Integral Tak Tentu dan Anti Turunan

Konsep Dasar

Anti Turunan: Proses menemukan fungsi asal dari turunan yang diketahui.
Banyak fungsi yang memiliki turunan yang sama, perbedaannya terletak pada konstanta.
Integral Tak Tentu: Istilah lain untuk anti turunan.

Jika diketahui ( df/dx ), maka fungsi asal ( f ) adalah anti turunan dari ( df/dx ).
Rumus dasar: ( \int f(x) , dx = F(x) + C )
- Integran: Fungsi yang diintegralkan, ( f(x) ).

Polinom: ( \int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C )
Trigonometri:
- ( \int \cos x , dx = \sin x + C )
- ( \int \sin x , dx = -\cos x + C )

Digunakan ketika bentuk integral tidak langsung sesuai dengan rumus dasar.

Substitusi Variabel:
- Ubah bentuk integral ( \int f(x) , dx ) menjadi ( \int f(u) , du ).
- Contoh: ( \int \sqrt{x} , dx ) dengan substitusi ( u = \sqrt{x} ).

( \int \sqrt{x} , dx )
- Ubah ( \sqrt{x} = x^{1/2} )
- Integrasi menghasilkan: ( \frac{2}{3} x^{3/2} + C )
( \int \frac{1}{x^5} , dx )
- Ubah ke ( \int x^{-5} , dx )
- Integrasi menghasilkan: ( -\frac{1}{4x^4} + C )
( \int (x^2 + 5x - \frac{1}{x^2} + 3) , dx )
- Integrasi masing-masing komponen:
  - ( \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 1/x + 3x + C )
Metode Substitusi: ( \int x \sqrt{x^2 + 15} , dx )
- Substitusi ( u = x^2 + 15 ), ( du = 2x , dx )
- Hasil integrasi: ( \frac{1}{3} (x^2 + 15)^{3/2} + C )

Penting untuk memilih metode yang tepat dalam menyelesaikan integral, terutama ketika bentuk integran tidak langsung sesuai dengan rumus dasar.
Metode substitusi adalah alat dasar yang penting dalam pengintegralan.
Teknik lebih lanjut seperti parsial dan integrasi rasional akan dipelajari di tingkat yang lebih lanjut.