Nu ska vi prata om växelspänning och växelström. Om en ledare rör sig i ett magnetfält, induceras en spänning i ledaren. Så om vi tänker oss att vi har ett magnetfält och sen har vi en ledare i magnetfältet som exempelvis roterar. Då kommer det induceras en spänning i den här ledaren.
Om vi låter en ledare rotera i ett magnetfält med vinkelhastigheten omega. Vi tar en bild på det hela. Här har vi vårt magnetfält och sen har vi vår ledare som roterar. Då kommer den ha en viss vinkelhastighet multiplicerad med tid.
Det blir en viss vinkel som vi har efter varje given tidpunkt. Då kan vi se att följande händer. Här har vi vår ledare som roterar. Då har vi en viss spänning. Den spänningen kommer att vara sinusformad.
Vi ser att vi har ett största värde på spänningen. Sen kommer vi gå till spänningen blir noll. Sen blir det ett minsta värde, största negativa värde.
Sen blir det upp tillbaka till noll igen. Det har gått ett helt varv. Det har varit en period.
Så här har vi en sinusform. Så spänningen U ges av U-hat gånger sinus omega t. Så det är alltså växelspänning.
U beror på tiden. En likadant med U-hat gånger sinus omega t. Det U-hat är då toppvärdet. Vi kan se det som amplituden.
Vi har en viss frekvens. Frekvensen är 1 genom perioden. Där då t är periodtiden.
Och så har vi vinkelhastighet omega som är 2pi gånger frekvensen. Och så har vi samband med frekvens och periodtid. Så vinkelhastigheten är även 2pi delat på periodtiden.
Om man kopplar in en resistor med resistansen R i en slutenkrets får man en ström. Och strömmen kommer också att vara sinusformad. Strömmen beror på tiden.
Det är lika med I hat gånger sinus omega t. Där I hat är toppvärde. Och sen har vi ånslag vilket ger att I är lika med U delat på R. Och U är ju U hat gånger sinus omega t. Och så delar vi på R.
Vid likström är effekten P lika med U gånger I. U och I är ju då konstant eftersom det är likström. Och sen kan vi använda omslag för att skriva effekter som r gånger i kvadrat. Respektive u i kvadrat delat på r.
Så det här gäller då för likström. Vid växelström så har vi en momentaneffekt. Vi kallar det för lilla p av t är lika med u multiplicerat med i. Och så sätter vi in då vad u och i är.
Så det blir u hat gånger i hat gånger sinus omega t i kvadrat. Sedan kan vi skriva om det till de här två varianterna också med hjälp av ånslag. Om vi kollar på grafen till momentaneffekten så ser den ut på följande sätt.
Om vi vill ha ut medeleffekten så innebär det att vi tar ut en period. Så beräknar vi arian. Under den grafen. Och så delar vi med då en period. Då får vi ut medel-effekten.
Det innebär att vi ska utföra följande integral. Så vi sätter in vad p av t är. Och sen så får vi använda oss av samverkan att sin omega t i kvadrat lika med 1 minus cos 2 omega t d på 2. Det vill säga dubbla vinkeln för cos. Vilket ger att den här integralen kan skrivas. på det här sättet.
Och då ska vi beräkna den här integralen. Och vi börjar med att ta ut det som är konstant. u-hat gång i-hat delat på två är konstant. Vi tar det utanför integralen.
Och så har vi vår integrant som vi ska hitta en primitiv funktion till. Vilket blir följande. Sätta in övergräns.
Då får vi ett följande. Och sen nedergräns. Ja, då blir båda termerna noll.
Så de behöver vi inte skriva ut. Sen kan vi använda oss av samlat t är lika med 2. I delar på omega. Så vi sätter in det istället för t här.
Och då kommer vi få sinus 4pi. Vilket då är 0. Så kvar får vi helt enkelt bara stora t. Så har vi en konstant gånger t.
Och t delar på t. Ja då får vi kvar bara det här sambandet. U-hat gånger i-hat delar på 2. Så det är väl medel-effekten.
Vid växelspänning är p lika med u-hat gånger i-hat delat på två. Nu ska vi prata om effektivvärde. Effektivvärdet av en växelspänning i en växelströmskrets är lika med en spänning som i en likströmskrets ger samma effekt vid lika stor resistans. Så det här ska vi kolla lite närmare på. Vi börjar med likspänning.
Effekten vid likspänning är u i kvadrat delat på r. U är spänningen, r är resistansen. Sen har vi växelspänning, det vill säga medieffekten. Använder vi då åmslag på det sambandet vi nyss kom fram till så kommer vi få att vid växelspänning är medieffekten u-hat i kvadrat delat på två gånger r, som är resistansen. Det här är då samma resistans.
Det här innebär att medieeffekten ska vara lika med effekten. Sätter de lika med varandra så löser vi ut U. Som då blir lika med U-hat delat på roten ur två.
Och U kallas då för effektivvärdet. Så effektivvärde för spänning. U är då U-hat delat på roten ur två.
Och så kan man göra på motsvarande sätt för strömmen. Effektivvärde för strömmen kommer då vara I lika med I-hat. delar på roften ur två. Och mätinstrument för spänning och ström visar effektivvärden. Det kan vi då demonstrera med att vi har kopplat in en voltmätare direkt till nätspänningen.
Vi ställer in voltmätaren på växelspänning och sen sätter vi igång så att vi får Ett utslag. Och då ser vi här att vi har ett effektivvärde på 231 volt ungefär. Sen bryter vi kretsen. För vi kan ju även ställa in voltmätare på lik spänning.
Och då ser vi att mätvärdena hela tiden hoppar fram och tillbaka. Eftersom vi mäter lik spänning. Det är en bra uppgift. Vi mäter egentligen att strömmen ska bara gå åt en riktning. Men vi har ju växelspänning.
Så strömmens riktning varierar. Därför kan vi inte mäta strömmen hela tiden. Utan då får vi ta ett effektivvärde.
Vi tar några exempel. Vi har följande. Momentanvärdet U av en växelspänningskällas polspänning ges av U är det kommer 10 gånger sinus 100 pi gånger t där t anges i sekunder. Till polerna har en resistor med resistansen 5,0 ohm anslutits.
Det första vi ska göra är att bestämma spänningens toppvärde. Och toppvärdet får vi då. Vi kan kolla på vår formel för växelspänningen.
Toppvärde är amplituden, det vill säga 10 volt. Sen ska vi bestämma strömmens toppvärde. Då har vi sambandet att u-hatt är lika med r gånger i-hatt vilket är toppvärde för i. I-hatt är toppvärde för spänningen delat på resistansen.
Då sätter vi in toppvärde för spänningen, 10 volt. Dela på resistansen som är 5,0 ohm. Då får vi ut strömmen i ampere. 10 delar på 5,0 är 2,0. Då får vi att strömmens toppvärde är 2,0 ampere.
Nu ska vi bestämma frekvensen på den här växelspänningskällans. Solspänning. Och vi har ju då omega. Som är 100 pi.
Frekvensen. Då har vi samlat omega i 2 pi. Multiplicerat med frekvensen.
Vilket innebär att 2 pi multiplicerat med frekvensen måste vara 100 pi. Och då ser vi att frekvensen måste då vara 50 hertz. Så har vi bestämt frekvensen.
Och nu ska vi bestämma spänningens effektivvärde. Effektivvärdet. Stora U. Då får vi genom att ha toppvärde för spänningen. Det är på roten 2. Toppvärde 10 volt. Alltså får vi 10 delar på roten 2 volt.
Det blir då spänningens effektivvärde. Om vi räknar ut detta så blir det ungefär 7,07 volt. Nu ska jag bestämma strömmens effektivvärde. Det gör jag på motsvarande sätt.
Strömmens effektivvärde, stora I, ges av I-hatt i rad på roten ur 2. Toppvärde för strömmen är 2,0 ampere. Då sätter vi in det och blir 2,0 delar på roten ur 2 vilket då blir ungefär 1,41 ampere. Det här är då de mätvärden vi skulle få när vi använder ett mätinstrument.
Då mäter vi. Spänningen respektive strömmens effektivvärden. Sen ska jag bestämma medel-effekten.
Medel-effekten, stora P, är toppvärde av spänningen multiplicerat med toppvärde av strömmen delat på två. Toppvärde av spänningen 10 volt, toppvärde av strömmen 2,0 ampere. Delat på två får vi ut effekt i watt. Det här kommer då bli 10 watt.
Avslutningsvis bestäm strömmens storlek och riktning vid tidpunkten t lika med 13 millisekunder. Strömmen ges av följande. I är lika med amplituden, det vill säga toppfärdet 2,0 gånger sinus 100 pi gånger t.
Nu sätter vi in t i sekunder 0,013 sekunder. 2,0 gånger sinus 100. Pi gånger 0,013. Då får vi ut det i ampere.
Och räknar vi ut det här så blir det ungefär minus 1,62 ampere. Så det innebär att strömmen är 1,6 ampere. Och minusräknar innebär att det är i motsatt riktning till ursprungsriktningen.
Och ursprungsriktningen eller vilken riktning hade då t var lika med 0.