivantes le premier client restant dans chacun des trois premiers bus en suivant cette procédure chaque client se verra assigner une chambre pour la nuit on peut même être plus précis et prouver que le client du bus X et de la place y sera logé dans la place numéro x + 122 y + x² + y + x chaque client à sa chambre et chaque chambre a son client on vient donc de prouver que infini FO infini ég infini le lendemain l'hôtel c'est une nouvelle fois vidée mais c'est un bus d'un tout autre type qui se présente à l'accueil dans ce bus les clients sont infiniment serrés puisque les sièges sont numéroté non pas par les nombres entiers comme précédemment mais par tous les nombres réels de l'intervalle 01 on pourra donc parler de la place 0,5 de la place 1/3 de la place pi- 3 ou de la place √2/ 2 cette fois-ci il y a vraiment un problème on pourrait trouver un moyen de loger tous les clients dont le numéro de siège est un nombre décimal on pourrait même loger ceux dont le siège est d'une fraction rationnelle mais cette FCI est trop dense cet infini des nombres réels est strictement plus grand que celui des nombres entiers il est impossible de loger cette infinité là de clients malgré le nombre infin de chambre et c'est à Cantor que l'on doit cette découverte essayons quand même de voir ce qu'il se passerait si on trouvait un moyen de loger chacun de ses clients prenons l'exemple suivant la chambre 0 accueillera le client de la place 1/3 la chambre 1 accueille celui de de la place pi - 3 la chambre 2 accueille celui de la place √2/ 2 la chambre 3 accueille celui de la place 0,5 et ainsi de suite où chaque chambre accueillera un client différent de façon à ce que chaque client soit pris en compte et pourtant même en voulant loger tout le monde on se hortera forcément à un impossible certains clients ne trouveront pas de chambre quelle que soit la façon dont on s'y prendra pour le comprendre on va fabriquer un exemple de nombre qui ne peut pas se trouver dans la liste prenons la première décimale du premier client la deuxième décimale du 2è la 3è du 3è et ainsi de suite dans notre exemple on obtient le nombre 0,3470 et cetera maintenant transformons chaque chiffre du nombre ainsi obtenu on transforme les Z0 en 1 les 1 en 2 les 2 en 3 et cetera jusqu'à transformer les 9 en 0 dans l'exemple on obtient le nombre 0,45 8 1 et cetera on peut alors affirmer que le client dans le siège porte ce numéro ne trouvera pas de place dans l'hôtel puisque si sa chambre est la chambre numéro n alors la nè décimale posera forcément problème et ce client n'est qu'un exemple parmi l'infinité de clients qui ne trouveront pas de chambre bref l'infini des nombres réels est strictement plus grand que l'infini des nombres entiers une question qui a longtemps perturbé les mathématiciens en particulier Cantor est de savoir s'il existe un infini intermédiaire qui serait strictement plus grand que l'infini des nombres entiers noté à0 et strictement plus petit que celui de l'infini des nombres réels noté deux puissances àf0 cette question appelée hypothèse du continu a trouvé sa réponse en 1900 3 lorsque Paul Cohen annonce qu'en fait chacun peut choisir si oui ou non il veut de cette infini intermédiaire et que ça ne changera en fait rien du tout au reste des mathématiques mais ça c'est une autre histoire